В теории и проектировании цифровых фильтров (ЦФ) важное значение придается вопросам построения алгоритмов их настройки по заданным частотным характеристикам (ЧХ) [6]. Эффективность указанных алгоритмов и вычислительных средств характеризуется совокупностью критериев точности, гибкости, оперативности настройки и сложности (стоимости) ее реализации. Если для рекурсивных ЦФ известны пути решения данной проблемы, то традиционные методы проектирования нерекурсивных ЦФ (НЦФ) не всегда обеспечивают высокие показатели.

В данной статье на основе метода [4] разрабатывается компьютерная технология проектирования (КТП) перестраиваемых нерекурсивных фильтров (ПНЦФ), позволяющая решать задачи настройки с высокой эффективностью.

Концепция проектирования ПНЦФ

Основная идея проектирования выражается следующими положениями:

– решение задач проектирования фильтров с использованием непрерывных конечных импульсных характеристик;

– расчет характеристик ПНЦФ с учетом условий их инвариантности к изменению частоты дискретизации в заданных пределах;

– применение способов таблично-функционального преобразования информации для построения алгоритмов гибкой оперативной настройки.

Рассмотрим указанные положения и проведем их обоснование.

Задача расчета характеристик ФП и ПНЦФ

Под фильтрами-прототипами в данном случае понимаются физически нереализуемые фильтры с непрерывными конечными импульсными характеристиками (НКИХ). При дискретизации НКИХ получаются КИХ в форме, которая используется в НЦФ.

Пусть h(b;c;t) – четно-симметричная функция с центром в точке t=0 и длительностью T1; b и c – векторы заданных и оптимизируемых параметров НКИХ, для которой существует интегральное преобразование Фурье. Применяя его, получим выражение ЧХ фильтра-прототипа H(b;c;T1;f).

Расчет параметров ЧХ сводится к решению следующей экстремальной задачи аппроксимации.

{c0,T01} = arg min max {Pj×E(b;c;T1;fj)}, (1)

                               c 0£fj£fN

½E(×)½=½A(fj)-H(b;c;T1;fj)½£½d(fj)½,

 ___

 j=1,N0,                                                          (2)

где c0 – вектор оптимальных параметров ФП; T01 – оптимальная длительность НКИХ; Pj – весовой коэффициент на частоте fj; d(×) и E(×) – функции допустимых и реальных отклонений аппроксимирующей ЧХ H(f) от эталонной A(f); N0 – количество отсчетов дискретной сетки частот, используемой для аппроксимации; fH=fd/2 – частота Найквиста, fd – частота дискретизации.

Задание вектора b осуществляется по аналогии с методом частотной выборки [3]. Если НКИХ в базисе косинусоидальных функций, то b1=1/T1×H1, где H1 – частотная выборка заданной (эталонной) АЧХ на частоте f1. Задание весов Pj (без учета условий инвариантности) производится в соответствии с функцией d(fj). Импульсные характеристики ПНЦФ – КИХ – получаются в результате дискретизации НКИХ h(tn)=h(t)½t=nT, n=0,1,2,... Им соответствуют ЧХ дискретных фильтров Hd(f).

Условия инвариантности

Термин "инвариантность" применительно к ПНЦФ можно использовать лишь в смысле так называемой "e-инвариантности". При этом подразумевается, что изменение частоты fd приводит к незначительным изменениям характеристик ПНЦФ, которыми на практике можно пренебречь. Данное условие по аналогии с ограничением (2) можно представить в виде

½A(f)-Hd(f;fH)½£dи(f), 0£f£fH, fH-£fH£fH+, (3)

где Hd(f;fH) – ЧХ, зависящая от частоты дискретизации; fH-,fH+ – заданные минимальное и максимальное значения fH; dи(f) – функция допустимых отклонений ЧХ инвариантных ПНЦФ. Непосредственное применение условия (3) при решении задач (1), (2) не представляется возможным. Его можно использовать только для проверки свойств инвариантности. Предлагается другое условие, косвенно выражающее (3):

½H(f)½£s(f)£d(f), f³fH-,                             (4)

при выполнении которого эффектом наложения пульсаций при дискретизации НКИХ можно пренебречь (в смысле инвариантности до e).

Для согласования задачи (1), (2) с условием инвариантности (3), (4) в диапазоне частот fгM£f£fH- строится функция весов P(f), сопрягающая допуски d(f) и s(f). В этом качестве целесообразно использовать сплайны.

