ISSN 0236-235X (P)
ISSN 2311-2735 (E)

Публикационная активность

(сведения по итогам 2017 г.)
2-летний импакт-фактор РИНЦ: 0,500
2-летний импакт-фактор РИНЦ без самоцитирования: 0,405
Двухлетний импакт-фактор РИНЦ с учетом цитирования из всех
источников: 0,817
5-летний импакт-фактор РИНЦ: 0,319
5-летний импакт-фактор РИНЦ без самоцитирования: 0,264
Суммарное число цитирований журнала в РИНЦ: 6012
Пятилетний индекс Херфиндаля по цитирующим журналам: 404
Индекс Херфиндаля по организациям авторов: 338
Десятилетний индекс Хирша: 17
Место в общем рейтинге SCIENCE INDEX за 2017 год: 527
Место в рейтинге SCIENCE INDEX за 2017 год по тематике "Автоматика. Вычислительная техника": 16

Больше данных по публикационной активности нашего журнале за 2008-2017 гг. на сайте РИНЦ

Вход


Забыли пароль? / Регистрация

Добавить в закладки

Следующий номер на сайте

4
Ожидается:
16 Декабря 2018

Аналоговое моделирование электромагнитных полей на основе электротехнических устройств

Analog modeling of electromagnetic fields based on electrotechnical devices
Статья опубликована в выпуске журнала № 1 за 2014 год. [ на стр. 141-147 ][ 10.03.2014 ]
Аннотация:Работа посвящена сведению задач решения дифференциальных уравнений в частных производных к хорошо разработанным методам исследования нелинейных динамических систем, которые позволяют сопоставить уравнению в частных производных динамическую систему с ее последующим моделированием с помощью электротехнических устройств, аналого-цифровых комплексов. Рассматривается также моделирование картин электромагнитных полей на основе переходных процессов без наличия ложных скачков при построении линий равного тока. Новизна алгоритма заключается в сведении дифференциальных уравнений в частных производных Лапласа и Пуассона к динами-ческой системе – системе нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка на основе электротехнических схем замещения. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка осуществляется в схемотехнической среде MATLAB-Simulink, где пользователю предлагается выбор параметров блока входных данных, необходимых для реализации комплекса программ, для упрощения и понимания пользования данной программой. Составлена структурная схема динамической системы, отображающая динамику процесса, где элементами схемы являются операционные усилители, на основе которых может быть сопоставлена электротехническая схема замещения. Приводятся примеры построения статических электромагнитных полей в фазовой плоскости.
Abstract:The article is devoted to transforming the differential equations solving in private derivatives into well devel-oped investigative techniques for nonlinear dynamic systems. These systems allow comparing the equation in private deriva-tives with dynamic system to its subsequent modeling using electrotechnical devices, analog-digital complexes. The paper al-so considers modeling pictures of electromagnetic fields based on transients without false jumps at construction of equal cu r-rent lines. The novelty of the algorithm is in the reduction of differential equations in partial derivatives of Laplace and Pois-son to a dynamical system – the system of the first-order nonlinear differential equations on the basis of electrotechnical equivalent circuits. Solving system of the first-order nonlinear differential equations is carried out in the MATLAB-Simulink GUI environment, where the choice of parameters of input data block for implementing a complex of programs is offered to the user. It is for simplification and understanding of using given program. The block diagram of the dynamic system is created. It displays the dynamics of the process, where elements of the scheme are operational amplifiers. Those amplifiers are the base for comparison of the electrical equivalent circuit. The art i-cle gives examples of creating static electromagnetic fields in a phase plane.
Авторы: Васильева О.В. (vasileva.o.v@mail.ru) - Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, Россия, кандидат технических наук
Ключевые слова: matlab-simulink, структурная схема, динамическая система, электромагнитное поле, линии равного тока, моделирование
Keywords: matlab-simulink, block diagram, dynamic system modeling, electromagnetic field, equal current lines, modeling
Количество просмотров: 6809
Версия для печати
Выпуск в формате PDF (7.83Мб)
Скачать обложку в формате PDF (1.01Мб)

Размер шрифта:       Шрифт:

Для визуального восприятия картин электромагнитных полей используется графическое построение пространственного распределения поля как функции двух переменных U(x, y). Обычно это пространственное распределение скалярного U(x, y) или векторного A(x, y) потенциала полей [1–3]. Известно, что с помощью программ MathCAD и MATLAB в среде pdetool можно построить картину поля лишь для линий равного потенциала, причем  программы, позволяющие построить картину поля для линий равного тока, отрисовывают контурные линии при наличии ложных скачков [4] (рис. 1, 2). Это объясняется тем, что линии тока линейного заряда или линии потока линейного тока распределяются лишь в смысле главного значения, то есть в пределах от 0 до 2p (рис. 1а, 2а, 3а).

