ISSN 0236-235X (P)
ISSN 2311-2735 (E)

Публикационная активность

(сведения по итогам 2017 г.)
2-летний импакт-фактор РИНЦ: 0,500
2-летний импакт-фактор РИНЦ без самоцитирования: 0,405
Двухлетний импакт-фактор РИНЦ с учетом цитирования из всех
источников: 0,817
5-летний импакт-фактор РИНЦ: 0,319
5-летний импакт-фактор РИНЦ без самоцитирования: 0,264
Суммарное число цитирований журнала в РИНЦ: 6012
Пятилетний индекс Херфиндаля по цитирующим журналам: 404
Индекс Херфиндаля по организациям авторов: 338
Десятилетний индекс Хирша: 17
Место в общем рейтинге SCIENCE INDEX за 2017 год: 527
Место в рейтинге SCIENCE INDEX за 2017 год по тематике "Автоматика. Вычислительная техника": 16

Больше данных по публикационной активности нашего журнале за 2008-2017 гг. на сайте РИНЦ

Вход


Забыли пароль? / Регистрация

Добавить в закладки

Следующий номер на сайте

4
Ожидается:
16 Декабря 2018

Моделирование процесса деформирования при наличии фазового перехода от потенциального к диссипативному течению

Modeling of the deformation process in the presence of a phase transition from a potential to dissipative stream
Статья опубликована в выпуске журнала № 2 за 2014 год. [ на стр. 145-150 ][ 05.06.2014 ]
Аннотация:Перекрестные эффекты в сложных системах определяются феноменологическими составляющими соответствующих систем уравнений, в которых на основе подхода Онзагера устанавливается связь между обобщенными потоками и обобщенными силами. Для деформационных задач эта связь, как правило, устанавливается линейным постулатом Гука. Однако на его основе невозможно описать фазовый переход второго рода от упругости к диссипативному пластическому течению, а непрерывные физические величины, такие как температура, концентрация при-меси и т.п., связать с условным пределом текучести, поскольку последняя величина является экспериментально-точечной. Как гипотезу, имеющую подтверждение на практике, примем, что коэффициенты взаимности L km , постоянные по Онзагеру, могут быть нелинейными функциями. Для деформационных задач примем постулат Коши, согласно которому в упругой области коэффициент Онзагера есть квадратичная функция деформации. В этом случае решение задачи упругости сводится к решению нелинейных уравнений. Применение метода конечных элементов требует решения систем большой размерности и, как следствие, больших затрат времени. Для сокращения времени счета используется метод граничных элементов в сочетании с применением там, где возможно, аналитических вычислений. В статье рассмотрен пример применения алгоритма к решению плоской задачи нелинейной упругости для неоднородной области.
Abstract:The paper considers the algorithm for solving nonlinear elasticity issue. Cross-effect in complex systems is determined by the phenomenological components of relevant systems of equations. In these systems the relation between the generalized flows and generalized forces is established based on the Onsa ger’s ap-proach. For the deformation problems, this relation usually is established by Hook’s linear postulate. However, this postulat e can not be a basis for describing the second-kind phase transition from elasticity to dissipative plastic flow. And relating con-tinuous physical quantities (temperature, admixture concentration etc.) can not offset yield strength since the latter is an ex-perimental pointwise quantity. As a practically confirmed hypothesis, it is assumed that the reciprocity factors L km, constant by Onsager, can be nonline-ar functions. For deformation problems we use the Cauchy postulate. It states that the Onsager factor in the elastic region i s a quadratic function of strain. In this case the elasticity problem solution is reduced to the sol ution of nonlinear equation. The application of the finite elements method requires a solution of large -dimension systems and, consequently, it is extremely time-consuming. To reduce the computation time, the boundary element method is used in combination with analytical com-putation if possible. The article considers the example of the algorithm application to solve a nonlinear plane problem of el as-ticity for an inhomogeneous region.
Авторы: Федотов В.П. (fedotov@imach.uran.ru) - Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва, Россия, Горшков А.В. (A.V.Gorshkov@urfu.ru) - Институт машиноведения Уральского отделения РАН, Екатеринбург, Россия, кандидат физико-математических наук
Ключевые слова: аналитические вычисления, граничные элементы, нелинейная упругость
Keywords: analytic calculation, boundary element, nonlinear elasticity
Количество просмотров: 3442
Версия для печати
Выпуск в формате PDF (6.10Мб)
Скачать обложку в формате PDF (0.87Мб)

Размер шрифта:       Шрифт:

Поведение элементов сложных систем определяется их физико-механическим откликом на силовые, температурные, диффузионные и другие воздействия. Это приводит к постановке связных, в основном нелинейных задач. Перекрестные эффекты определяются феноменологическими составляющими соответствующих систем уравнений, в которых на основе подхода Онзагера для связных физико-механических задач устанавливается связь [1] между обобщенными потоками Jk и обобщенными силами Xk: Jk=LkmXm.

