ISSN 0236-235X (P)
ISSN 2311-2735 (E)

Публикационная активность

(сведения по итогам 2017 г.)
2-летний импакт-фактор РИНЦ: 0,500
2-летний импакт-фактор РИНЦ без самоцитирования: 0,405
Двухлетний импакт-фактор РИНЦ с учетом цитирования из всех
источников: 0,817
5-летний импакт-фактор РИНЦ: 0,319
5-летний импакт-фактор РИНЦ без самоцитирования: 0,264
Суммарное число цитирований журнала в РИНЦ: 6012
Пятилетний индекс Херфиндаля по цитирующим журналам: 404
Индекс Херфиндаля по организациям авторов: 338
Десятилетний индекс Хирша: 17
Место в общем рейтинге SCIENCE INDEX за 2017 год: 527
Место в рейтинге SCIENCE INDEX за 2017 год по тематике "Автоматика. Вычислительная техника": 16

Больше данных по публикационной активности нашего журнале за 2008-2017 гг. на сайте РИНЦ

Вход


Забыли пароль? / Регистрация

Добавить в закладки

Следующий номер на сайте

4
Ожидается:
16 Декабря 2018

Об алгоритме решения задач оптимального и жесткого управления

An algorithm for solving optimal and hard control
Статья опубликована в выпуске журнала № 3 за 2011 год.[ 11.09.2011 ]
Аннотация:Статья посвящена алгоритму численного решения задач оптимального и жесткого управления для вырожденных линейных дифференциальных систем, возникающих, например, при создании балансовых динамических моделей и при разработке моделей измерительных устройств. Алгоритм реализован на языке С++. В статье представлены блок-схема программы и результаты вычислительного эксперимента.
Abstract:Article is devoted to a algorithm of numerical solution for optimal control and hard to degenerate linear differential systems. Such systems arise, for example, when creating a balance of dynamic models, in the modeling of measuring devices. The algorithm is implemented in C++, the article shows the block diagram of the program and the results of computer simulation.
Авторы: Келлер А.В. (alevtinak@inbox.ru) - Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, , , кандидат физико-математических наук
Ключевые слова: вырожденные линейные дифференциальные системы, оптимальное и жесткое управление, алгоритм программы
Keywords: the degenerate linear differential systems, efficient and strict management, algorithm program
Количество просмотров: 5170
Версия для печати
Выпуск в формате PDF (5.05Мб)
Скачать обложку в формате PDF (1.39Мб)

Размер шрифта:       Шрифт:

Для достижения определенных целей в работе любой экономической системы необходимо управление, поэтому задачи оптимального управления в балансовых динамических моделях более адекватны для решения реальных экономических задач. В зависимости от характера и цели управления могут быть поставлены различные типы задач оптимального управления. Так, для невы- рожденных балансовых моделей А.Г. Гранберг, В.Ф. Кротов, Б.А. Лагоша и др. в своих работах рассматривали решение задачи нахождения оптимального управления при максимизации функции потребления в качестве функционала качества. Такая постановка задачи более соответствовала плановой экономике, и при переходе к рынку исследования в этом направлении стали крайне редкими.

В данной статье представлен алгоритм программы для нахождения приближенного решения задач оптимального и жесткого управления для вырожденных балансовых динамических моделей. Причем экономический смысл используемого функционала качества позволяет решать управленческие задачи для динамической балансовой модели экономической системы в условиях рыночной экономики.

Пусть L и M – квадратные матрицы порядка n, причем detL=0. Матрица М называется (L, p)-регулярной, если существует число μÎС такое, что det(μL-M)-1≠0, и существует pÎ{0}ÈN такое, что при p=0 в точке ∞ L-резольвента (μL-M)-1 матрицы M имеет устранимую особую точку; а в противном случае p равно порядку полюса в точке ∞. (Здесь и далее терминологию, понятия и результаты см. в [1].)

Рассмотрим линейную неоднородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

L(t)=Mx(t)+f(t),                                                                                                                                                (1)

где fÎCp+1((0; t); Rn)ÇCp([0; t]; Rn).

В случае detL=0 в [2] предложено систему (1) называть системой леонтьевского типа, имея в виду ее прототип – динамическую балансовую модель В. Леонтьева с учетом запасов [3].

