При автоматизации технологических процессов важную роль играет определение настроек регуляторов. Наибольшее применение находят одноконтурные замкнутые системы автоматического регулирования (САР) с типовыми линейными законами регулирования. В разомкнутой цепи такой системы находятся последовательно соединенные регулятор и объект регулирования с передаточными функциями W(p) и Wp(p) соответственно [1]. В отличие от большинства существующих методов расчета настроек регуляторов [2–4], в которых показателем качества являются интегральные критерии, метод расширенных частотных характеристик (РЧХ) обеспечивает определение множества настроек регулятора (линии равного затухания (ЛРЗ)), обеспечивающих заданную степень колебательности m переходного процесса замкнутой системы [5].

Согласно критерию Найквиста [5, 6], для расширенной частотной характеристики (РЧХ) [7] условием заданной колебательности в замкнутой САР является прохождение расширенной амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) разомкнутой системы через точку (–1, j×0).

Обозначая расширенные частотные характеристики объекта и регулятора через W(m, w) и Wp(m, w), получим вышеуказанное условие в виде

,

откуда Wp(m, w) = – 1/ Wp(m, w).                          (1)

Находя значения расширенной частотной передаточной функции объекта W(m, w) и подставляя их в формулу (1), получим значения РЧХ регулятора Wp(m, w). Пусть действительная часть РЧХ регулятора – R(w), а мнимая часть – I(w), тогда

Wp(m, w) = – 1/W(m, w)= R(w) + jI(w).           (2)

Подставляя в (2) выражения для РЧХ объекта регулирования и регулятора и разрешая систему относительно настроечных параметров регулятора, можно получить уравнение ЛРЗ в параметрическом виде, где параметром является частота w. Произведем вывод расчетных соотношений ЛРЗ для случая типового общепромышленного ПИД-регулятора, рассматривая остальные законы регулирования как частный случай ПИД-закона. В отличие от приведенных в [6, 7] соотношений для описания дифференциальной составляющей ПИД-регулятора используется не идеальное, а реальное дифференцирующее звено [6]. Запишем РЧХ ПИД-регулятора:

    (3)

Избавляясь от комплексности в знаменателе второй и третьей частей уравнения, получим:

                (4)

Приравнивая действительную часть выражения (4) к R(w), а мнимую к I(w) и решая систему этих двух уравнений относительно пропорциональной K1 и интегральной K0 настроек, получим уравнения ЛРЗ для системы с ПИД-регулятором в виде

    (5)

При K2 = 0 получим уравнения ЛРЗ для системы c ПИ-регулятором. Подставляя в (5) K0 = 0, получим уравнения ЛРЗ для системы c ПД-регулято­ром:

              (6)

Приведем текст программы для нахождения настроек регуляторов методом РЧХ [8, 9] в среде Matlab:

clear

close all

clc

W=tf([3],[1 2 2])

m=0.3 % степень колебательности

w=[0.1:0.1:7]; % диапазон частот

tz=4; % желаемое время регулирования

sigz=32; % желаемое перегулирование

Tf=0; % постоянная времени фильтра

[num,den]=tfdata(W,'v');

r=roots(den);

Wreg=-polyval(den,(j-m)*w)./polyval(num,(j-m)*w); % РЧХ регулятора

R=real(Wreg); % действительная часть РЧХ регулятора

I=imag(Wreg); % мнимая часть РЧХ регулятора

K2=[0 0.2 0.4 0.6 1 2 5]

n=length(K2);

   for i=1:n % по настройкам K2

     znam=(1-Tf*m*w).^2+(Tf*w).^2;

     K1=R-m*I+m*K2(i)*w.*(2-Tf*(m+1)*w)./znam;

     K0=-(m^2+1)*I.*w+((m^2+1)*K2(i)*w.*w)./znam;

     kp=0; K1_plus=[]; K0_plus=[]; % положительные настройки

       for j=1:length(K1)

         if (K1(j)>0) && (K0(j)>0) && (K0(j)*K2(i)/K1(j)^2<=0.25)

           kp=kp+1;

           K1_plus(kp)=K1(j); K0_plus(kp)=K0(j);

         end;   

       end;     

     if (length(K1_plus)>0)

      figure(1)

      plot(K1_plus,K0_plus,'m')

      grid on; title('График ЛРЗ K0=f(K1)'); xlabel('K1(\omega)'); ylabel('K0(\omega)');

      hold on

      krit=[];

        for k=1:kp

          WPID=tf([K2(i)+Tf*K1_plus(k) K1_plus(k)+Tf*K0_plus(k) K0_plus(k)],[Tf 1 0]);