Для деформационных задач эта связь, как правило, устанавливается линейным постулатом Гука. Однако на его основе невозможно описать фазовый переход второго рода от упругости к диссипативному пластическому течению [2], а непрерывные физические величины, такие как температура, концентрация примеси и т.п., связать с условным пределом текучести, поскольку последняя величина является экспериментально-точеч­ной. Как гипотезу, имеющую подтверждение на практике, примем, что коэффициенты взаимности Lkm, постоянные по Онзагеру, могут нелинейно зависеть от обобщенных сил Lkm=Lkm(Xm). Для деформационных задач примем постулат Коши, в соответствии с которым в упругой области зависимость коэффициента Онзагера от деформации в одномерном случае будет следующей:

L(e)=E× (1–ke+me2).                                               (1)

Тогда поведение рассматриваемой системы (деформирование образца) полностью определяется потенциалом

и описывается вариационным уравнением

.

Исследования этой системы методами синергетики [3] окончательно приводят к уравнению в упругой области:

,

, .                                         (2)

Схематично отклик системы на внешнее воздействие показан на рисунке 1. Здесь к.т. – кри- тическая точка. Если внешнее напряжение выше напряжения в этой точке, происходит хрупкое разрушение. АВ – метастабильное состояние, в котором возможен фазовый переход второго рода с образованием диссипативных структур [2]; ВС – неустойчивый участок, на котором возможен перескок на другую устойчивую ветвь; CD – площадка текучести; АВС – зуб текучести.

Подпись:  
Рис. 1. Схема отклика системы 
на внешнее воздействие. Варианты кривой s–e
Fig. 1. System response on external input
Такой подход приводит к решению задач нелинейной упругости. Использование метода конечных элементов требует решения систем большой размерности и увеличенного времени счета из-за трудоемкости итерационного процесса. Возможны несколько путей повышения скорости и точности численного решения. В алгоритме применяются два из них: метод граничных элементов, позволяющий уменьшить размерность матрицы разрешающей системы, и максимальное использование аналитических вычислений [4–6].

При таком подходе наиболее затратны по времени два этапа вычислений: построение матрицы разрешающей системы и вычисление интегралов от нелинейных слагаемых в процессе итерационного решения нелинейной задачи.

Интегралы по граничным элементам для построения разрешающей матрицы, в том числе сингулярные, вычислены аналитически. Это позволяет существенно сократить время и повысить точность вычисления матрицы, так как элементы матрицы вычисляются по конечным формулам.

Для вычисления интегралов от нелинейностей используется смешанная схема. Область поиска решения разбивается на конечные элементы, и вычисляются интегралы по элементам. Наибольший вклад в результат дают элементы, содержащие особую точку. Подынтегральная функция на таких элементах терпит разрыв второго рода, поэтому интегралы вычисляются аналитически, что обеспечивает более высокую скорость и точность вычислений по сравнению с обычным численным интегрированием. Интегралы по элементам, не содержащим особую точку, вычисляются по обычным формулам численного интегрирования, так как на этих элементах подынтегральные функции непрерывны, а их вклад в общий результат мал (принцип Сен-Венана) и быстро убывает по мере удаления от особой точки.

Следует отметить, что используемый алгоритм позволяет проводить распараллеливание процесса вычислений.

Построение граничного интегрального уравнения

Рассматривается задача нелинейной упругости в области V с границей Г для однородного изотропного материала. Предполагается, что в упругой области коэффициент Онзагера L(e) определяется согласно постулату Коши (1). В многомерном случае L(eij) для изотропного тела зависит от инварианта тензора деформаций I2, и его можно представить в виде L(I2)=E(1–F(I2)), F(I2)=kI2– , где k и m – положительные постоянные, (2). Связь тензора напряжений sij и тензора деформаций примет вид

.                  (3)

Здесь G – модуль сдвига; u – коэффициент Пуассона; eij – компоненты тензора деформаций; e – объемная деформация; dij – символ Кронекера. В плоском случае .