Обоснование способа настройки

Возможны два варианта:

– способ с непосредственным использованием процедуры расчета НКИХ с последующей ее дискретизацией. Он обеспечивает гарантированную точность настройки, однако сложность решения задачи аппроксимации (1)-(4) значительно ограничивает возможности настройки в режиме реального времени;

– способ таблично-функционального преобразования данных с использованием результатов вычислительных экспериментов, полученных при решении задачи (1)-(4). В данном случае удается достигнуть высоких показателей оперативности настройки.

Остановимся на втором варианте. Принципиальная возможность реализации табличных преобразований обусловлена двумя факторами:

1) применением НКИХ, имеющих сравнительно малое число оптимизируемых параметров и не зависящих от частоты fd; 2) использованием характеристик нормированных фильтров-прототипов. В этом качестве при настройке типовых селективных фильтров целесообразно применение фильтров-прототипов нижних частот (ФПНЧ).

Операция табличного преобразования информации описывается отображением вида:

FT(fг1,Df,d1,d2)®{c0;T10},                            (5)

где fг1=1 – граничная частота полосы пропускания нормированного ФПНЧ;Df=fг2-fг1 – ширина переходной полосы; d1,d2 – допуски отклонений ЧХ в рабочих полосах фильтра.

Приведенное условие нормировки позволяет задавать входные параметры Df, d1 и d2 на дискретных множествах значений. Размерность таблицы данных в этом случае равна

NT=dimd1dimd2dimDf(max dim c + 1). (6)

При этом требуемые объемы памяти, достаточные для многих практических задач, не превышают нескольких десятков килобайтов.

Переход от характеристик ФПНЧ к требуемым характеристикам ФП основывается на свойствах преобразований Фурье, таких как изменение масштабов аргументов НКИХ иЧХ, их суперпозиция (наложение), смещение ЧХ по оси частот [2]. Последним этапом функциональных преобразований является дискретизация НКИХ.

Компьютерная технология и процессы проектирования ПНЦФ

Изложенная концепция может быть успешно реализована только с использованием компьютерных технологий проектирования (КТП). Это обусловлено тем, что решение большинства задач, составляющих суть метода (4), возможно только с помощью ЭВМ, и характеризуется неполной формализацией. В частности, возникают неопределенности при выборе минимальной частоты дискретизации, при учете условий инвариантности, при задании весов Pj и т.д. Предлагаемая КТП позволяет приобретать знания о проектируемом ПНЦФ и уточнять его модель в процессе проектирования. Поэтому под КТП будем понимать совокупность способов и средств формирования информационной модели объекта проектирования, а также выполнения расчетов по указанной модели с использованием ЭВМ. На схеме показаны основные технологические процессы предлагаемой КТП ПНЦФ. Выделим два технологических цикла: цикл формирования реляционной (таблицы данных) информационной модели ПНЦФ и цикл выполнения расчетов по модели – цикл гибкой оперативной настройки.

Реализация технологических процессов (ТП), входящих в первый цикл, характеризуется трудностями, связанными с формализацией ТП. Данное обстоятельство является причиной того, что первый технологический цикл не возможен без экспертной поддержки. Такая поддержка опирается на диалог с разработчиком-экспертом. Возможна автоматизация диалога с помощью экспертной подсистемы. Рассмотрим некоторые особенности ТП первого цикла, которые могут быть использованы при разработке базы знаний экспертной подсистемы. Прежде всего это касается двух ТП: исследования характеристик нормированных ФПНЧ и ПНЦФ с учетом условий инвариантности; формирования таблиц данных, являющихся информационной моделью ПНЦФ.

Исследование характеристик фильтров

Особенностью синтеза ПНЦФ является то, что задача согласования требований точности и условий инвариантности характеристик ПНЦФ не имеет строгого формального обоснования. Поэтому возникает необходимость проведения вычислительного эксперимента (ВЭ) и исследования характеристик для различных вариантов задания исходных параметров в задаче (1)-(4). Неформализуемыми для нормированного ПНЦФ будем считать отношения параметров s/d2, dи2/d2, ширину полосы затухания пульсаций fн--fг2, функцию веса P(f), fн-£f£fг2, максимальную размерность вектора оптимизируемых параметров c. Генерация исходных данных, таким образом, сводится к заданию диапазонов указанных параметров и осуществляется разработчиком (экспертом) на основе его опыта и интуиции.