В данной работе предлагается метод построения картин электромагнитного поля, позволяющий избежать наличия ложных скачков (рис. 3б).

Постановка задачи

Рассмотрим алгоритм построения фазового портрета динамической системы в схемотехнической среде MATLAB-Simulink (рис. 4).

Новизна алгоритма заключается в сведении дифференциальных уравнений в частных производных Лапласа и Пуассона к динамической системе, то есть к решению системы дифференциальных уравнений 1-го порядка в среде MATLAB-Simulink.

Методы исследования

Исследование статических электрического и магнитного полей будет осуществляться с помощью динамической системы и ее последующим моделированием аналоговой техникой в схемотехнической программе MATLAB-Simulink.

Под динамической системой понимается электромеханическая система, которая описывается дифференциальными уравнениями [5–7].

Каждая динамическая система имеет свой фазовый портрет, которому соответствуют свои особые точки (точки положения равновесия). Они помогают без решения дифференциальных уравнений предсказать поведение динамической системы.

Из методов исследования можно выделить методы дифференциальной геометрии и теории автоматического регулирования и математической физики – уравнения Лапласа, Пуассона.

Чтобы построить электростатическое поле для линейных зарядов, необходимо записать уравнение Пуассона:

,                        (1)

где U(x, y)=j(x, y)+jV(x, y) – комплексный электрический потенциал; j(x, y) – функция потенциала; V(x, y) – функция потока; r – объемная плотность зарядов; e0=8,85×10-12 Ф/м – электрическая постоянная; e – диэлектрическая проницаемость.

Подпись:  Рис. 4. Алгоритм построения фазового портретаКомплексный потенциал описывает совокупность силовых и эквипотенциальных линий поля, ортогональных по отношению друг к другу, то есть картину поля.

Решение уравнения Пуассона (1) для электростатического поля:

,          (2)

где t=2×10-7 Кл – величина заряда; x=10-6 – регуляризирующий коэффициент.

Рассмотрим построение картины электростатического поля трех линейных зарядов с помощью сведения уравнений в частных производных к динамической системе.

Для плоского электростатического поля имеем систему уравнений:

                    (3)

                               (4)

где t – плотность зарядов (при решении приняли t=1 Кл/м2).

Уравнение (3) означает потенциальность поля:

     (5)

Постоянство потенциала поля f(x, y)=const при изменении координат x, y описывается уравнением

               (6)

Из (6) следует уравнение для эквипотенциальных линий:

.                                          (7)

Или в параметрической форме получаем систему уравнений:

                                                  (8)

Теперь получим уравнения для линий напряженностей электрического поля [8]. Для этого рассмотрим уравнение (4):

 (9)

Постоянство линий потока V(x, y)=const при изменении координат x, y описывается уравнением

            (10)

Из (10) следует уравнение для контурных линий потока вектора напряженности:

.                                             (11)

Или в параметрической форме получаем систему уравнений:

                                                     (12)

Таким образом, имеем две динамические системы (8) и (12) в параметрической форме, описываемые системой дифференциальных уравнений для обрисовки картин электростатического поля (линий равного потенциала и равного тока соответственно):

,

.                        (13)

Результаты исследования

Пусть заданы декартовые координаты трех линейных зарядов: x=(0 1 –1)T; y=(4 –1 3)T.

Проекции вектора напряженности электростатического поля на оси X и Y соответственно равны

Используя уравнение (13), получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для трех линейных зарядов, полученные с помощью динамической системы (рис. 5а):

(14)

(15)

На рисунке 6 представлено всплывающее окно блока входных данных, позволяющее пользователю-непрограммисту получить на выходе интересующую картину статического электромагнитного поля в фазовой плоскости и на основе частных структурных схем (рис. 6а, б) сопоставить ей электротехническую схему замещения.

Блок входных данных состоит из следующих пунктов.

1.     Тип поля: электростатическое поле, магнитостатическое поле.

2.     Количество зарядов/токов: 1–6.

3.     Координаты по оси X: –3–5.

4.     Координаты по оси Y: –4–6.

5.     Величина зарядов/токов: –3–3.

6.     Количество изолиний равного потенциала: 5, 10, 13, 20, 23, 30.