Коротко можно записать sij=(1–F(I2))Eijkmekm, где  – тензор упругих постоянных.

На части границы Г1 заданы перемещения , а на части Г2 заданы силы . Чертой отмечены заданные функции.

Как известно, метод граничных элементов [7] сводит решение нелинейной упругой задачи для тела V с границей Г к решению интегрального уравнения:

(4)

Здесь x=(x1, x2) – координаты точки интегрирования; x=(x1, x2) – координаты точки наблюдения; ui(x) – i-я компонента перемещения точки тела; pi(x) – i-я компонента усилий;  – компоненты перемещений;  – компоненты усилий фундаментального решения. Индекс x у символов dГx и dVx показывает, что интегрирование проводится по переменным x.

Построение дискретного уравнения плоской задачи

Согласно методу граничных элементов [7], разобьем границу области Г на N граничных элементов Гn, в качестве которых в данном случае взяты отрезки прямых. Элементы и узлы нумеруются последовательно, против часовой стрелки. При этом область получается слева, а внешняя часть – справа. Каждому элементу ставятся в соответствие два узла: начало элемента, точка x1n, и его конец, точка x2n, в направлении обхода нумерации. Индекс показывает, что эти точки относятся к элементу с номером n.

На элементе перемещения аппроксимируются линейными функциями, усилия – кусочно-посто­янными:  .

Здесь  – значение i-й компоненты усилия на элементе с номером n;  – значение i-й компоненты перемещения в узле k элемента с номером n;  – базисные функции n элемента, , ; Ln – длина элемента. Функции подобраны так, что в одном из узлов она равна 1, в другом 0. Такая система функций называется нормализованной. Вне элемента n на границе функции  обращаются в ноль. Заметим, что функции  определены только на границе и здесь s не вектор, а скалярный параметр, меняющийся вдоль границы. Для вычисления интеграла от нелинейных слагаемых

разобьем область V на M треугольных конечных элементов Vq, q=1, 2, …, M. Возможны четыре варианта взаимного положения точки x и элемента Vq области V.

1.     Точка x лежит вне элемента. Подынтегральная функция не имеет особенностей, и интеграл по элементу вычисляется по формуле (в плоском случае)

Подпись:  
Рис. 2. Блок-схема программы
Fig. 2. The algorithm block diagram

где S – площадь элемента; xk – координаты k узла элемента;  – значения компонент тензора напряжений в узле xk.

2.     Точка x совпадает с вершиной элемента Vn. Интеграл становится сингулярным со слабой особенностью. В этом случае интеграл вычисляется аналитически.

3.     Точка x лежит на границе.

4.     Точка x внутри элемента.

Случаи 3 и 4 сводятся к случаю 2 разрезанием элемента на вспомогательные.

Запишем (4) для узлов xn, k=1, 2, …, N, с учетом непрерывности перемещений , j=1, 2, где  – перемещение k узла элемента n в направлении j:

          (5)

Здесь ,  

                       (6)

В данном случае и далее первый индекс в обозначении перемещений будем опускать. Интегралы (5) по граничным элементам вычислены аналитически. Система (4) решается методом последовательных приближений. Первое приближение [7] ищем, отбросив нелинейные слагаемые:

Здесь ,  – значения компонент тензора деформаций и, соответственно, функции F(I2(e)), вычисленные по r-приближению решения. Верхние индексы показывают номер узла (n) и номер приближения (r). Решение линейной задачи описано в [6]. Блок-схема алгоритма приведена на рисунке 2.

Пример применения алгоритма

Для иллюстрации работы алгоритма рассматривается задача о растяжении неоднородной изотропной полосы с круговым включением (рис. 3). Длина полосы L=100 м, ширина h=10 м, радиус отверстия r=1 м.

Область включения обозначим V(2), соответственно обозначим границы областей: Г(1) – внешняя граница области V(1), Г(2) – внутренняя граница области и граница включения,  – упругие коэффициенты внешней области,  – упругие коэффициенты включения. 

Верхний индекс в скобках указывает, к какой области относится параметр или переменная.

На общей границе области V(1) и включения выполняются условия непрерывности перемещения:  i=1, 2, и условия рав­новесия усилий:  i=1, 2.

Использование изложенного выше подхода приводит к системе нелинейных уравнений:

      (7)

Подпись:  
а)
 
б)
Рис. 4. Графики напряжений:
а) касательное st , б) нормальное sn 
Fig. 4. Voltage diagram: 
a) shearing st , b) normal sn
которая решается методом последовательных приближений.

