ISSN 0236-235X (P)
ISSN 2311-2735 (E)

Публикационная активность

(сведения по итогам 2016 г.)
2-летний импакт-фактор РИНЦ: 0,493
2-летний импакт-фактор РИНЦ без самоцитирования: 0,389
Двухлетний импакт-фактор РИНЦ с учетом цитирования из всех
источников: 0,732
5-летний импакт-фактор РИНЦ: 0,364
5-летний импакт-фактор РИНЦ без самоцитирования: 0,303
Суммарное число цитирований журнала в РИНЦ: 5022
Пятилетний индекс Херфиндаля по цитирующим журналам: 355
Индекс Херфиндаля по организациям авторов: 499
Десятилетний индекс Хирша: 11
Место в общем рейтинге SCIENCE INDEX за 2016 год: 304
Место в рейтинге SCIENCE INDEX за 2016 год по тематике "Автоматика. Вычислительная техника": 11

Больше данных по публикационной активности нашего журнале за 2008-2016 гг. на сайте РИНЦ

Вход


Забыли пароль? / Регистрация

Добавить в закладки

Следующий номер на сайте

4
Ожидается:
16 Декабря 2017

Построение маршрута с максимальной  пропускной способностью  методом последовательного улучшения оценок

Статья опубликована в выпуске журнала № 2 за 2004 год.[ 25.06.2004 ]
Аннотация:
Abstract:
Авторы: Котов А.С. () - , ,
Ключевое слово:
Ключевое слово:
Количество просмотров: 10622
Версия для печати
Выпуск в формате PDF (1.54Мб)

Размер шрифта:       Шрифт:

В ряде работах [1,2] построение маршрута с максимальной пропускной способностью производится непосредственно на сети, представленной графом. Такие методы, обладая хорошей наглядностью (особенно если сеть достаточно проста), затрудняют использование ЭВМ как для хранения исходной информации, так и для процесса оптимизации. Метод улучшения оценок рассчитан на представление сети (графа) в виде матрицы смежности c, где cij – пропускная способность участка сети от вершины Ai до вершины Aj, то есть дуги (i,j). Матрица  c может быть и несимметричной ($cij¹cji), что не повлияет на предлагаемый метод построения оптимального маршрута  от вершины (пункта) Ak к вершине Al, то есть маршрута, обладающего наибольшей пропускной способностью – .

Следуя [1], некоторый произвольный маршрут (путь)  от Ak к Al будем обозначать как упорядоченную последовательность вершин, соединенных дугами:

,                                 (1)

где указаны номера вершин, или дуги.

Множеству дуг (i,j), принадлежащих маршруту mk,l (1), соответствует множество их пропускных способностей {cij}. Минимальная из этих пропускных способностей определяет собой критическую пропускную способность всего пути pk,l:

,                                            (2)

где (ik,jl) – критическая дуга маршрута mk,l.

Например, для некоторого произвольного маршрута m1,6, построенного по матрице пропускных способностей (табл. 1) m1,6=á1,4,5,3,6ñ, пропускная способность и критическая дуга, согласно (2), равны (критическая дуга в маршруте m1,6 выделена жирным шрифтом):

p1,6={c1,4, c4,5, c5,3, c3,6}=

=min{5,7,2,3}= c5,3= 2 Þ(i1,j6) =(5;3)

Однако от вершины Al к вершине A6 существует целое множество  возможных путей, среди которых содержится, по крайней мере, один оптимальный (то есть имеющий наибольшую пропускную способность ). В частности, между указанными пунктами оптимальными являются следующие два маршрута:

=á1,5,2,4,6ñ,

=min{22,28,23,25}=22,

,

={22,28,22,29}=22.

Таблица 1

c = || cij ||, j=1

                                           j,l

i,k

i

j

1

2

3

4

5

6

1

 

1

16

5

22

9

2

12

 

22

23

27

3

3

23

18

 

14

24

29

4

4

8

30

 

7

25

5

20

28

2

13

 

17

6

6

15

26

11

19

 

Из всех Nn возможных маршрутов построение оптимального пути от пункта Ak к Al можно записать как решение следующей оптимизационной задачи на графе:

,                            (3)

при условиях:

,                                                             (4)

.                                                     (5)

Примечание. Количество возможных путей Nn от вершины Ak до вершины Al при произвольной матрице c (j<1 – коэффициент полноты – доля значащих (cij>0) элементов матрицы) можно оценивать сверху (при j=1, табл. 1) по рекуррентной формуле:

, ,      (6)

где r – количество промежуточных элементов, расположенных в маршруте mk,l между концевыми элементами k и l.