7.     Количество изолиний равного тока: 5, 10, 13, 20, 23, 30.

Пользователю предлагается выбор параметров блока входных данных, необходимых для реализации комплекса программ, для упрощения и понимания пользования данной программой.

Рисунок 6а демонстрирует частные структурные схемы для формирования дифференциальных уравнений (14) и (15).

Рисунок 6б демонстрирует частные структурные схемы для формирования одной точки, например  и т.д.

Рисунок 6в демонстрирует универсальную структурную схему для формирования фазового портрета динамической системы линий равного потенциала (8).

Рисунок 6г демонстрирует универсальную структурную схему для формирования фазового портрета динамической системы линий равного тока (12).

Подпись:   
а)							б)
Рис. 5. Фазовый портрет, полученный с помощью 
динамической системы
Картина поля становится наиболее наглядной и информативной при построении линий равного тока, которые позволяют судить о траектории движения заряженных частиц в электростатическом поле. Линии равного потенциала и равного тока взаимоперпендикулярны в пространстве. Образованная этими линиями площадь криволинейных прямоугольников, показывающих распределение адиабатического инварианта, в частности энергии электростатического поля и заряда, имеет величину емкости С. Густота и разреженность линий позволяют судить об интенсивности распределения энергий в пространстве.

Аналогично был получен фазовый портрет на рисунке 5б с противоположными знаками второго и третьего зарядов, декартовые координаты остались прежними (рис. 1). То же самое относится и к магнитному полю [9].

Решение уравнения Пуассона для магнитостатического поля:

,         (16)

где A(x, y) – комплексный магнитный потенциал; I=1A – ток; m0=4×p×10-7 Гн/м – магнитная постоянная; m=1 – магнитная проницаемость.

Подпись:  Рис. 6. Всплывающее окно блока входных данных: а) количество зарядов, б) координаты и величина заряда, в) количество изолиний равного потенциала, г) количество изолиний равного тока, д) картина поля в фазовой плоскости Теперь рассмотрим построение картины магнитостатического поля четырех токов (рис. 7) с помощью сведения уравнений в частных производных к динамической системе:

,    (17)

                  (18)

Подпись:  
Рис. 7. Фазовый портрет, полученный с помощью 
динамической системы
где d – плотность токов, при решении принято d=1 А/м2.

Магнитный векторный потенциал A(x, y) связан с компонентами напряженности магнитного поля (18) соотношением

              (19)

Здесь A(x, y) является вспомогательным потенциалом, позволяющим свести векторное уравнение к скалярному.

Постоянство потенциала поля A(x, y)=const при изменении координат x, y описывается уравнением

.                                     (20)

В результате получаем динамическую систему

                                                     (21)

Выражение (18) позволяет ввести функцию потока, которая определяется выражением

     (22)

Постоянство линий равного потока y(x, y)= =const при изменении координат x, y описывается уравнением

.                                  (23)

Динамическая система имеет вид

                                                  (24)

          (25)

Таким образом, есть две динамические системы (22) и (25) в параметрической форме, описываемые системой дифференциальных уравнений для обрисовки картин магнитостатического поля (линий равного потенциала и равного потока соответственно).

Пусть заданы координаты четырех линейных токов:

x=(0 1 –1 –1)T; y=(1 –1 –1 1)T

.

Проекции вектора напряженности магнитостатического поля на оси X и Y соответственно следующие:

    (26)

Используя уравнение (26), с помощью динамической системы (рис. 6в, г) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для четырех линейных токов:

  (27)

(28)

Универсальная структурная схема для формирования фазового портрета динамической системы линий равного потенциала и линий равного потока соответствует схемам, представленным на рисунке 6 (а–г), со своими начальными условиями.

Картина поля наиболее наглядна и информативна при построении линий равного потока. Линии равного потенциала и линии равного потока расположены взаимоперпендикулярно в пространстве. Образованная этими линиями площадь криволинейных прямоугольников, показывающих распределение адиабатического инварианта, в частности энергии магнитостатического поля и потокосцепления, имеет величину индуктивности. Густота и разреженность линий  позволяют судить об интенсивности распределения энергий в пространстве.

Таким образом, в данной статье описан метод сведения решения дифференциальных уравнений в частных производных Лапласа и Пуассона к решению системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью динамической системы.

Заменены реальные процессы аналоговой техникой через операционные усилители с помощью программы схемотехники MATLAB-Simulink. Получен фазовый портрет электромагнитных полей на основе моделирования динамической системы аналоговой техникой. 