Вектор-функцию xÎC1([0; t]; Rn), обращающую (1) в тождество при некоторой вектор-функции f=f(t), назовем решением системы (1). Решение x=x(t) системы (1) будет решением задачи Шоуолтера–Сидорова, если при некоторых x0ÎRn справедливо

,                                                                                    (2)

где =(μL–M)-1L – правая L-резольвента М.

Заметим, если detL≠0, то задачи Шоуолтера–Сидорова и Коши

x(0)=x0                                                                                                                                                                                                                                (3)

эквивалентны; если detL=0, то из существования решения задачи (1), (2) следует существование решения (1), (3), обратное, вообще говоря, неверно.

В [2] предложен алгоритм численного решения задачи (1), (3). Одним из его этапов являетcя проверка принадлежности начальных условий фазовому пространству уравнения (1), она вызывает значительные трудности при численных расчетах и приводит к ограничению на размер матриц (n£5). Для преодоления этого ограничения в [4] вместо условия (3) используется условие (2) и предложен алгоритм численного решения (1), (2).

Для постановки задач оптимального и жесткого управления введем в рассмотрение пространства управления U:

U=Hp+1(Rn)={uÎL2((0, t), Rn):

u(p+1)ÎL2((0, t), Rn), pÎ{0}ÈN}

и состояния X:

X=H1(Rn)={xÎL2((0, t), Rn): ÎL2((0, t), Rn)}.

Пусть множество допустимых управлений U∂U является выпуклым и компактным.

Задача оптимального управления заключается в нахождении среди множества допустимых пар u×x(u, f)ÎU∂×X почти всюду на (0, τ) пары, удовлетворяющей системе леонтьевского типа:

L(t)=Mx(t)+f(t)+Bu(t)                                                                                                                 (4)

с начальным условием (2) такой v×x(v, f), что

                                         (5)

,

где m может принимать значения от 0 до p+1, выбор значения связан со смыслом функционала в определенной прикладной задаче; Cx(u, t) и Cx0(t) – фактическая и планируемая функции наблюдаемой величины; zÎ(0, 1) – весовой коэффициент цели управления, заключающейся в достижении плановых показателей наблюдаемой величины; 1–z – весовой коэффициент цели управления, подразумевающей минимизацию расходуемых для этого ресурсов управления.

Задача жесткого управления состоит в нахождении среди множества допустимых пар u×x(u, f)ÎU∂×X почти всюду на (0, τ) пары, удовлетворяющей системе леонтьевского типа (4), с начальным условием (2) такой v×x(v, f), что

                                               (6)

В [5] предложен метод численного решения задачи (2), (4), (5), в котором пространство управлений Hp+1(Rn) заменяется на конечномерное пространство  вектор-многочленов вида

.

Пусть K=max{k1, k2}, ,  al – коэффициенты; n-p – степень многочлена det(μL-M). В качестве множества допустимых управлений будем рассматривать .

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть матрица М – (L, p)-регуляр­на, pÎ{0}ÈN, кроме того, detM≠0 и множество допустимых управлений U∂ выпукло и компактно. Приближенное решение задачи (2), (4), (5) () ( – точка минимума функционала) при k>K имеет вид

;                     (7)

,                                                       (8)

η, sj и сj – порядок, узлы и вес квадратурной формулы Гаусса соответственно, ,

.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 приближенное решение задачи (2), (4), (6) () ( – точка минимума функционала) при k>K имеет вид

                                                                               (9)

xk(ul, t) задается по формуле (8); , причем η, sj и cj – соответственно порядок, узлы и вес квадратурной формулы Гаусса.

Алгоритм программы

Программа, реализующая алгоритм численного решения задач оптимального и жесткого управления для вырожденных линейных систем дифференциальных уравнений, написана на языке С++.

Программа построена как консольное приложение, ее вход представляет собой конфигурационный файл текстового формата. В нем указываются выбранная задача управления; имена файлов, в которых записаны массивы, входящие в состав системы и функционала качества; значения параметров расчета. Отметим, что f(t) и x0(t) задаются как массивы коэффициентов, число их строк равно числу компонент n, а число столбцов – l+1. Выходом программы является протокол расчета, массивы с итогом расчета дополнительно сохраняются в текстовый файл. На рисунке 1 представлена блок-схема программы. Условие detM≠0 не ограничивает общности рассуждений; проведя замену x=eλtz в уравнении (1), получим M'=M-λL, но detM'≠0.

