Software & Systems

При решении задачи прогнозирования рядов динамики экономических показателей, например с помощью MS Excel, необходимо учитывать следующие их особенности.

1.   Анализируемый экономический показатель Y испытывает на себе влияние множества факторов X={xi, i=}, которое состоит из двух подмножеств: X={XU}È{XT}, где {XU} – подмножество управляющих входных факторов; {XT} – подмножество контролируемых и неконтролируемых воздействий внешней среды. Часть этих факторов имеет монотонный характер изменения и вызывает такое же монотонное изменение анализируемого показателя. Существует значительная часть входных факторов изменяющихся скачкообразно, что вызывает резкое изменение производной Y (например, получение разового льготного кредитования, введение повышенных импортных пошлин, резкая девальвация рубля и т.п.).

2.   Важной особенностью временных рядов экономических показателей является то, что «вклад» в тенденцию Y(ti-p) с ростом p уменьшается. Это позволяет утверждать, что временной ряд практически любого экономического показателя является объектом с конечной памятью SP. Очевидно, что величина p будет определять объем выборки, принимаемой во внимание при расчете параметров модели. В зависимости от шага дискретизации временной ряд задается таблицей вида Dn={y(ti), i=}, где n – находящийся в распоряжении объем выборки. Но для построения оптимальной модели тренда экономического показателя как динамической системы SP необходимо иметь фиксированные значения Y=Y(t), где tÎ[tn-m,tn], m>0 и m£n заранее неизвестны и характеризуют память динамической системы. Очевидно, что y(tn) – это последнее значение временного ряда. Если m>n, то данных недостаточно для построения модели тренда. Наиболее це- лесообразно величину m определять итеративным путем.

3.   Наличие данных, резко отличающихся от трендовых значений (выбросов). Выявление внешних факторов, вызывающих выброс, позволяет построить сценарий при ответе на вопрос «что будет, если…».

Эти особенности делают проблематичным качество прогноза на основе модели тренда, полученной по методу наименьших квадратов, в том числе и с весовыми коэффициентами.

Больший эффект в таких ситуациях дает сочетание опыта и знаний пользователя и возможностей статистических методов, реализованных в соответствующих программных продуктах по схеме, представленной на рисунке1.

Предлагаемая схема основывается на предположении, что для экономических показателей можно предложить множество вариантов аппроксимации закона распределения, удовлетворяющих статистическим правилам проверки их адекватности. Выбор конкретного варианта будет определяться, очевидно, знанием причинно-следственных связей между входными факторами и анализируемым показателем, которые имеются на качественном уровне у опытного пользователя.

Согласно приведенной схеме параметры модели тенденции будут определяться условием минимизации следующего функционала:

(yi– j(ti))2®min, wiÎWw ,

где m – количество значений временного ряда Y, W={wi,i=}, Ww – множество значений для весовых коэффициентов, например, wi ³ 0, =1.

Варьируемыми параметрами при минимизации данного функционала будут: весовые коэффициенты wi, i=; вид модели y = φ(t); объем выборки, принимаемый во внимание при определении параметров модели тренда.

Качество модели, описывающей тренд, можно отобразить такими показателями, как величина остаточной дисперсии, значение критерия Фишера, величина отклонения в контрольных точках, величина остаточной дисперсии в точках, в которых наблюдается всплеск и др.

Поэтому задачу выбора оптимальных параметров и структуры модели тенденции в общем случае надо рассматривать как задачу многокритериальной оптимизации.

Пусть описанные выше показатели качества построенной модели тенденции образуют вектор Z={zj, j=}. Тогда очевидно, что Z={zj, j=}  будет зависеть от вектора весовых коэффициентов W={wi,i=}, которые для лица, принимающего решения (ЛПР), образовали вектор управляющих переменных, выбором которых ЛПР может обеспечить требуемый уровень прогностической эффективности модели тенденции.

Будем предполагать, что ЛПР обладает достаточно высокой квалификацией и опытом, то есть его шкала ценностей определена таким образом, что различные наборы показателей Z={zj, j=} имеют для него неодинаковое значение. Это позволяет предположить существование у него непрерывного монотонно возрастающего по каждому показателю квазивогнутого индикатора предпочтений U(Z), такого, что

Z(W(1)) Z(W(2))ÛU(Z(W(1)))>U(Z(W(2))),

Z(W(1)) ~Z(W(2))ÛU(Z(W(1)))=U(Z(W(2))),

где W(1),W(2)Î WW (здесь WW – множество допустимых значений управляющих переменных, в данном случае весовых коэффициентов).

