Программные продукты и системы

Печи для варки стекол являются основным агрегатом производства кислотоустойчивых стекол, используемых в качестве стеклообразующего компонента в надглазурных керамических красках. Наиболее важным критерием качества стекол и краски является минимизация концентрации несвязанных в структуре стекла катионов свинца, что проявляется в уменьшенном содержании свинца (до 1,7 мг/дм2) в уксусно-кислой вытяжке при анализе готовой продукции [3,6]. Для получения стекол заданного состава и химической стойкости необходимо обеспечить подготовку шихты заданного химического состава с равномерным распределением компонентов и температурно-временной режим нагрева шихты и варки стекла. Следует также учитывать, что параметры процесса имеют тенденцию изменения за счет внешних факторов [4]. Поэтому для поддержания режима варки стекла необходимо иметь математические модели и алгоритм решения, обеспечивающие получение результатов в реальном масштабе времени варки.

Сложность создания математических моделей рассматриваемых процессов заключается в представлении всего многообразия явлений в формализованном виде, доступном для реализации на средствах вычислительной техники в реальном масштабе времени.

Поддержание заданного температурного режима обусловлено процессами химических превращений, нагрева шихты до температуры плавления и растворения компонентов шихты в расплаве стекла.

В основу математического описания гидродинамических, термодинамических и химических процессов могут быть положены уравнения движения (Навье-Стокса), уравнение переноса тепла, уравнение непрерывности, уравнение состояния среды при определенных граничных условиях. Эти уравнения, обобщенные применительно к случаю неоднородного течения несжимаемой жидкости, имеют вид:

,                            (1)

,         (2)

,                                                             (3)

.                    (4)

 Ввиду трудностей формализации решений предлагается учитывать распределенность параметров и неидеальность гидродинамических характеристик ячеечной математической моделью. Это позволяет использовать принципы системного анализа, обеспечивающего разбиение исходных задач на составляющие с последующим объединением решений. Общий вид математической модели в этом случае представлен в следующем виде (5–10):

,(5)

,            (6)

,                          (7)

,                                                 (8)

,                                                    (9)

,                                                  (10)

Рис.1. Структурная схема процесса варки стекла

Gг - поток газа по аппарату; q - температура газового потока; G - поток стекломассы по аппарату; g - обратный поток стекломассы по аппарату; Tj - температура стекломассы на выходе из j-й ячейки

Граничные условия: ; .

 Начальные условия: ; .

В данном представлении движение обогревающей газовой фазы рассматривается по координате длины аппарата (L), а гидродинамика твердой и жидкой фазы аппроксимирована ячеечной моделью смешения. Общая структура процесса может быть представлена схемой (рис. 1).

При составлении математической модели используется дискретная аппроксимация по температурному режиму, что определяется нагревом, химическими превращениями, плавлением и растворением на данном температурном интервале. В рассматриваемой задаче это учитывается коэффициентами x1, x2, bi, которые принимают дискретные значения [0, 1], и представлены уравнениями (8–10).

Разработанная математическая модель имеет достаточно большую размерность в связи с тем, что число уравнений (6, 7) увеличивается кратно числу ячеек перемешивания. Кроме того, в связи с тем, что фазовое состояние шихты изменяется в процессе плавления, меняется также гидродинамика потоков в печи, что приводит к переменному числу ячеек в процессе изменения температуры.

Таким образом, помимо распределенности параметров по геометрии аппарата и по времени, модель претерпевает изменения по структуре, что существенно осложняет формализацию процесса решения. В представленном виде решение математической модели обусловлено решением уравнения (5), определяющим распределение температуры по длине аппарата и собственно уравнения (6), определяющего динамику разогрева стекломассы.

Общая структура решения уравнений математической модели представлена на рисунке 2.

Расчетный алгоритм целесообразно разбить на фрагменты I–III.

Фрагмент I представлен блоками с 1 по 4 и обеспечивает задание начальных характеристик процесса. Блок 1 позволяет вводить исходные данные, необходимые для решения математической модели процесса варки стекла. Блок 2 обусловливает анализ гидродинамической обстановки в аппарате. Расчет геометрии ячеек обеспечивается блоком 3, что подразумевает определение размера ячеек перемешивания. Начальные приближения переменных параметров для решения уравнений (5–7) задаются блоком 4. Следует обращать внимание на работу блока 2 в связи с тем, что число ячеек переменно и изменение их меняет структуру математической модели.

В целом фрагмент I позволяет предварительно подготовить данные для расчета уравнений модели и дает возможность перехода к фрагменту II, который и обеспечивает собственно решение математической модели, представленной уравнениями (5–10). Фрагмент II включает в себя блоки расчета уравнений (5 –7), блок определения дискретных коэффициентов 8 и базы данных 9, 10, поддерживающие тепловой и кинетический расчет системы уравнений (5–7).

Уравнение (5) может быть решено аналитически или численно. При аналитическом расчете уравнение (5) можно представить в виде:

 ,                                                 (11)

где,                (12)

.             (13)

Рис.2. Алгоритм расчета уравнений математической модели процесса варки стекла
Выразив из уравнения (11) , можно найти среднюю температуру газового пространства печи:

Такой расчет приводит к потере точности за счет усреднения. Однако ввиду относительно малой чувствительности параметров к изменению температуры в определенных пределах такой подход вполне допустим. Это позволяет снизить размерность задачи и формализовать общий расчет системы.

Также возможен расчет уравнения (5) на каждом шаге интегрирования системы (5–7). Результатом решения является зависимость q(L), что эквивалентно температуре газового потока по длине тепловоспринимающей поверхности шихты и стекломассы.

Знание средней температуры газового пространства  позволяет решить уравнения (6–7) по временной координате t, что дает возможность определить температуру шихты и стекломассы по времени T(t), то есть рассчитать температурно-временной режим рассматриваемого процесса (блок 7).

В уравнения (5–7) входят коэффициенты теплоотдачи от газовой фазы к твердой и жидкой фазам a1, a2 и от жидкой фазы к твердой фазе a3. Эти коэффициенты имеют вид эмпирических зависимостей (таблица 1). Ввиду того, что значения коэффициентов теплоотдачи зависят от фазового состава, физико-химических свойств шихты и стекломассы, температуры среды, они введены в базу данных теплового расчета (блок 9).

Таблица 1

Блок 10 – база данных кинетического расчета – поддерживает расчет кинетических характеристик процесса (уравнение 6), учитывающий реакции между PbO и другими компонентами системы, которые оказывают наибольшее влияние на улучшение качества выпускаемой продукции, то есть на повышение кислотоустойчивости стекол [7].

Работа фрагмента II дает возможность перейти к фрагменту III, который включает в себя блоки с 11 по 14. Блоком 11 оценивается концентрация свинца на конечной стадии процесса. Эта концентрация является качественным показателем степени завершения химических реакций, в результате которых происходит связывание катионов свинца в структурную сетку стекла [1].

Выполнение заданного в блоке 11 условия прекращает расчет уравнений математической модели, характеризуя таким образом получение температурно-временной зависимости, необходимой для эффективного проведения процесса. Превышение заданного значения концентрации катионов свинца обусловливает переход к блоку 12.

На этом этапе расчета анализируется температура в системе и решается вопрос о целесообразности изменения числа ячеек. Поскольку это изменение приводит к изменению структуры математической модели, то расчет итерационно повторяется с определения геометрии ячеек. Если при повышении температуры на 50 °С гидродинамическая обстановка в аппарате не претерпевает существенных изменений, то ограничиваются заданием новых начальных условий и заново проводят расчет уравнений (5–7).

Особенностью предлагаемого алгоритма является постоянный учет гидродинамики аппарата. Это позволяет корректировать структуру математической модели на каждом этапе кусочно-линейной аппроксимации. Такой подход к рассмотрению математической модели, как модели с переменным числом ячеек, способствует достаточно точному описанию процесса.

Принимая во внимание, что рассматриваемый алгоритм расчета стекловаренных печей ориентирован на широкий класс этих агрегатов, параметры печей могут изменяться. В связи с этим в модели определены параметры, которые подлежат идентификации на действующих стекловаренных печах. Такими параметрами являются поверхности контакта фаз Fjтв, Fjж и число ячеек N. В этом случае для идентификации параметров используется оптимизационная процедура подбора этих параметров по результатам промышленного эксперимента [2,5]. Температурный режим не оказывает существенного влияния на качество стекол, если дисперсия не превышает 25 °С при конечной температуре 1350 °С.

Таким образом, разработанная методика численной реализации математической модели процесса получения кислотоустойчивых стекол представлена алгоритмом и программой расчета, реализованной средствами современной вычислительной техники на языке Turbo Pascal 7.0.

Обозначения в формулах

P – давление; T – температура; c – концентрация; w – скорость; Fv –объемная сила; Rc – источник вещества; t – время; cp – теплоемкость; r – плотность; m – коэффициент вязкости стекломассы; l – коэффициент теплопроводности стекломассы; Gг – расход газа; q – температура газового пространства печи; L – длина печи; a – суммарный коэффициент теплоотдачи от продуктов сгорания к расплаву стекла; aл, a1k, a2k , a3k – коэффициенты теплоотдачи излучением и конвекцией в системах газ–твердое, газ–жидкость, жидкость– твердое; x1, x2 – коэффициенты, характеризующие наличие теплоотдачи к твердой или жидкой фазе; T1, Fтв – температура и поверхность твердой фазы; T, Fж – температура и поверхность жидкой фазы; T2, Fr – температура и поверхность твердой частицы SiO2 в расплаве; Gж – количество жидкой фазы в j–й ячейке; Giпл – количество плавящегося вещества в системе; li – теплота плавления i–го компонента; b – коэффициент, характеризующий наличие процесса плавления; rk – скорость k–й химической реакции; DHk – тепловой эффект k–й реакции; N– число ячеек; Vj – объем ячейки;Tнач, qнач, tнач – начальные значения температуры газового потока, температуры стекломассы и времени; T(t) – текущее значение температуры стекломассы; CPb – текущее значение концентрации несвязанного в структуру стекла свинца в расплаве; Cд – допустимая концентрация несвязанного свинца в готовом стекле; ev – степень черноты газовой cреды; k – коэффициент поглощения; S – эффективная толщина слоя; Tm, Tст – средняя температура дымовых газов и температура стенки; w0 – скорость газа, отнесенная к полному сечению слоя; g0 – удельный вес газа; mг – коэффициент вязкости газа; Re – критерий Рейнольдса; Pr – критерий Прандтля; Gr – критерий Грасгофа; Pe – критерий Пекле.

Список литературы

1. Аппен А.А. Химия стекла. – Л.: Химия, 1970. – 352 с.

2. Островский Г.М., Бережинский Т.А. Оптимизация химико–технологических процессов. Теория и практика. – М.: Химия, 1984. – 240 с.

3. Пищ И.В., Масленникова Г.Н. Керамические пигменты. – Мн.: Выш. шк., 1987. – 132 с.

4. Протодьяконов И.О., Муратов О.В., Евлампиев И.И. Динамика процессов химической технологии. – Л.: Химия, 1984. – 304 с.

5. Cuthrell J.E., Biegler L.T. Simultaneous optimization and solution methods for batch reactor control profiles // Comput. and Chem. Eng. – 1989. – v.13, ¹1–2. – p. 49–62.

6. Gebhardt Birgitta, Dannheim Henning. Mechanical and chemical durabilyty of glass enamels // Glastechn. Ber. – 1988. – v.61, ¹9. – p. 263–268.

7. Hindmarch Alan C., Johnson Stanly H. Dynamic simulation of reversible solid–fluid reactions in nonisothermal porous spheres with stefan–maxwell diffusion // Chem. Eng. Sci. – 1988. – v.43, ¹12. – p. 3235–3258.