Процедуру расчета x и функционала качества J при u=col(0, …, 0) в виде блок-схемы приводить нецелесообразно, так как расчеты сводятся к использованию (8) для каждой компоненты.

Основная процедура поиска решения задачи оптимального или жесткого управления сводится к поиску массива коэффициентов вектор-много­членов ul, обозначаемого в блок-схеме (рис. 2) как матрица А. При поиске коэффициентов, при которых достигается минимум функционала, используются идеи покоординатного многошагового спуска и методов аппроксимации функции полиномом. В результате получаем многошаговый итеративный метод с использованием обновлений при подборе шага, с вычислением только аппроксимирующей функции и выполнением проверки условий ограничений на принадлежность множеству допустимых управлений и (в случае экономических приложений) неотрицательности значениий x или иных дополнительных ограничений. Градиент в данном подходе не используется из-за сложности функционала качества и больших погрешностей при численном дифференцировании. Процедура достаточно проста, поэтому скорость вычислений невелика, но алгоритм позволяет в дальнейшем распараллеливать процессы и купировать этот недостаток.

Завершение процедуры нахождения минимума функционала качества происходит по достижении абсолютной величины разности значений функционала последней и предпоследней итераций цикла меньшего значения, чем заданное ε.

Для исследования эффективности алгоритма в ходе вычислительных экспериментов применялись различные параметры шага (варьировалась величина его изменения r), порядок прохождения цикла по i (от 1 до n, от n до 1). Во всех случаях были получены результаты, различие между которыми менее 0,01 %.

Вычислительный эксперимент

Приведем результаты вычислительного эксперимента для вырожденной динамической балансовой модели небольшого предприятия. При составлении такой модели используется метод с учетом экспорта-импорта в денежной форме. Так, матрица L представляет удельные капитальные затраты, матрица M – разность единичной матрицы и матрицы удельных прямых затрат. В матрице L производительными являются все девять видов деятельности предприятия, а две последние нулевые строки отражают отсутствие капитальных вложений для двух групп внешних покупателей продукции предприятия – домашние хозяйства и организации. Вместе с тем наличие таких внешних структурных элементов в балансовой модели является обязательным для обеспечения условия замкнутости системы.

В качестве x(t) выступает вектор-функция выпуска продукции в денежных единицах. Плановые значения x0(t) и выпуск конечного продукта f(t) примем постоянными: x0(t)=f(t)=col(52, 600, 313,5, 90, 87,5, 300, 1200, 300,9, 110, 880, 2167,5).

Начальными параметрами расчета были приняты: степень полиномов компонент вектор-функции управления равна 7; максимальный и минимальные шаги составили соответственно 100 и 0,000001; изменение шага r=0,5; точность расчета значения функционала качества ε=0,1. При расчете используется тип переменных double, то есть с плавающей запятой и 11 значащими цифрами после нее. В качестве ограничения на множество допустимых управлений принимается d=10000. Значения объема выпускаемой продукции должны быть неотрицательными, а значения управления могут быть как отрицательными, так и положительными. Отрицательные значения управления некоторой компоненты, то есть вида деятельности предприятия, свидетельствуют о том, что этот вид деятельности приносит прибыль предприятию, а положительные – предприятие является дотационным. Весовой коэффициент был принят равным 0,5, то есть цели управления рассматриваются в равной степени значимыми.

В результате расчета получены значения p=2, K=657.

В качестве расчетного принимается временной промежуток 1 год, таким образом, τ=1. Рассчитываются значения x(t) помесячно. В результате получим следующее решение задачи оптимального управления:

u1(t)= –135,687+329,968t–170,74t2– –51,194t3+70,282t4+15,9302t5–1,0452t6–11,1995t7,

u2(t)= –156,579+271,71t–189,123t2– –55,786t3+87,0056t4+16,342t5–3,9215t6–11,695t7,

u3(t)=133,911+301,159t–274,853t2– –78,8574t3+135,0098t4+30,639t5–16,05225t6–14,312t7,

u4(t)= –1297,53+3489,55t–1437,11t2– –384,76t3+455,56t4+225,708t5–17,212t6–102,478t7,

u5(t)= –1904,59+3247,46t–1254,68t2– –363,77t3+454,34t4+149,66t5–9,033t6–84,29t7,

u6(t)= –370,422+10532,23t–4215,82t2– –134,52t3+172,607t4+51,147t5–20,385t6–20,202t7,