Сделанное предположение относительно функции U(Z(W)) позволяет определить решение задачи векторной оптимизации как множество точек , максимизирующих функцию U(Z(W)), таких, что: ÎWW и W0=arg max U(z1(W),…, zj(W),…, zk(W)).

Для найденных значений W0ÎWW должно выполняться условие оптимальности по Парето и поиск решения должен проходить по паретовой границе множества Z(W):

E(Z(W))={Z(1) Î Z(W),

Z(1) Z(2), Z(2) Î Z(W) Þ Z(1) =Z(2)}

Функция U(Z(W)) в явном виде, как правило, неизвестна, поэтому для определения оптимальных величин целесообразно использовать интерактивные процедуры. Для этого выбирается некоторое решение W(1) с использованием информации, получаемой от ЛПР, определяется поведение U(Z(W(0))) в окрестности точки W(1) и на этой основе строится последовательность решений {W(l)}, которая при определенных условиях сходит- ся к W0.

Однако часто множество E(Z(W)) невыпуклое и поиск в пространстве решений сопряжен со значительными трудностями. Поэтому паретову границу целесообразно параметризировать элементами более простого множества A. Из известных процедур параметризации для целей оптимизации прогностических свойств модели тенденции наиболее подходящей является процедура ассортиментной параметризации, базирующаяся на теореме Карлина [1]:

U(Z(W))=U(a,Z(W))=,

где <·> – скалярное произведение; aÎA, {aj³0, =1}. При этом выполняются условия:

1.   " WÎПW, $a(W)ÎA:W(a)=arg max U(a(W), Z(W)) =W0.

2.   "aÎA, $W(a)ÎПW, где PW – область Парето.

Пусть V* – совокупность предпочтительных с точки зрения ЛПР показателей Z(W), причем V*¹Æ и V*ÎE(Z(W)), тогда согласно принятой процедуре параметризации V* можно представить как V*=s(A*), где A* – множество максимальных элементов отношения , определяемых предпочтениями ЛПР на множестве параметров A, по правилу a1a2 Û s(a1) ³ s(a2), a1, a2ÎA.

Тогда задача принятия решения по выбору оптимальных структуры и параметров модели тренда временного ряда может быть записана в виде:

U*(a)®max, aÎA,              (1)

где U*=U*s.

Таким образом, произведена параметрическая декомпозиция экстремальной задачи U(Z(W)), WÎWW, Z(W)ÎWZ на задачу вычисления s и задачу maxU(s(a)), aÎA. Такая декомпозиция распределяет роли в человеко-машинном диалоге следующим образом:

·     на ЭВМ вычисляется параметризация s, которая для ассортиментной параметризации имеет вид maxY при Z(W)³aZ;

·     ЛПР участвует в решении задачи оптимизации (1).

В качестве формальной основы диалоговой процедуры построения модели тренда можно воспользоваться как градиентными методами решения, так и методами прямого поиска, не требующими информации о производных целевой функции. Как известно, градиентные методы более эффективны, что имеет большое значение в случае участия ЛПР в выполнении алгоритма. Однако в силу того что модель имеет стохастический характер, латентными факторами выступают качественные признаки и, кроме того, функция U(·) предпочтений ЛПР в общем случае не является дифференцируемой, классические методы градиентного поиска и их модификации не могут считаться приемлемыми. Наибольший эффект следует ожидать от применения методов случайного поиска.

При организации диалога с ЛПР использовалась следующая модель реакции ЛПР на предъявленное решение.

По двум решениям Z(W(1)) и Z(W(2)) ЛПР сообщает вектор с компонентами: xi i= такой, что:

Общая структура алгоритма случайного поиска для задачи построения модели тренда временного ряда имеет следующий вид: a(S+1)=a(S)+ +J(S+1), где S – номер обращения к ЛПР; J(S+1) – вариация вектора a (определяется в пространстве случайных векторов в зависимости от модели реакции ЛПР).

