Программные продукты и системы

Важным этапом создания надежных педагогических и диагностических тестов для управления качеством образовательной деятельности в учреждениях профессионального образования является калибровка (определение трудности) их заданий (индикаторов). Калибровка проводится с помощью современных методов и программ расчета латентных переменных на основе обработки результатов тестирования. Как правило, объем используемой выборки студентов невелик (от 20 до 50 человек), из-за чего погрешность калибровки получается недопустимо большой. Причем выборка эта является единственной, и увеличение ее объема за счет накопления данных в течение определенного времени зачастую неприемлемо.

Современные подходы к решению проблем подобного рода базируются на использовании параметрических методов и связаны с генерированием выборки необходимого объема на основе закона распределения, полученного по результатам тестирования. Однако при малых объемах выборки трудно верно выбрать саму параметрическую модель и с приемлемой точностью рассчитать ее параметры. Из-за этого погрешность оценки выборочного среднего и дисперсии получается большой и снизить ее не представляется возможным.

Указанного недостатка лишены методы увеличения объема выборки, в которых используется непосредственное размножение экспериментальных результатов тестирования, такие как бутстреп-метод, метод складного ножа [1] и их модификации. За счет размножения исходной выборки с их помощью создается выборка существенно большего объема.

Целью данной работы является исследование возможности использования бутстреп-метода для снижения погрешности калибровки трудности заданий теста и уменьшения величины ее интервальных оценок.

Для исследования была выбрана матрица результатов тестирования студентов (выборка) размером 50´42. Формирование бутстреп-выборок производилось следующим образом. Исходная матрица тиражировалась большое число раз (N), причем каждая последующая матрица располагалась строго под предшествующей. При таком размножении положение столбцов всех матриц сохранялось неизменным. В результате тиражирования получалась выборка большего объема, число столбцов которой оставалось равным 42, а количество строк возрастало в N раз. Затем из нее случайным образом отбирались с возвращением n матриц размером 50´42, каждая из которых обрабатывалась, как и исходная матрица, с помощью программного комплекса RILP-1 [2]. Число n менялось. На первом этапе количество тиражирований N выбиралось равным 100, и строки полученной матрицы размером 5000´42 не перемешивались. Из нее последовательно извлекались с возвращением группы матриц с n=10, 25, 50, 75, 100, 200, 300,…, 2000. В результате обработки матриц находились бутстреп-выборки βj(Б)* (j=1, 2, 3, …, n). Каждое из рассчитанных бутстреп-значений βj(Б)* усреднялось по n выборкам, и определялись оценки среднего значения  и стандартного отклонения .

Зависимость величины  от количества n извлекаемых матриц в группе для самого легкого задания № 31 показана на рисунке 1 а), и для самого трудного задания № 20 – на рисунке 1 б). Прямыми линиями на рисунке показаны значения оценок β20* и β31*, рассчитанные для исходной матрицы. Из графиков видно, что при n≤200 значения  статистически неустойчивы. Как показал анализ, для ÷βj*ç≥0,1 логита амплитуда колебаний  может достигать 20–25 % от среднего значения. Статистическая устойчивость оценок  заметно улучшается, когда число извлекаемых матриц n в группе превышает 500. Максимальное отклонение  от усредненного значения, вычисленного по группам матриц с 500≤n≤2000, составляет не более 7–10 % практически для всех заданий теста с çβj*ç ≥0,1. Вывод об улучшении статистической устойчивости подтверждается результатами анализа зависимости оценки среднеквадратичного отклонения  от n (рис. 2). При n≥500 амплитуда колебаний значений  для рассматриваемых заданий существенно снижается. С учетом данного вывода в качестве предельных оценок величин  и  были приняты их усредненные значения  и , рассчитанные по 16 группам матриц с n=500, 600, …, 2000.

Для практического использования полученных результатов важно знать, какое минимальное количество групп матриц s и число бутстреп-матриц в группе n необходимо выбрать, чтобы усредненные по ним значения  и  мало отличались от предельных  и . С этой целью исследовалась зависимость относительной погрешности оценок  и  от значений s и n. Для проведения исследований были выбраны самое легкое и самое трудное задания теста, а также задания одинаковой трудности 1, 13 и 38 (βj*=0,467 логита).

Относительные погрешности γβj* и γσj* рассчитывались по одной группе матриц с n=600 (s=1) и при усреднении по группам матриц с различными значениями n и s (см. табл.).

Зависимость γβj* и γσj* от числа s групп бутстреп-матриц

Из таблицы видно, что погрешность расчета менее 1 % и для , и для  обеспечивается при усреднении не менее чем по шести группам бутстреп-матриц с n=500, 600, …, 1000. Использование только четырех групп бутстреп-матриц приводит к увеличению относительной погрешности оценки  до 1,5 %. Снижение погрешности до 0,5 % достигается при усреднении не менее чем по 11 группам бутстреп-матриц.

На втором этапе исследовалось влияние на результаты оценок  и  числа m перемешиваний строк размноженной матрицы. Исследования проводились для одной группы матриц с n=800, количество которых выбиралось равным 10, для 16 групп матриц с n=500, 600, …, 2000 и для 6 групп матриц с n=500, 600, …, 1000. Количество перемешиваний изменялось с интервалом Δm1=5ּ105 в диапазоне от 0 до 107 и с интервалом Δm2=5ּ106 в диапазоне от 5ּ106 до 108. Для одной группы матриц рассчитывались средние значения  по десяти извлеченным матрицам и находились их относительные отклонения γβj* от величины .

Анализ результатов показал, что зависимость γβj*(m) носит случайный характер. Разброс значений относительно  для большинства заданий (анализировались задания с çβj*ç>0,1 логита) составляет 1–2 %, но для отдельных может достигать 5 %. Это выше разброса значений , рассчитанных по 10 бутстреп-матрицам при m=0 (для большинства заданий γβj*(0) изменяется от 0,5 до 1 %, для отдельных достигает 4 %). Анализ характера зависимости γσj (m) относительных изменений  также свидетельствует о том, что статистическая устойчивость оценок  ухудшается при перемешивании (γσj возрастает на 1,5–2 %).

Расчет предельных оценок , , выполненный по 16 группам матриц для различного числа перемешиваний m, показал, что отличие значений  от  не превышает 0,7 % для указанных в таблице заданий, если m принимает значения 5ּ106, 107, 2ּ107. При m=106 и m=1,5ּ107 может достигать 1–1,5 %. Значения γβj* практически не отличаются от указанных и для других заданий теста, но когда çβj*çблизко к 0,1 логита, они могут возрастать до 4 %. При s=6 различия  и  несколько выше и могут достигать 6 %. Изменения предельных оценок  для этих же значений s могут увеличиваться до 3,5 %, что превышает колебания значений , рассчитанных для m=0.

Таким образом, перемешивание строк размноженной матрицы приводит не к повышению устойчивости оценок  и , как ожидалось, а, скорее, к ее снижению.

На третьем этапе оценивались и сравнивались интервалы изменения значений βj* и . Для случая непараметрической статистики [3] трудность j-го задания, рассчитанная по исходной матрице размером k´l, будет находиться в интервале .

Здесь k – число строк в исходной матрице; U(p) – число, зависящее от величины доверительной вероятности p. С учетом данного выражения отношение λ ширины интервалов изменения исходного значения βj* и полученного бутстреп-значения  составит . Например, для задания № 10 (σj*=0,498, =0,296, k=50, n=500) величина λ составила 5,32.

Таким образом, использование бутстреп-мето­да позволяет существенно уменьшить величину интервальных оценок трудности заданий теста и за счет этого повысить точность их калибровки.

Литература

1.   Efron B. Bootstrap methods: Another look at the jackknife Ann. Statist, 1979. V. 7. № 1, pp. 1–25.

2. Елисеев И.Н., Елисеев И.И., Фисунов А.В. Программный комплекс RILP-1 // Программные продукты и системы. 2009. № 2. С. 178–181.

3. Орлов А.И. Эконометрика: учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во «Экзамен», 2002. С. 83.