u7(t)=3738,525+10145,51t–4660,645t2– –133,667t3+177,185t4+52,978t5–2,899t6–31,982t7,

u8(t)=1168,896+31587,5t–590,625t2– –179,443t3+223,511t4+74,707t5–19,4702t6–32,745t7,

u9(t)= –252,441+484,619t–203,369t2– –7,5988t3+4,104t4+4,2419t5+0,122t6–1,591t7,

u10(t)=1308,105–2806,885t+632,934t2+ +13,854t3+5,6152t4+16,998t5–0,7171t6+4,226t7,

u11(t)=3293,945–3523,682t+708,984t2+ +19,409t3–13,885t4+13,733t5–1,342t6–4,318t7.

Так, первый вид деятельности в начале планируемого периода является доходным для предприятия – значение управления отрицательно и составляет –135,687 усл. ден. ед., а в конце периода (при t=1) требует дотационных средств в размере 46,3143 усл. ден. ед. Одиннадцатый вид деятельности на протяжении всего планируемого периода является дотационным, а девятый – доходным, за счет него могут финансироваться другие виды деятельности. Такого рода анализ может проводиться для всех видов деятельности в выбранный момент времени (из планируемого периода) для предприятия. Значение функционала качества составит 8,245486×1010. Ряд значений x=x(t) приведен в таблице.

Вычислительный эксперимент показал, что при планировании постоянного выпуска продукции предприятия на основе решения задачи оптимального управления такие значения переменных могут считаться неэффективным решением. Для преодоления этого необходимо уточнение модели и наложение более строгих ограничений, чем неотрицательность, на значения каждой компонен- ты x(t). Кроме того, одной из рекомендаций может являться пересмотр весовых коэффициентов целей управления: так, для данного предприятия – с такой структурой затрат и капитальных вложений – цель управления минимизации управляющих воздействий должна рассматриваться с меньшим весовым коэффициентом, чем цель достижения плановых показателей. (Безусловно, с учетом ошибок, связанных с недостатками финансового учета на предприятии, так как балансовая модель строится на основе данных предприятия о структуре себестоимости и учета основных средств.)

Результаты значений x=x(t) как решений задачи оптимального управления

xj(t)

t=0

t=1/12

t=1/2

t=1

x1(t)

52

2,521

32,973

158,683

x2(t)

600

89,238

427,242

982,684

x3(t)

313,5

383,397

637,98

854,628

x4(t)

90

8,352

15,934

36,874

x5(t)

87,5

5,251

10,642

23,572

x6(t)

300

224,392

229,929

428,979

x7(t)

1200

2449,322

3132,282

4225,199

x8(t)

300,9

269,243

241,727

227,156

x9(t)

110

112,788

131,638

138,5201

x10(t)

88

23,54

11,432

353,164

x11(t)

2167,5

605,36

1383,061

5281,761

Таким образом, использование решения задач оптимального управления для вырожденных балансовых моделей предприятия в планировании и анализе его деятельности имеет практическое значение, подтверждаемое специалистами предприятия, на базе которого была построена модель и проведены вычислительные эксперименты.

Литература

1.   Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semi-groups of Operators.-Utrecht-Boston-Köln-Tokyo: VSP, 2003.

2.   Свиридюк Г.А., Брычев С.В. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа // Изв. вузов: сер. Математика. 2003. № 8. С. 46–52.

3.   Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика. М.: Экономика, 1997. 487 c.

4.   Келлер А.В. Алгоритм решения задачи Шоуолтера–Сидорова для моделей леонтьевского типа // Вестн. ЮУрГУ: сер. Математическое моделирование и программирование. Челябинск, 2011. № 4. Вып. 7. С. 40–46.

5.   Келлер А.В. Системы леонтьевского типа: классы задач с начальным условием Шоуолтера–Сидорова и численные решения // Изв. ИГУ: сер. Математика. Иркутск. 2010. № 2. С. 30–43.


Постоянный адрес статьи:
http://swsys.ru/index.php?page=article&id=2841
Версия для печати
Выпуск в формате PDF (5.05Мб)
Скачать обложку в формате PDF (1.39Мб)
Статья опубликована в выпуске журнала № 3 за 2011 год.

Назад, к списку статей

Хотите оценить статью или опубликовать комментарий к ней - зарегистрируйтесь