При x i = 0 вариацию ai следует положить равной 0. В остальных случаях целесообразно использовать алгоритм с поощрением случайностью:

Ji(S+1)= ,

где g(S+1) – скаляр, выбранный из условий сходимости. Например, если в результате двух шагов U(a,Z(W(a))) возрастает, тогда g(S)=dg(S-1), где d – параметр акселерации; d>1, r(S+1) – случайный вектор, нормируемый следующим образом:

где Ci(S+1) – случайный вектор, распределенный на единичной сфере

Учет ограничений a(S+1)ÎSa производится следующим образом:

(S+1)+(S+1)=1–(S+1).

Ускорение сходимости описанного алгоритма возможно за счет более полного учета информации о направлении поиска в пространстве решений, получаемой от ЛПР.

Общая схема предложенного алгоритма представлена на рисунке 2. Суть алгоритма состоит в итеративном повторении следующих шагов:

-    выполнение процедуры ассортиментной параметризации;

-    расчет оптимальных значений весовых коэффициентов wi;

-    выявление предпочтений ЛПР и корректировка значений aj, j= методом поощрения случайностью.

Первоначальные значения весов для ускорения сходимости назначаются для контрольных точек, выбранных ЛПР по формуле: wi=, где m – объем выборки; с – число контрольных точек. Для остальных точек выборки весовые коэффициенты принимаются равными wi=, i=.

Из условия нормализации =1 и погрешности вычислений вес для последней точки выборки примем равным wm=+(1–), если последняя точка не является контрольной, то wm=+(1–).

На каждом шаге поиска оптимум функции предпочтения осуществлялся методом скользящего допуска {2], показатели качества модели рассчитываются после определения параметров методом наименьших квадратов.

Если за заданное число итераций не будет получена ситуация безразличия по сравниваемым показателям, то принимается решение либо изменить структуру модели, либо изменить величину объема выборки данных.

Качественные показатели прогностических свойств модели нумеризуются с помощью полосы прокрутки, отградуированной от 0 до 1 с шагом 0,01. На экране эксперт видит не цифры, а качественное описание показателя.

Описанная методика реализована на базе приложения Excel средствами VBA и была применена для прогноза рядов динамики функционирования рынка услуг г. Твери. Качество модели оценивалось по четырем показателям: среднеквадратическое отклонение (СКО) выбранных точек, квадрат разности экспериментальных данных и теоретических с весами, визуальное сходство, СКО всех точек выборки, критерий Фишера. Значение критерия Фишера использовалось как ограничение при расчете оптимальных значений Wi. Количество контрольных точек было выбрано равным 4. В начальный момент значения для двух наборов коэффициентов α выбраны случайным образом. Начальные значения для весовых коэффициентов Wi определялись по описанным выше формулам.

Допустимое число итераций принималось равным 10, в качестве первого приближения использовалась полиномиальная модель второго порядка.

Формирование таблицы предпочтений ЛПР на каждой итерации осуществляется попарным сравнением критериев оценки качества модели для двух рассчитанных вариантов с помощью специально разработанной экранной формы.

В ходе выполнения алгоритма были определены точки, веса Wi которых стремятся к нулю. Эти данные, слабо влияющие на современную тен- денцию развития рынка из-за событий августа 1998 года, были отброшены. Для оставшихся данных была выполнена операция дезагрегирования и выполнен переход к помесячным данным.

В конце работы алгоритма получаем оптимальную модель:

φ(t)= -0,00011t3+0,005543t2-0,07769t+19,51824.

Реальные данные по прогнозируемому периоду представлены в таблице 1.

Прогнозируемые значения и отклонения от реальных представлены в таблице 2 и на рисунке 3, где точки январь 2000, февраль 2000 и март 2000 использованы как контрольные для оценки качества модели.

Как видно, интерактивная модель дала более точный прогноз. Это произошло вследствие учета ситуации на рынке с помощью знаний и опыта эксперта. Кроме того, модель, построенная с помощью МНК, показала снижение объемов оказания платных услуг, хотя четко прослеживается тенденция на их увеличение.

Список литературы

1.   Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. - М.: Изд-во МГУ,1972.

2.   Химмельблау Д.. Прикладное нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975.