Составлена структурная схема динамической системы, отображающая динамику процесса. Элементами схемы являются операционные усилители, на основе которых может быть сопоставлена электротехническая схема замещения.

Подавая на вход разработанной программы координаты зарядов, величину заряда и количество изолиний, с помощью динамической системы можно получить фазовый портрет для статических полей.

Литература

1.     Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии: учебник для ун-тов. М.: Наука, 1987. 432 с.

2.     Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления: учеб. пособие. М.: Наука, 1986. 272 с.

3.     Зевеке П.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.

4.     Васильева О.В., Исаев Ю.Н. Моделирование коаксиальных электротехнических устройств. Математическое моделирование электротехнических устройств на основе электротехнических схем замещения // Saarbrucken: LAP Lambert Academic Publ. GmbH & Co. KG, 2012. 165 с.

5.     Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учебник для вузов. М.: Физматлит, 2003. 400 с.

6.     Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985. 336 с.

7.     Демидович Б.П., Марон И.А., Шевалова Е.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учеб. пособие. СПб: Лань, 2008. 400 с.

8.     Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Добросвет, 2000. 412 с.

9.     Васильева О.В., Исаев Ю.Н. Аналоговое моделирование с использованием методов дифференциальной геометрии // Научное творчество молодежи: сб. тр. XII Всерос. науч.-практич. конф. (Анжеро-Судженск, 18–19 апреля 2008). Томск: Изд-во Том. ун-та, 2008. Ч. 1. С. 11–14.

References

1.   Novikov S.P., Fomenko A.T. Elementy differentsialnoy geometrii i topologii [Elements of differential geometry and topology]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 432 p. (in Russ.).

2.   Kartashev A.P., Rozhdestvenskiy B.L. Obyknovennye differentsialnye uravneniya i osnovy variatsionnogo ischisleniya [Ordinary differential equations and the basics of variation calculus]. Manual. Moscow, Nauka Publ., 1986, 272 p. (in Russ.).

3.   Zeveke P.V., Ionkin P.A., Netushil A.V., Strakhov S.V. Osnovy teorii tsepey [The basics of the circuit theory]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1989, 528 p. (in Russ.).

4.   Vasilyeva O.V., Isaev Yu.N. Modelirovanie koaksialnykh elektrotekhnicheskikh ustroystv. Matematicheskoe modelirovanie elektrotekhnicheskikh ustroystv na osnove elektrotekhnicheskikh skhem zameshcheniya [Modeling of coaxial electrotechnical devices. Mathematical simulation of electrotechnical devices on the basis of electrical circuits]. Saarbrucken, LAP Lambert Academic Publ., GmbH & Co. KG, 2012, 165 p.

5.   Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Uravneniya matemati­cheskoy fiziki [The equations of mathematical physics]. Univ. textbook, Moscow, Fizmatlit Publ., 2003, 400 p. (in Russ.).

6.   Ilyin V.P. Chislennye metody resheniya zadach electrofizi­ki [Numerical methods of electrophysics problems solving]. Moscow, Nauka Publ., 1985, 336 p. (in Russ.).

7.   Demidovich B.P., Maron I.A., Shevalova E.Z. Chislennye metody analiza. Priblizhenie funktsiy, differentsialnye i integralnye uravneniya [Numerical methods of analysis. Approximation of functions, differential and integral equations]. St. Petersburg, Lan Publ., 2008, 400 p. (in Russ.).

8.   Gelfand I.M., Shilov G.E. Obobshchyonnye funktsii i deystviya nad nimi [Generalized functions and operations on them]. Moscow, Dobrosvet Publ., 2000, 412 p. (in Russ.).

9.   Vasilyeva O.V., Isaev Yu.N. Analog modeling using differential geometry methods. Sbornik Trudov XII Vseross. nauch.-praktich. konf. “Nauchnoe tvorchestvo molodyozhi” [Proc. of the 12th All-Russian scientific-practical conf. “The scientific work of youth”]. Tomsk, Tomsk Univ. Publ., 2008, pp. 11–14. (in Russ.).


Постоянный адрес статьи:
http://swsys.ru/index.php?page=article&id=3774
Версия для печати
Выпуск в формате PDF (7.83Мб)
Скачать обложку в формате PDF (1.01Мб)
Статья опубликована в выпуске журнала № 1 за 2014 год. [ на стр. 141-147 ]

Возможно, Вас заинтересуют следующие статьи схожих тематик: