Программные продукты и системы

Для получения различных количественных оценок и вариантов решения динамической задачи при различных сигналах управления движущимся объектом целесообразно в процессе моделирования изменять требования к переменным состояния. При этом следует определять управления, обеспечивающие достижение наилучших интегральных показателей. В этой связи для перевода управляемой системы из заданного начального состояния в конечное x(N) можно предложить алгоритм, обеспечивающий минимум энергии на управление. В процессе решения задачи допускается вариация граничных условий и времени в диапазоне n£k£N.

Алгоритм, обеспечивающий минимум энергии на управление, позволяет оптимизировать дискретный динамический процесс при введении ограничений на переменные состояния и управления, а для моделей с одним входом обеспечить управление с помощью регулятора состояния, имеющего жесткую структуру [1].

Из работ Калмана и Тоу известно, что для такого перевода с помощью дискретных управлений из начального состояния в конечное (например нулевое) требуется синтезировать не менее n сигналов управления, где n – порядок системы [2].

Для подтверждения работоспособности рекурсивного алгоритма параметрической оптимизации рассмотрим следующую задачу идентификации.

Предположим, что дискретная система управления описывается следующим матричным уравнением вида (1):

          (1)

с векторами начальных и конечных условий

, .              (2)

В результате оптимального управления системой по критерию минимума расхода энергии на управление получены расчетные данные, отображенные в таблице. В первом столбце таблицы содержатся значения шага k , изменяющиеся от 0 до 30. Во втором, третьем и четвертом столбцах приводятся значения переменных состояний X1(k), X2(k), X3(k) соответственно. В последнем столбце приведены значения элементов вектора управления Uopt(k), переводящего систему из заданного начального состояния в конечное при минимальных затратах энергии за 30 шагов. В корректности вычислений можно убедиться по значениям переменных состояния при k=0 и k=30.

С помощью изложенного алгоритма решим инверсную задачу: по приведенным расчетным данным оценим коэффициенты матриц A и B , которые будем считать неизвестными.

Согласно алгоритму, произведение матриц D*DT будет равно

,

и, следовательно, ее инверсия

.

Составляющая оценочной формулы

,

и идентификация элементов матриц системы

.

Результаты свидетельствуют о корректности вычислений. На рисунке показан процесс перехода динамической системы из заданного начального в конечное состояние, соответствующий приведенным ранее расчетным табличным данным.

Оптимальное управление дискретной динамической системой

Расчеты позволяют убедиться, что процесс, приведенный в качестве примера, соответствует минимуму эвклидовой нормы вектора управления. Иначе говоря, из всех возможных управлений, переводящих систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за 30 шагов, только изображенное на рисунке управление

U(k) обеспечивает минимальный расход энергии на управление рассматриваемой дискретной динамической системой.

Литература

1.        Арефьев И.Б., Трояновский Я. Автоматизация судопропуска на ВВП. – СПб: Система, 2007. – 247 с.

2.        Трояновский Я. Задача нахождения оптимального радиуса действия береговой радиостанции АИС. // Морская радиоэлектроника (корабли и вооружение как единая система). – № 2. – 2008. – С. 28–30.