          Wzam=feedback(W*WPID,1,-1);

          krit(k)=Jkrit(Wzam,tz,sigz,m);

        end;

        [Jmin,kmin]=min(krit);

        K1_min=K1_plus(kmin);

        K0_min=K0_plus(kmin);

        K1_opt(i)=K1_min;

        K0_opt(i)=K0_min;

        Jopt(i)=Jmin;

        Wreg_opt=tf([K2(i)+Tf*K1_min K1_min+Tf*K0_min K0_min],[Tf 1 0])

        plot(K1_min,K0_min,'--rs','MarkerEdgeColor', 'k','MarkerFaceColor','g','MarkerSize',8)

        Wzam_opt=feedback(W*Wreg_opt,1,-1);

        [y,t]=step(Wzam_opt);

        figure(2)

        plot(t,y,'b')

        grid on; title('График переходного процесса замкнутой системы');

        xlabel('t'); ylabel('y(t)'); hold on

        chars=Quality(Wzam_opt); chars_opt(i)=chars;

      end;

   end; 

[Jbest,kbest]=min(Jopt)

K1_best=K1_opt(kbest); K0_best=K0_opt(kbest); K2_best=K2(kbest);

Wreg_best=tf([K2_best+Tf*K1_best K1_best+Tf*K0_best K0_best],[Tf 1 0])

figure(1)

inf=strcat('K1=',num2str(K1_best,'%0.1f'),'; K0=',num2str(K0_best,'%0.1f'),...

'; K2=',num2str(K2_best,'%0.1f'));

text(1.05*K1_best,K0_best,['\fontsize{10}',inf],'BackgroundColor',[.7 .9 .7]);

figure(2)

Wzam_best=feedback(W*Wreg_best,1,-1);

[y,t]=step(Wzam_best);

plot(t,y,'r')

inf=strcat('\sigma=',num2str(chars_opt(kbest).perereg,'%0.1f'),'%; t=',...

num2str(chars_opt(kbest).tproc,'%0.1f'),'c; m=', num2str(chars_opt(kbest).m,'%0.2f'));

text(0.6*t(end),0.1,['\fontsize{12}',inf],'BackgroundColor',[.7 .9 .7]);

Семейство ЛРЗ для приведенных в программе значений K2 представлено на рисунке 1.

При расчете использована колебательная передаточная функция объекта регулирования W(p) = = 3/(p2 + 2p +2).

Для выбора оптимальных настроек регулятора используется критерий, характеризующий минимальное отклонение перерегулирования s, времени tp и степени колебательности m переходного процесса замкнутой системы с регулятором от их заданных значений, соответственно sзад., tзад. и mзад.:

            (7)

Текст функции Jkrit для расчета критерия оптимальности:

function J=Jkrit(Wzam,tz,sigz,m)

chars=Quality(Wzam);

J=abs(chars.tproc-tz)/tz+abs(chars.perereg-sigz)/sigz+abs(chars.m-m)/m;

Определение характеристик качества chars производится с помощью функции Quality, текст которой выглядит следующим образом:

function chars=Quality(sysw)

[numw,denw]=tfdata(sysw,'v');

chars.numw = numw; chars.denw = denw;

[y,t]=step(sysw);

chars.y=y; chars.t=t;

maxy=max(y); np=length(y); yyst=y(np);

  if yyst<=1.E-3  chars.perereg=1.E6;

   else  chars.perereg=(maxy-yyst)/yyst*100;  end;

chars.tproc=t(np);

p=pole(sysw);

chars.roots=p;

re=real(p); im=imag(p);

re_im=abs(nonzeros(diag(im~=0)*re)./nonzeros(im));

  if isempty(re_im)  chars.m=1.E6;

   else  chars.m=min(re_im);  end;

На рисунке 2 показаны наилучшие по критерию (7) переходные процессы для каждой из линий равного затухания и оптимальный процесс, удовлетворяющий требуемым характеристикам качества.

Недостатком приведенного метода РЧХ является сведение пространственной задачи нахождения настроек ПИД-регулятора K1, K0, K2 к решению двухмерной задачи в области параметров K1, K0  при фиксированных значениях K2. В связи с этим в качестве дальнейшего развития метода РЧХ можно предложить переход от набора параметров (K1, K0, K2) к набору (K1, Tд/Tu, Tu), где Tu = K1/K0 и Tд = K2/K1  – постоянные времени, соответственно интегрирования и дифференцирования. Кроме того, метод работает некорректно, если желаемая степень колебательности системы m больше степени колебательности объекта mоб.

Полученные результаты расчета настроек регуляторов можно использовать для оптимального управления объектами в технологических процес- сах, а также распространить на многоконтурные системы управления [10].

Наличие в Matlab возможностей удобной работы с массивами и графического вывода данных позволяет эффективно использовать эту среду программирования для решения задач нахождения оптимальных настроек регуляторов.

Литература

1.     Иванов В.А., Медведев В.С., Чемоданов Б.К., Ющенко А.С. Математические основы теории автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. Т. 1. 551 с.

2.     Писарев А.В., Новиков С.И. Сравнительные исследования расчетных методов определения параметров настроек промышленных ПИД-регуляторов // Энергетика и теплотехника: Сб. науч. тр. 2007. Вып. 11. С. 191–200.

3.     Денисенко В. ПИД-регуляторы: вопросы реализации. Ч. 2 // Современные технологии автоматизации. 2008. № 1. С. 86–97.

4.     Смирнов Н.И., Сабанин В.Р., Репин А.И. Структурная и параметрическая оптимизация каскадных САР с использованием эволюционных алгоритмов // Автоматизация и IT в энергетике. 2010. № 5. С. 26–34.

5.     Ротач В.Я. Теория автоматического управления. М.: Изд-во МЭИ, 2005. 396 с.

6.     Марголис Б.И. Компьютерные методы анализа и синтеза систем автоматического регулирования в среде Matlab. Тверь: Изд-во ТГТУ, 2015. 92 с.

7.     Токарев В.В., Ягубов З.Х., Приезжаев А.Б., Скаб- кин Н.Г. Расчет оптимальных параметров промышленных автоматических систем регулирования. Ухта: Изд-во УГТУ, 2003. 84 с.

8.     Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB. СПб: Питер, 2005. 512 с.

9.     Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/ R2006/ R2007: самоучитель. М.: ДМК Пресс, 2008. 768 с.

10.   Марголис Б.И., Мешков И.С. Синтез регуляторов в каскадных системах автоматического управления // Вестн. ТвГТУ. 2016. Вып. 29. № 1. С. 74–79.

References

1. Ivanov V.A., Medvedev V.S., Chemodanov B.K., Yushchenko A.S. Mathematical Foundations of the Theory of Automatic Control. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2006, vol. 1, 551 p.
2. Pisarev A.V., Novikov S.I. Comparative studies of calculation methods for determining the parameters of industrial PID controllers. Proc. “Power and Heat Engineering”. 2007, iss. 11, pp. 191–200 (in Russ.).
3. Denisenko V. PID controllers: implementation issues. Part 2. Modern Automation Technologies. 2008, no. 1,
   pp. 86–97 (in Russ.).
4. Smirnov N.I., Sabanin V.R., Repin A.I. Structural and parametric optimization of cascaded ATS using evolutionary algorithms. Automation and IT in Power Engineering. 2010, no. 5, pp. 26–34 (in Russ.).
5. Rotach V.Ya. Theory of Automatic Control.  Moscow, MPEI Publ., 2005, 396 p.
6. Margolis B.I. Computer Methods of Analysis and Synthesis of Automatic Control Systems in Matlab. Tver, TGTU Publ., 2015, 92 p.
7. Tokarev V.V., Yagubov Z.Kh., Priezzhaev A.B., Skabkin N.G. Calculation of Optimal Parameters of Industrial Automatic Control Systems. Ukhta, USTU Publ., 2003, 84 p.
8. Lazarev Yu. Modeling Processes and Systems in MATLAB. St.-Petersburg, Piter Publ., 2005, 512 p.
9. Dyakonov V.P. MATLAB 7.*/ R2006/ R2007: Teach Yourself. Moscow, DMK Press, 2008, 768 p.
10. Margolis B.I., Meshkov I.S. Synthesis of Controllers in Cascade Control Systems. Bulletin of TSTU. 2016, iss. 29,
    no. 1, pp. 74–79 (in Russ.).