Трудности при обработке цифровых изображений в основном обусловлены помехами, главным образом, шумами различного происхождения и недостаточной резкостью. В работах [1–3] с помощью тестирования были проведены сравнительные исследования реализаций наиболее популярных методов предобработки оцифрованных изображений. Тестирование выполнялось по единой методике на одном и том же наборе специально сконструированных тестовых изображений, на которые накладывались помехи различного типа и уровня. На основе полученных результатов выработаны рекомендации по выбору наиболее подходящих для конкретных условий алгоритмов. Однако практическое применение этих рекомендаций затруднено из-за необходимости получения количественной оценки уровня помех, в частности, степени расфокусировки, или размытости, изображения, особенно при отсутствии информации об условиях, в которых происходило формирование изображения. В свою очередь, развитие методов измерения размытости по самому изображению в отсутствие информации об условиях получения изображения является нетривиальной задачей, поскольку в реальной жизни мы имеем дело с уже искаженными картинками и возможности прямого измерения искажений путем сравнения их с идеальными изображениями нет. В таких условиях подобные измерения выполняются косвенно.

В настоящей работе предлагается метод оценки размытости оцифрованных изображений без привлечения априорной информации об условиях его получения.

Метод основан на применении оператора выделения линий [4, 5]. Суть его в локальной аппроксимации в выделенных окнах округлой формы фрагментов оцифрованного изображения другой, более простой ступенчатой функцией. В общем случае эта функция представляет собой три ступеньки, разделенные двумя параллельными прямыми. При этом крайние ступеньки соответствуют однородным областям с примерно одинаковой освещенностью, а полоса между ними – фрагменту разделяющей их линии. В частном случае, когда между крайними однородными областями существует четко выраженный перепад яркости, ширина средней полосы может быть нулевой, то есть аппроксимирующая функция будет представлять собой не три, а две ступеньки. Таким образом, данный оператор является обобщением оператора, предложенного в работе [6], в которой рассматривается аппроксимация входного сигнала двухступенчатой функцией.

На рисунке 1 приведены примеры наиболее типичных окон такого рода. Заметим, что выбор размера зависит от размеров и степени разрешения обрабатываемых изображений и подбирается в каждом случае экспериментально для конкретного класса задач.

Рис. 1

Пусть D – некоторое окно округлой формы, выделенное на исходном оцифрованном изображении; D = {(x,y) | x2+y2≤1} – единичный круг, наилучшим образом аппроксимирующий окно D; H0, H1, …, Hi, … – ортонормированный базис Гильбертова пространства функций, определенных на D ; I(x, y) – дискретная функция освещенности, определенная на окне D  (для простоты изложения не будем делать различия между самой функцией I(x, y) и функцией, являющейся ее доопределением на всем круге D ).

Рассмотрим введенное в [4] параметризованное семейство {S} всех ступенчатых функций, определенных на множестве D, вида

где Δ=cxx+cyy, а cx2+cy2=1 (то есть (cx, cy) – это единичный вектор, определяющий нормаль к направлению полосы или, в вырожденном случае, ступеньки). Геометрическая интерпретация остальных параметров (см. рис. 2), определяющих функцию, достаточно очевидна: | r−|, | r+| – расстояния от начала координат до прямых, ограничивающих центральную полосу; знаки этих параметров определяют расположение указанных линий относительно начала координат; t−, t+ – скачки функции S на границе центральной полосы; b− – значение S на первой ступеньке.

Необходимо найти значения параметров cx, cy, r−, r+, t−, t+, b−, при которых среднеквадратичная погрешность аппроксимации, то есть

N2(cx, cy, r−, r+, t−, t+, b−)=|| I–S ||2=

=, ми­нимальна. Заметим, что функционал N можно интерпретировать как шум.

Пусть {Hi (x, y) | i=0, 1, …, ∞} – ортонормированный базис Гильбертова пространства функций, определенных на единичном круге D, и ai= =; si(cx, cy, r−, r+, t−, t+, b−)= =.

Тогда N2(cx, cy, r−, r+, t−, t+, b−)= =.

Таким образом, задача сводится к минимизации N2 при заданных значениях ai, i=0, 1, …

Полное аналитическое решение данной задачи навряд ли возможно. Впрочем, оно и не представляет практического интереса, так как в полезном входном сигнале отсутствуют высокочастотные составляющие, а возможные резкие скачки освещенности между близкими точками – это ни что иное, как шумы.

Поэтому в работе [4] автором предлагается заменить бесконечную сумму на конечную:

N2(cx, cy, r−, r+, t−, t+, b−)=

=,

где ai, i=0, 1, …, 8 – коэффициенты разложения входного сигнала I(x,y) в Гильбертовом подпространстве с базисом H0, H1, …, H8:

H0=Q(1−δ2+3δ4),

H1=Q(5δ2−2),

H2=3Qx,

H3=3Qy,

H4=18½Q(x2−y2),

H5=18½Q∙2xy,

H6=45½Q(2δ2−1)x,

H7=45½Q(2δ2–1)y,

H8=Q(−2+17 δ2−21δ4 ).

Здесь δ2=x2+y2, а Q=2[(1─δ2)/3π]½. Семейство функций {Hi | i=0, 1, …, 8} является ортонормальным, а =

Заметим, что весовая функция Q, убывающая от центра области D к границе и равная на ней нулю, выбрана с целью минимизации погрешностей, связанных с переходом от дискретного окна к его непрерывной аппроксимации. Таким образом, близость между входным сигналом I(x, y) и выделенным из него идеализированным полезным сигналом S(x, y) понимается в смысле сравнения их главных низкочастотных компонент, при этом отклонениям в центре круга D присваивается больший вес, убывающий по мере приближения к его границе.

В [4] было получено полное аналитическое решение поставленной задачи, позволяющее в явном виде вычислять cx, cy, r−, r+, t−, t+, b− по любым заданным значениям ai, i=0, 1, …, 8. Кроме того, приведен критерий приемлемости найденной аппроксимации, основанный на сравнении ||N|| с ||S||, то есть нормы шумовой составляющей исходного сигнала с нормой выделенного полезного сигнала. Аппроксимация считается приемлемой, если ||N||2/||S||2

Следует заметить, что в целом ряде задач четко выраженные линии являются важным, но, тем не менее, частным случаем. Например, при обработке аэрокосмических снимков они чаще всего соответствуют дорогам и трубопроводам. Если целью обработки является выделение такого рода объектов, то рассматриваемый оператор может использоваться в его первоначальном виде. В случае оценки размытости изображения представляет интерес не наличие или отсутствие линии, разделяющей области с разной освещенностью, а степень размытости разделяющей их границы.

Очевидно, что при наличии участка размытой границы внутри обрабатываемого окна величины t− и t+ будут иметь один и тот же знак. То есть высота центральной полосы будет промежуточной по сравнению с высотами боковых ступенек. Данное условие необходимо, но не является гарантией того, что найдена именно размытая граница. Например, на аэрокосмических снимках такой результат может соответствовать участку дороги, разделяющему два поля, засеянных разными сельскохозяйственными культурами.

Определим дополнительный критерий нахождения границы.

Пусть {R} – параметризованное семейство непрерывных функций, определенных на множестве D, причем каждая функция этого семейства задана соотношениями:

Здесь cx, cy, r−, r+, t−, t+, b−, Δ имеют тот же смысл, что и в определении семейства {S}. Нетрудно видеть, что каждой функции S соответствует функция R, задаваемая тем же набором параметров. При этом R получается из S заменой центральной ступеньки на наклонную плоскость, непрерывно соединяющую обращенные друг к другу края боковых ступенек.

Итак, предположим, что функция S, наилучшим образом аппроксимирующая входной сигнал I, найдена, а R – соответствующая ей непрерывная функция, построенная согласно описанному выше правилу. Если ||I–S ||2–||I–R||2≥С, где С – заданный порог, определяемый экспериментально, то функция R дает лучшее качество аппроксимации входного сигнала по сравнению с S. В этом случае в обрабатываемом окне найдена не линия, а участок границы между областями разной освещенности. При этом критерий приемлемости построенной аппроксимации должен быть модифицирован: ||N||2/||R||2

В силу того, что функция R дает заведомо лучшую аппроксимацию входного сигнала, чем S (а только этот случай представляет интерес), данный критерий может быть выполнен для первой из них, но не выполнен для второй.

Найденная в результате ширина центральной полосы, то есть разность r+−r−, является величиной, практически не зависящей от перепада яркости этих областей, и определяет плавность перехода между ними.

Тем не менее, результат, полученный внутри одного отдельно взятого окна, еще нельзя считать интегральной мерой размытости всего изображения. Дело в том, что практически на любой, даже достаточно резкой картинке всегда могут встретиться плавные переходы освещенности, которые можно ошибочно принять за размытые контуры. Поэтому более адекватной мерой размытости изображения будет минимум разностей r+−r− по всем возможным окнам D   на заданном оцифрованном изображении. На практике, однако, достаточно выбрать покрытие исходного изображения окнами со степенью перекрытия в 25–30 %.

Полученные таким образом оценки размытости контуров на обрабатываемом изображении или серии изображений позволяют сделать выбор адекватного для конкретной задачи алгоритма более осознанным и мотивированным.

Литература

1. PICASSO – Edge Detectors Evaluating System Based on the Comprehensive Set of Artificial Images. I.V. Gribkov [at al.]. Proceedings of the 6th World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics. Vol. 9, 2002, pp. 88–93.

2. Тестирование методов сегментации изображений в сис-

теме PICASSO; под ред. акад. В.Б. Бетелина. М.: НИИСИ РАН, 2007.

3. Empirical Evaluation of Image Processing Methods Using PICASSO 2 System. I.V. Gribkov [at al.]. WSEAS Transactions on Systems. 2005. Issue 11. Vol. 4, pp. 1923–1930.

4. Hueckel M.H. A local visual operator which recognizes edges and lines // Journal of the Association for Computing Machinery. Vol. 20, No. 4, 1973, pp. 634–647.

5. Hueckel M.H. Erratum: A local visual operator which recognizes edges and lines // Journal of the Association for Computing Machinery. Vol. 21, No. 2, 1974, p. 350.

6. Hueckel M.H. An operator which locates edges in digitized pictures // Journal of the Association for Computing Machinery. Vol. 18, No. 1, 1973, pp. 113–125.