Например, для n=6 имеем N6=65, при этом Nn быстро увеличивается по мере увеличения размера n матрицы c (N10=104001).

Довольно простая формальная запись задачи о пропускной способности маршрута в комбинаторной ее постановке возможна благодаря сложности самих переменных mk,l по сравнению со скалярными переменными, с которыми, как правило, приходится иметь дело при постановке задачи в форме задачи математического программирова-  ния [3]. Обычно существенно отличаются от классических и методы решения комбинаторных задач, нося специальный, порой и явно неформальный характер.

Таблица 1

c = || cij ||.

                  j=1                        j,l

i,k

1

2

3

4

5

6

1

 

1

16

5

22

9

2

12

 

22

23

27

3

3

23

18

 

14

24

29

4

4

8

30

 

7

25

5

20

28

2

13

 

17

6

6

15

26

11

19

 

Таблица 2

Совмещенная матрица .

 

J=

 

1

2

3

4

5

6

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

Рассматриваемый ниже метод последовательного улучшения оценок, в частности, также носит неформальный характер.

Суть метода последовательного улучшения оценок для построения оптимального маршрута  (его множества ) состоит в том, что, начиная с некоторой исходной оценки сверху  искомой максимальной пропускной способности  маршрута , производится монотонное ее улучшение (приближение к ). Каждому текущему значению оценки  соответствует некоторое множество Gt={ci,j}t элементов матрицы c, не меньших значения оценки . Любой маршрут , построенный на этом множестве, будет иметь пропускную способность не меньшую, чем оценка . Поскольку по мере уменьшения значения оценки pt множество Gt монотонно увеличивается, то на некоторой итерации t станет возможным построение маршрута от Ak до концевой вершины Al (то есть jt=l). Полученный маршрут (их множество) является оптимальным, а его пропускная способность  равна текущей оценке . В качестве начальной оценки следует брать значение:

{},                                           (7)

где первый и второй элементы в (7) означают максимально возможную пропускную способность соответственно начальной и конечной дуг   оптимального маршрута , при этом естественно, что его пропускная способность  не может быть больше любого из этих двух элементов.

Более подробно некоторые детали метода улучшения оценок, а также возможность определения всего множества оптимальных маршрутов рассмотрим на следующих двух числовых примерах.

Пример 1. Найти оптимальный маршрут от пункта A6 к пункту A2 и его пропускную способность .

Начальная оценка (t=1) максимальной   пропускной способности, согласно (7), равна   (табл. 1):

, .

Из пункта A6 начинается построение множества маршрутов  по дугам с пропускными способностями не ниже оценки  – :

t=1, : <, ,

,                                    (8)

где It – множество номеров вершин (строк), вошедших в маршрут  на t-й итерации при оценке  (t=1); < – знак прекращения процесса построения маршрута; jt – номер концевой вершины маршрута, построенной на t-м шаге.

Из таблицы 1 видно, что при данной оценке переход из пункта A6 возможен только в A3. Поскольку из вершины A3 возможен переход только в A6 (), то это приведет к образованию цикла, поэтому процесс построения маршрута прекращается.

Так как номер концевой вершины j1=3 не равен требуемому (l=2), то необходимо перейти к улучшенной оценке . Это позволит начать построение нового множества маршрутов. Такое множество образуется при разветвлении маршрута в любой из его вершин, если в соответствующей строке матрицы c окажется более одного элемента cij не меньшего значения новой оценки . Ветвление маршрута позволит выявить все множество оптимальных маршрутов, если оно существует.

Для определения улучшенной оценки  необходимо в каждой строке iÎIt (8) найти ближайший к предыдущей оценке  элемент  и из этих элементов наибольший взять в качестве новой оценки:

.                                                                               (9)

Номер  наибольшего элемента  в i-й строке на t-й итерации найдется из условия:

                                                 (10)

где коэффициенты cij в i-й строке выбираются только из тех столбцов j, номера которых еще не вошли в маршруты {} (8).

Для рассматриваемого примера, согласно (10) и таблице 1, имеем:

I=k=6:=

,                                   (11)

i=3: min{26-23; 26-18; 26-14; 26-24}=

26-24=2 Þ c3,5=24, =5.

В соответствии с (9) и (11) улучшенная оценка максимальной пропускной способности от пункта A6 к A3 равна:

.

От пункта A6 начинается построение множества оптимальных маршрутов с использованием дуг, для которых пропускная способность не ниже полученной оценки. На основании таблицы 1 имеем:

t=2, :  <, ,                  (12)

где под стрелками записаны пропускные способности соответствующих дуг.

Поскольку концевой элемент j2=2 совпал с концевым элементом искомого маршрута (l=2), то решение получено, при этом множество оптимальных маршрутов составил только один маршрут (12). Его пропускная способность максимальна и равна текущей оценке . Оптимальный маршрут записан в совмещенной матрице – (таблица табл. 2).

Таблица 2

Совмещенная матрица

i

j

1

2

3

4

5

6

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

Пример 2. По данным таблицы 1 найти маршрут  и .

Согласно (7) и таблице 1, начальная оценка равна:

.

По оценке  строится множество маршрутов:

t=1, :  <, ,

.

Из пункта A2 не существует дуг с пропускной способностью не меньшей, чем . Процесс закончен, но решение не получено – требуется улучшить оценку.

В строках  ближайшими к оценке  элементами и меньшими ее являются  и c2,4=23 (см. (10)). Следовательно, согласно (9), улучшенная оценка равна:

.

Новая оценка приводит к множеству оптимальных решений:

<,

 = á5,2,4,3ñ

t=2, : .                                                (13)

<,

= á5,2,4,6,3ñ.

Полученные решения заносятся в таблицу 2.

Рассмотренные примеры и их анализ позволяют сформулировать алгоритм построения маршрутов с максимальной пропускной способностью (см. блок-схему алгоритма). Поскольку алгоритм решения достаточно прост, то ограничимся только некоторыми определенными замечаниями, которые могут оказаться полезными при разработке программы. В частности, при построении маршрутов  (пункт 30) следует иметь в виду, что в любом из них не могут содержаться две одинаковые вершины, так как это означало бы наличие цикла. Удаление из маршрута цикла не может ухудшить решение. Действительно, если цикл содержит в себе критическую дугу, то ее удаление вместе с циклом способно только улучшить решение. Если такая дуга не входит в цикл, то на пропускную способность маршрута удаление цикла влияние не окажет. В алгоритме предусмотрены меры, исключающие возможность возникновения циклов. Из сказанного следует, что оптимальный маршрут не может содержать более чем n элементов (n-1 дуг).

Второе замечание касается пунктов 50 и 60, которые обеспечивают наиболее рациональный выбор каждой очередной улучшенной оценки , что ведет к уменьшению объема вычислений при решении. Это видно из следующего сравнения.

Если в примере 2 вместо выбора оценки согласно пунктам 50 и 60 применить более простой способ выбора – по убыванию значений элементов cij в матрице c – то, начиная с , получим следующую последовательность улучшенных оценок:

              1,         2,         3,         4,         5,         6

   28,       27,       26,       25,       24,       23        (14)

(то есть ).

Из (13) видно, что при простом способе выбора оценки  потребуется выполнить 5 итераций, в то время как при способе, реализованном в алгоритме (пункты 50 и 60), потребовалась только одна итерация (соответствующие оценки в (14) выделены жирным шрифтом). Для задач больших размеров (n>1000) это может существенно снизить объем вычислений.

Подпись: Блок-схема алгоритма определения оптимального
маршрута с максимальной пропускной
способностью Заметим, что для любого произвольно выбранного маршрута можно определить, является ли он оптимальным или его пропускную способность можно увеличить. Для этого используется следующее достаточное условие оптимальности: если маршрут mk,l оптимален, то не существует другого маршрута m¢k,l, имеющего более высокую оценку, чем маршрут mk,l.

Используя сформулированное условие оптимальности, убедимся, что полученное множество решений (13) оптимально.

Для этого достаточно в матрице c ближайший по значению к  (но больший) элемент взять в качестве оценки для  и убедиться  в невозможности построить маршрут с новой оценкой . Такой оценкой является элемент . В таблице 1 выделяются все элементы cij не меньшие, чем  (в таблице 1 эти элементы выделены жирным шрифтом). Остается убедиться, что не существует ни одного маршрута m5,3 на множестве выделенных элементов. На основании таблицы 1 имеем:

:  < .

С оценкой  не существует маршрута m5,3 и, следовательно, решение (13) оптимально.

В заключение отметим, что метод не потребует изменений в случае неполной матрицы c (j<1).

Список литературы

1.Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. - М.: МЦНМО, 2002. – 960 с.

2.Берж К. Теория графов и ее применения: М.: Изд-во ин. лит-ры, 1962. – 320 с.

3.Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.: Наука, 1986. – 285 с


Постоянный адрес статьи:
http://swsys.ru/index.php?page=article&id=595
Версия для печати
Выпуск в формате PDF (1.54Мб)
Статья опубликована в выпуске журнала № 2 за 2004 год.

Возможно, Вас заинтересуют следующие статьи схожих тематик: