Программные продукты и системы

Одной из основных проблем, возникающих при разработке программного обеспечения интегрированных автоматизированных систем управления в производстве конструкционных материалов, является проблема расчета и прогнозирования режимов термообработки с использованием средств вычислительной техники.

Расчетные методы разработки технологических режимов производства материалов с заранее заданными свойствами были развиты благодаря широкому применению современной вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

В отличие от действующих в промышленности методов они более информативны, дешевле и точнее, так как позволяют проводить анализ и поиск оптимального варианта процесса, широко варьируя его параметры и включая такие варианты, для которых еще не создано технологическое оборудование.

Расчеты базируются на соответствующих теориях. При анализе сложной ФХС процесс рассматривается как термокинетический, протекающий последовательно в несколько лимитирующих стадий, каждая из которых описывается с помощью той или иной математической модели: прогрев материала до температуры начала вулканизации, осложненный массопереносом; неизотермическая вулканизация, протекающая параллельно с нагревом ткани; терморазложение парофора при продолжающемся нагреве и структурировании и, наконец, изотермическая вулканизация.

Такое представление процесса вулканизации в виде перечисленных стадий является феноменологическим. В его основе лежат физико-химические закономерности. Анализ стадий показывает, что при выбранном способе производства важнейшими факторами, определяющими технологический процесс, являются тепловой режим обработки и скорость вулканизации. В модели введены некоторые общепринятые предпосылки и упрощения. Нелинейность системы существенно снижена на основе априорной экспериментальной информации [1].

Рассматривая процессы терморазложения парофора и структурирования, экспериментально удалось установить, что газонаполнение не лимитирует суммарный процесс вулканизации, поскольку длится вдвое меньше, чем структурирование в применяемых для практики границах температур [2].

Поэтому при изучении морфологии вспененного материала используется геометрический подход без исследования физико-химических закономерностей этого процесса. Рассматривается фрагмент материала, включающий газоструктурный элемент. Так как тепло-физические свойства вспенивающегося и монолитного слоя резиновой смеси существенно отличаются, материал описывается как многослойный, состоящий из основы, монолитного резинового слоя и вспенивающегося покрытия.

При описании нагрева материала решается двухмерная задача теплопроводности с подвижными границами:

¶t(x, y,t)/¶ t=ai . ¶ 2t (x, y,t)/¶ y2+

+¶ 2t(x, y,t)/¶ x2+qv /ci pi                   (1)

Из исследований микрофотографий срезов вулканизуемого материала можно сделать вывод, что процесс роста больших газовых полостей делится на два этапа: рост сферической полости и затем при неизменном горизонтальном диаметре, рост эллипсоидной полости [2]. Граница газовой полости на первом этапе описывается уравнением

x2г.п..+ (yг.п. - y1 )2 = (vRt)                 (2)

где у1=d1+d2+d30+nct, в начальный момент

t=0, nc и nR - постоянные величины, числовые значения которых следует искать из условия равномерного роста линейных величин, времени газонаполнения и конечных размеров.

При появлении газовых пузырьков начинается вспучивание верхнего слоя. При этом движение верхней границы принимается происходящим по закону, аналогичному закону роста газового пузырька в вязкой жидкости. В момент, когда толщина оболочки d становится

равной 0,1. nrt, большая газовая полость изменяет форму и продолжается рост только большой полуоси эллипса. Подвижная граница эллипса описывается уравнением

x2в.г./(d31 /2)2 + (yв.г. - y1 )/(R' + d)2 =1. (3)

Внешняя граница вспененного слоя в выпуклых местах описывается уравнением

xг.п.2/(d31 /2- d)2 + (yг.п.-y1)2/(R')2 = 1. (4)

Теплофизические параметры первого и второго слоев берутся те же, что и для прорезиненной ткани. Для третьего, вспененного, слоя с3 и р3 считаем как для композиционного материала:

c3 = Псв+(1-П)сс м ;

rз = Прв+(1-П)rс т                    (5)

где cс м = å ci mi, rс м- å ri mi - теплоемкость и плотность композиционного материала.

Теплопроводность же вспененного материала не подчиняется правилу аддитивности. Наличие на пути теплового потока воздушных включений, теплофизические свойства которых радикально отличаются от свойств непрерывной среды, приводит к появлению дополнительного источника рассеяния тепловой энергии, вклад которой в эффективную теплопроводность реальной системы может быть лишь приближенно учтен с помощью ряда упрощающих предположений [3].

Применимость того или иного метода расчета коэффициента теплопроводности к данному конкретному материалу определяется соответствием, которое существует между модельной системой, положенной в основу расчета, и реальной структурой системы.

Обычно теплопроводность композиционных материалов исследуется в рамках идеализированной модели, предполагающей, что эффективная теплопроводность композиции l определяется объемным содержанием дисперсной фазы (воздух) - П, полимера - (1- П) и их коэффициентами теплопроводности. Поэтому для расчета эффективной теплопроводности с замкнутыми включениями используется формула В.М. Оделевского

Поскольку теплопроводность смеси в несколько раз превосходит теплопроводность газа, температуру материала в граничных точках с большой газовой плотностью принимаем постоянной и равной температуре материала в точке возникновения большой газовой плотности (x=0, у=у1, t=0 ):

t(xг.п ,yг.п , t) -tг= const                          (11)

На границе между слоями выполняются условия идеального теплового контакта:

 li = дt/дy = li+1 • дt/ду,             (12)

где i =1 при y=d1, при у = d1+d2. В начальный момент времени происходит переход от одномерной задачи к двухмерной. Поэтому поле температур в этот момент принимается не зависящим от X (в рамках рассматриваемого фрагмента материала)

Начало третьей стадии - терморазложение парофора - определяется в расчетах как момент достижения смесью минимальной температуры, при которой начинается процесс вспенивания.

Описанная задача решается численно методом прогонки. В рассматриваемой области вводится равномерная прямоугольная сетка. Значения температуры в узловых точках обозначаются как tk,m n. Переход от (t) к (t+1) реализуется с помощью двух дробных шагов, причем на первом шаге в левой части уравнения (1) учитывается только производная по у, а на втором - производная по x:

Уравнение (14) есть сеточная аппроксимация предельно анизотпропного процесса теплопередачи, при котором распространение тепла происходит лишь в направлении оси у; аналогичным образом можно охарактеризовать (15) для оси x:.

Можно предполагать, что попеременное распространение тепла по направлениям осей у и х будет приближать реальный (изотропный) процесс теплопроводности, описываемый уравнением (1). Сначала вычисляются промежуточные значения tk,mn+1/2 , а затем - tk,mn . В дальнейшем, используя уравнения (14) и (15), будем писать индекс по координате только тот, который изменяется на данном временном шаге.

Для исследования устойчивости схем (14), (15) рассматриваются возмущения специального вида:

Множитель перехода представляется как l=l' • l'', где l' соответствует первому полушагу, а l"- второму. После подстановки (16) в (14) и (15) получается:

Отсюда следует, что |l| = |l'| • |l''| при

пюбом ∆t, то есть схемы (14), (15) безусловно устойчивы и, следовательно, решение системы уравнений (14), (15) сходится к решению уравнения (1) при ∆y® 0 и ∆t® 0.

Каждое из этих уравнений реализуется с помощью трехточечных прогонок по соответствующему направлению. Система уравнений (14), (15) приводится к виду:

Уравнения (19), (20) пишутся для всех внутренних узлов сетки и для n > 0. Краевые условия (8)-(13) аппроксимируются соответственно разностными уравнениями:

В результате решения задачи (19)-(27) получается поле температур в материале в любой момент времени термообработки и время ее протекания. Так как прогонку в каждом направлении можно рассматривать как решение соответствующей одномерной задачи, то расчет прогоночных коэффициентов и температур в узловых точках, приведенных в одномерной задаче, ведется по аналогичным формулам.

Рассмотрим более подробно алгоритм численно-аналитического решения задачи. Расчеты ведутся в следующем порядке.

Вертикальная прогонка (прогоночные коэффициенты обозначаются NB и МВ):

Вычисление прогоночных коэффициентов при k1+1 £ k £ kзн ведется по формулам (29)-(31), при этом в коэффициентах значения температуропроводности и шага по координате берутся для соответствующего слоя.

В точках, граничащих с газовой полостью, принимаются граничные условия первого рода. Температура тела на границе постоянна и равна tг - температуре материала в точке возникновения полости в начальный момент вспенивания эластоискожи. Прогоночные коэффициенты на верхней границе газовой полости k=kзв определяются из уравнения:

Расчет температур в узловых точках ведется по формулам, аналогичным (19) - (27).

Горизонтальная прогонка. Для всех (к) расчет ведется по следующим формулам.. Для т=0:

Расчет прогоночных коэффициентов и температуры во внутренних узлах ведется по формулам, аналогичным для горизонтальной прогонки.

в которой величина tk, mn берется из полученных формул, отсчет П идет от начала второй стадии.

Третья стадия заканчивается в момент, когда выравнивается температура покрытия. На этой стадии незначительным изменением температуры воздуха-теплоносителя пренебрегаем [4] и принимаем tв=const.

На четвертой стадии структурирование смеси продолжается, но происходит уже в изотермических условиях, то есть расчет степени вулканизации покрытия ведется по формуле (46) при условии tk,mn = const = tk mn3 где значение n3 соответствует моменту конца третьей стадии. Процесс вулканизации заканчивается, когда степень вулканизации смеси достигает своего оптимального значения. Используемый метод решения задачи по неявной разностной схеме, обеспечивает абсолютную устойчивость решения [5].

Решение дифференциальных уравнений, описывающих процесс методом сеток, дает

конкретное частное решение для введенных исходных данных, то есть сводится к моделированию процесса при данных параметрах системы. Разработанная методика численной реализации обобщенной модели представлена соответствующими алгоритмами и программой расчета, реализованной в рамках ИАСУ АСНИ_АГР на языке Clarion.

Список литературы

1.   Чохонелидое А.Н., Палюх Б.В. Аналитическое решение задачи теплообмена в условиях активного гидродинамического режима. Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах //Тез. докл. Российской научи, конф. с участием зарубежн. ученых (Тверь, 28-30 июня 1994 г.) - Сборник научных трудов - Тверь, 1994. - С. 104-105.

2. Чохонелидое А.Н. Современные представления и способы описания химического вспенивания эластомерных материалов. Математические методы в химии и химической технологии "ММХ-9": Сб. тр. Междунар. конф., (Тверь, 30-31 мая 1995 г.) - Тверь, 1995. -Ч. 2. - С. 51-52.

3. Чохонелидое А.Н., Палюх Б.В. Математические методы оптимизации режимов термообработки. Динамика процессов химической технологии //Тез. докл. IV Всероссийской научн. конф., (Ярославль, 18-19 окт. 1994 г.) - Ярославль , 1994. - Т. 1. - С. 170-171.

4. Чохонелиде А.Н. Термообработка в активном гидродинамическом режиме. - Киев: Наук, думка, 1994. - 287 с.

5. Палюх Б.В., Чохонелидое А.Н., Федченко С Л. Надежные методы контроля за ходом вычислительного процесса. Синтез систем вычислительного эксперимента //Сб. научн. трудов. РАН. - Апатиты, 1995. -Т. 2. - С. 61-67.