Software & Systems

Применение существующих моделей массового обслуживания во многих случаях не является целесообразным, так как указанные модели неадекватно описывают процессы обслуживания в реальных условиях функционирования.

Так, классическая теория обслуживания предусматривает исследование многоканальной системы, где число приборов s равно числу каналов. В зависимости от вида систем массового обслуживания (СМО) каждый канал либо обслуживается независимо от других каналов (СМО без взаимопомощи), либо каналы обслуживают все свободные приборы или часть свободных приборов (СМО с полной или частичной взаимопомощью).

Интенсивность потока обработки грузов каждого канала равна μ0. Вероятности обслуживания одной заявки зависят от числа работающих каналов обслуживания. Результирующая интенсивность обслуживания в n-м состоянии определяется на основе принципа линейной суперпозиции, то есть равна суммарной интенсивности всех приборов обслуживания и кратна расчетной интенсивности одного прибора μ0.

Кроме того, процесс обслуживания считается непрогнозируемым и неуправляемым, то есть администратору СМО неизвестно число заявок, которые в ближайшее время поступят в систему, и он не может в зависимости от состояния СМО менять интенсивности приборов обслуживания.

В реальных условиях функционирования различных СМО процессы обслуживания не адекватны указанным допущениям.

В работе рассматривается СМО, управляемая администратором. Администратор определяет дисциплину очереди и дисциплину обслуживания, а также производит распределения ресурсов между отдельными каналами. Когда очередь заявок существенно возрастает, администратор может привлечь дополнительные ресурсы, тем самым существенно увеличивая интенсивность обслуживания отдельных каналов.

В этом случае интенсивность обслуживания может меняться в зависимости от состоянии системы. Результирующая интенсивность обслуживания в состоянии En=rnμ0, где коэффициент интенсивности обслуживания rn может быть как целым, так и дробным числом. Если заняты все каналы, то есть n≥s, то предполагается, что rn=const (обычно rn=rmax).

Обозначим вероятность нахождения системы в состоянии En в момент времени t через Pn(t), тогда всем состояниям системы будет соответствовать стохастический вектор:

(1)

Первые n+1 уравнений, описывающих СМО в стационарном режиме, можно представить в виде:

;

,

где – интенсивность потока заявок.

Рассмотрим, какими свойствами должна обладать матрица интенсивностей, чтобы в СМО протекали марковские процессы. Для этого необходимо, чтобы все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, были пуассоновскими (простейшими), то есть элементы матрицы интенсивностей не изменялись во времени. Таким образом, коэффициенты rn (n=1,2,3...) могут принимать любые целые или дробные положительные значения, но должны оставаться постоянными величинами. Такая матрица интенсивностей обычно называется простейшей матрицей, а соответствующий случайный процесс – простейшим марковским процессом.

Нормировочное условие можно записать следующим образом:

, (2)

где – приведенная плотность потока заявок.

Вторая сумма (2) представляет сумму членов геометрической прогрессии. Отсюда:

. (3)

Выражение (3) является наиболее общим выражением для вероятности того, что все каналы свободны. В зависимости от дисциплины обслуживания (без взаимопомощи, с полной или частичной взаимопомощью, а также в случаях, когда интенсивность обслуживания отдельными каналами меняется в зависимости от состояния системы) значение коэффициентов ri, а следовательно, и элементов матрицы интенсивностей и переходов, будет меняться. Соответственно, будут меняться и выражения для вероятностей состояний системы. Но все они могут рассматриваться как частные случаи выражения (3).

Можно показать, что среднее число заявок в очереди и в системе будет определяться выражениями:

; (4)

. (5)

Среднее время ожидания заявки в очереди и среднее время прибытия заявки в СМО имеет вид:

; (6)

(7)

Предлагаемые модели управляемой СМО были использованы для идентификации процессов обработки контейнерных грузов, а также для оптимального распределения ресурсов на специализированных терминалах морских портов.