На рисунке 4 приведены графики нормального sn и касательного st напряжений в сечении x1=0 на отрезке 0£x2£5 относительно растягивающего усилия. Модули сдвига заданы относительно предела текучести sp=70 MПa. Вычисления проводились при значениях относительного модуля сдвига G(1)=500, G(2)=250, коэффициент Пуассона u=0,3.

Для сравнения были проведены расчеты при значениях относительного модуля сдвига G(1)=500, G(2)=0, что соответствует отверстию, и при G(1)=500, G(2)=500, что соответствует однородной полосе. Полученные решения совпадают с теоретическими [8].

На рисунке 4 приведен график касательных напряжений в сечении а–а.

Таким образом, в данной работе предложена и обоснована физически нелинейная модель упругого тела, позволяющая осуществить корректный фазовый переход (по Пригожину) от потенциального упругого к диссипативному пластическому течению. Построен алгоритм реализаций таких задач, основанный на методе граничных элементов, для чего созданы соответствующие системы граничных интегральных уравнений. В качестве иллюстрации работы алгоритма рассмотрена задача о растяжении неоднородной изотропной полосы с круговым включением.

Литература

1.     Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: Иностранная литература, 1960. 127 с.

2.     Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1974. 301 с.

3.     Томпсон Дж.М. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985. 256 с.

4.     Федотов В.П., Нефедова О.А. Применение модифицированного метода граничных элементов для решения параболических задач // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та: Сер. Физ.-мат. науки. 2011. Вып. 4 (25). С. 93–101.

5.     Федотов В.П., Спевак Л.Ф. Аналитическое интегрирование функций влияния для решения задач упругости и теории потенциала методом граничных элементов // Математическое моделирование. 2007. Т. 19. № 2. С. 87–104.

6.     Федотов В.П., Горшков А.В. Численно-аналитический метод решения задач упругости с особенностями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та: Сер. Физ.-мат. науки. 2005. Т. 38. C. 29–34.

7.     Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

8.     Седов Л.И. Механика сплошных сред. В 2 т. М.: Наука, 1983.

References

1.     Prigogin I. Introdaction to termodynamics of irreversible processes. Springer Publ., Illinois, USA, 1955, 160 p. (Russ. ed.: Moscow, Inostrannaya literatura Publ., 1960, 127 p.).

2.     Dyarmati I. Neravnovesnaya termodinamika [Non-equilib­rium thermodynamics]. Moscow, Mir Publ., 1974, 301 p.

3.     Thompson J.M.T. Instabilities and catastrophes in science and ingineering. New York, Wiley Publ., 1982, 226 p. (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 1985, 256 p.).

4.     Fedotov V.P., Nefedova О.А. Application of modified method of boundaty elements to solve parabolic problems. Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta: ser. Fiz.-mat. nauki [The bulletin of Samara State Tech. Univ. Physics and Mathematics Science Series]. 2011, vol. 25, pp. 93–101.

5.     Fedotov V.P., Spevak L.F. Analytical integration of influence functions to solve the elastic problems and potential theory using the boundary elements method. Matematicheskoe modeliro­vanie [Mathematical modeling]. 2007, vol. 19, no. 2, pp. 87–104.

6.     Fedotov V.P., Gorshkov A.V. Numerical-analytical me- thod of solving elastic problem with singularities. Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta: ser. Fiz.-mat. nauki [The bulletin of Samara State Tech. Univ. Physics and Mathematics Science Series]. 2005, vol. 38, pp. 29–34.

7.     Brebbiya C.A., Telles J.C.F.,  Wrobel L.C.  Boundary element techniques. Berlin, Springer – Verlaq Publ., Heidelberg New York, Tokyo 1984. (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 1987, 524 p.).

8.     Sedov L.I. Mekhanika sploshnykh sred [Mechanics of continua medium]. Moscow, Nauka Publ., 1983, vol. 1–2.


Постоянный адрес статьи:
http://swsys.ru/index.php?page=article&id=3825
Версия для печати
Выпуск в формате PDF (6.10Мб)
Скачать обложку в формате PDF (0.87Мб)
Статья опубликована в выпуске журнала № 2 за 2014 год. [ на стр. 145-150 ]

Назад, к списку статей

Хотите оценить статью или опубликовать комментарий к ней - зарегистрируйтесь