Решение оптимизационной задачи (1)-(4) производится с помощью двух последовательных итерационных процедур:

– поиск значений вектора c0(T1) при фиксированном T1 – выражение (1) без учета (2);

– поиск оптимальных значений длительности НКИХ T10 при заданном начальном приближении T1(0). Для задания T1(0) можно использовать формулы, приведенные в [3]. Однако предлагаемая технология исследований предоставляет возможность получения более точных аппроксимационных моделей для T1(0) по данным ВЭ, что важно для сокращения временных затрат на формирование таблицы данных.

Первая процедура реализуется методами линейного программирования, вторая – методами одномерного поиска.

На основе проведенных нами исследований можно дать следующие рекомендации: s/d2£0.1, dи2/d2»0.9, fн--fг2»0.5, в предположении, что Df=fг2-1 = [0.05; 1.0], функция веса P(f) аппроксимируется кубическим сплайном, max dim c=5.

Формирование таблиц данных

Таблицы данных ФПНЧ строятся по дискретным множествам исходных и выходных данных (ДМД), которые получаются в результате многократного решения прямой задачи аппроксимации (1)-(4) для нормированных ФПНЧ. Именно условие нормировки fг-1 позволяет задавать входные параметры и получать соответствующие им выходные на дискретном множестве значений.

Сформированные таблицы данных помещаются в базу данных и используются в цикле настройки.

Настройка фильтра выполняется через интерфейс пользователя путем задания исходных требований к фильтру. В модуле декомпозиции исходных требований осуществляется преобразование задачи синтеза ЦНФ в задачу выбора подходящего ФПНЧ и формирование аргументов, задающих условия поиска в базе данных.

Модуль базы данных наряду с хранением и выдачей весовых коэффициентов НКИХ предусматривает преобразование входных аргументов поиска в адреса данных. Множество весовых коэффициентов и длительностей {c,T1} является входным параметром модуля синтеза НКИХ искомого фильтра. При этом модуль синтеза обеспечивает выполнение таких операций, как наложение типовых АЧХ, смещение их по оси частот, масштабирование и др.

В дальнейшем НКИХ дискретизируется, а полученные коэффициенты сохраняются либо на магнитном носителе для дальнейшего использования, либо загружаются в ОЗУ аппаратных средств, реализующих фильтр, например плату спецпроцессора обработки сигналов. Модуль визуализации выходных данных вычисляет АЧХ спроектированного фильтра и обеспечивает ее отображение для контроля степени соответствия исходным требованиям.

Рассмотренная технология использована нами в системе гибкой оперативной настройки НЦФ. На рисунке 2 представлен интерфейс системы в режиме визуализации полученных результатов. Наряду с типовыми фильтрами система позволяет проектировать многополосные фильтры, а также фильтры с произвольной формой АЧХ (функциональные фильтры). В последнем случае для каждого вида фильтра требуется формировать индивидуальные таблицы данных.

Таблицы данных в каждом из рассмотренных случаев представляют отображения, ставящие в соответствие входным переменным значения выходных переменных, и могут рассматриваться как один из способов представления знаний вычислительного характера [5,7]. Это позволяет говорить о том, что в первом цикле предложенной КТП осуществляется при

обретение знаний с помощью вычислительных экспериментов, а во втором – их использование.

Применение системы для настройки НЦФ показало ее высокую эффективность. Система обладает малым временем расчета характеристик НЦФ и гарантированным выполнением исходных требований, предъявляемых к проектируемому фильтру.

Список литературы

1. Бондарев В.Н., Виленчик Д.В., Гольденберг С.В., Цуканов А.В. Информационная технология построения математических моделей объектов // Электронное моделирование, 1992, – №1.

2. Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 192 с.

3. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – М.: Мир, 1978. -– 848 с.

4. Соломаха О.Н., Пинкин А.А. Метод синтеза перестраиваемых аналого-цифровых нерекурсивных фильтров. / Межвуз. сб. Программные средства и устройства информационных и преобразовательных систем. – Рязань: РРТИ, 1991. – С. 57-61.

5. Тыугу Э.Х. Концептуальное программирование. – М.: Наука, 1984. – 256 с.

6. Уидроу Б., Стирна С. Адаптивная обработка сигналов. – М.: Радио и связь, 1989. – 440 с.

7. Цуканов А.В., Виленчик Д.В., Бондарев В.Н. Организация обмена знаниями между различными системами с искусственным интеллектом // Программные продукты и системы. – 1992. – №3 – C. 35-40.