Математическое моделирование сложных систем с применением аппарата теории нечетких множеств и нечеткой логики обычно требует выполнения большого объема операций над нечеткими переменными. Для снижения объема вычислений при применении теории нечетких множеств используются нечеткие LR-числа [1, 2].

Нечеткое LR-число А с модой a задается с помощью функции принадлежности следующим образом:

где a – мода; a, b>0 – левый и правый коэффициенты нечеткости.

Функции  и  имеют следующие свойства:

1)   не возрастают на множестве неотрицательных значений аргумента;

2)  

3)   L(0)=R(0).

При заданных LR-функциях число А задается тройкой А=(a, α, β)LR.

Чтобы обычные четкие числа могли участвовать в арифметике нечетких чисел LR-типа, принимается α=0, β=0,

Такое определение соответствует числам с нулевыми коэффициентами нечеткости А=(a, 0, 0)LR – обычным четким числам.

Традиционно арифметические операции над нечеткими LR-числами при малых значениях коэффициентов нечеткости a, b, g, d определяются следующим образом [1, 2]:

;

 – противоположный элемент;

;

m>0, n>0;

 – обратный элемент;

m>0, n>0.

Нулевой элемент для нечетких чисел определяется как , а единичный элемент – .

Как легко убедиться, нечеткие числа, определяемые традиционным образом, не являются полем, в частности,  не является абелевой группой по операции сложения,  – по операции умножения [3].

Введем в рассмотрение так называемые групповые операции над нечеткими числами LR-типа, для чего противоположные и обратные элементы определим следующим образом:

 – противоположный элемент,

 – обратный элемент.

Очевидно, что при таком определении противоположного и обратного элементов будут выполняться аксиомы поля:  и , то есть нечеткие числа будут образовывать группы по операциям сложения и умножения.

В дальнейшем нечеткие числа LR-типа с введенными выше противоположным и обратным элементами будут называться групповыми, а обычные нечеткие числа – традиционными [1, 2].

Характерной особенностью групповых нечетких чисел является то, что противоположный и обратный элементы имеют отрицательную нечеткость, то есть не имеют очевидного физического смысла.

Рассмотрим на примерах, в каком случае следует применять традиционные, а в каком групповые нечеткие числа.

Пример 1.

Имеется четкий сигнал x0, определяемый числом , к которому прибавляется сигнал z1, определяемый нечетким числом . Затем из полученного сигнала вычитается сигнал z2, определяемый нечетким числом, имеющим такие же центральное значение и степень отклонения, что и z1, то есть  (рис. 1).

При использовании традиционных нечетких чисел получим

.                                         (1)

Применение групповых нечетких чисел дает формулу

.                                                     (2)

Очевидно, верной в данном случае является формула (1) и здесь нужно применять традиционные нечеткие числа.

Пример 2.

Имеется четкий сигнал x0, определяемый числом x0=(x0, 0, 0)LR, к которому прибавляется сигнал z, определяемый нечетким числом . Затем из полученной суммы сигнал z вычитается (рис. 2).

При применении традиционных нечетких чисел получим формулу (1), применение же групповых нечетких чисел дает результат, определяемый формулой (2).

Очевидно, что в данном случае справедлива формула (2), полученная на основе групповых нечетких чисел, а применение традиционных нечетких чисел (см. (1)) приведет к завышению степени нечеткости результата.

Рассмотрение приведенных, а также ряда других примеров позволяет сделать следующие выводы:

-    если в системе только один нечеткий параметр или сигнал, то при анализе необходимо использовать групповые нечеткие числа; применение в этом случае традиционных нечетких чисел зачастую приводит к завышению степени нечеткости результата (чрезмерному размыванию результата);

-    если в системе несколько независимых нечетких параметров или сигналов, которые физически не могут компенсировать друг друга, необходимо использовать традиционные нечеткие числа.

Рассмотрим замкнутую статическую систему автоматического управления (САУ), структурная схема которой приведена на рисунке 3.

Предположим, что коэффициент передачи разомкнутой системы KP – нечеткое число в LR-форме, , а входной сигнал системы x0 – четкое число (представим его как нечеткое с нулевой нечеткостью ). При этом очевидно, что выходной сигнал системы – нечеткое число .

Введем в рассмотрение коэффициенты вариации нечеткости коэффициента передачи разомкнутой системы:  и выходного сигнала: .

Необходимо найти зависимость коэффициента вариации нечеткости выходного сигнала  от величины коэффициента вариации нечеткости коэффициента передачи разомкнутой системы .

Найдем .

Вычисления на основе групповых нечетких чисел

Выходной сигнал замкнутой системы определяется формулой

. (3)

После преобразований получим:

,

.

Результат соответствует известным положениям теории автоматического управления о том, что отрицательная обратная связь уменьшает влияние относительных изменений параметров системы на выходной сигнал САУ в KP+1 раз [4].

Вычисления на основе традиционных нечетких чисел

После преобразований выражения (3) получим

,

.

С учетом того, что , можно записать .

Согласно данной формуле, отрицательная обратная связь не уменьшает степень неопределенности выходного сигнала, что неверно.

Таким образом, для решения рассматриваемой задачи применение предложенного аппарата групповых нечетких чисел позволяет получить правильный результат.

Можно предположить, что описанный в статье аппарат групповых нечетких чисел может найти широкое применение при анализе и синтезе систем обработки информации и управления.

Список литературы

1.   Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000.

2.   Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта; под ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986.

3.   Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.

4.   Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. М.: Профессия, 2007.