Одним из эффективных инструментов анализа функционирования систем, базирующихся на вероятностном подходе, является использование полумарковских моделей для оценки вероятностей нахождения системы в различных состояниях.

Сложность полумарковской модели функционирования системы определяется как множеством учитываемых факторов, так и непростой организацией самой системы (наличием разнородных подсистем, элементов и взаимосвязей между ними). Существенным является также необходимость учета фактора неопределенности анализируемых переменных и случайности событий.

Традиционно используемый для учета стохастической неопределенности вероятностный подход в полумарковских моделях не всегда применим из-за недостатка статистической информации о состоянии сложной системы. Кроме того, при традиционном подходе невозможно учесть:

·     неопределенность переменных, обусловленную экспертным характером значительной части информации или эвристическим описанием процессов;

·     разнокачественность данных, а также их оценку с помощью различных шкал;

·     нечеткость выделения и описания переменных или отдельных состояний, а также входных и выходных воздействий.

Одним из основных способов решения подобных проблем при анализе функционирования систем является использование нечетких полумарковских моделей [1–3].

Следует отметить определенные ограничения существующих нечетких полумарковских моделей:

·     не всегда четко обосновано соответствие вложенных цепей полумарковской модели классу цепей Маркова;

·     имеющиеся модели в общем случае используются только для прогнозирования характеристик пребывания моделируемой системы в заданном состоянии, что затрудняет решение задач управления;

·     предлагаемые подходы к построению нечетких полумарковских моделей не учитывают наличие избыточности ресурса как необходимое условие функционирования сложной системы.

Использование полумарковских моделей для анализа функционирования систем

Сложные системы, как правило, характеризуются некоторым уровнем избыточности, позволяющим, с одной стороны, противостоять отказам (или другим повышающим их энтропию явлениям), с другой стороны, накапливать соответствующее этому уровню количество отказов элементов, не приводящее к отказу системы в целом. Для восстановления такой избыточности в системе проводится обслуживание с контролем состояния системы и восстановительными мероприятиями. Формальное описание такого процесса функционирования системы представляется полумарковской моделью (рис. 1).

На рисунке S1 – состояние применения системы по назначению (желаемое состояние); S2 – состояние проверки работоспособности системы (пригодности к использованию по назначению); S3 – состояние проверки непригодности (отказа) к использованию по назначению, а также восстановление до состояния пригодности (готовности) к использованию по назначению после обнаружения дефекта (отказа); Ротк – вероятность возникновения отказа системы, Ротк=Fотк(ТП); Fотк(ТП)= =Вер(tотк<ТП) – функция распределения случайной величины tотк момента отказа, соответствующая значению tотк<ТП, то есть вероятности отказа в течение периода проверки системы TП.

Учитывая, что Ротк является также и вероятностью перехода из состояния S1 в состояние S2 за один шаг для вложенной марковской цепи, для нее должно выполняться ограничение на отсутствие последействия как основное условие марковости переходов из состояния в состояние.

Полумарковский процесс задается с помощью матрицы F(t) условных функций распределения продолжительности пребывания в состояниях, матрицы W переходных вероятностей вложенной марковской цепи и начального состояния процесса, из которого он стартует:

;

.

Ненулевые компоненты матрицы F(t) запишутся в следующем виде:

Здесь ТК, ТВ – математические ожидания продолжительностей проведения проверки и восстановления после достоверного обнаружения отказа системы.

Безусловные функции распределения Fi(t) определятся в соответствии с выражением Fi(t)= , где ωij – вероятность перехода вложенной марковской цепи за один шаг.

Для рассматриваемого примера получим:

                                              (1)

                                    

Среднее время пребывания системы в соответствующих состояниях находится следующим образом:

                                           (2)

Тогда  m2=TK; m3=TK+TB.

Финальное распределение вероятностей состояний вложенной марковской цепи определяется в результате решения системы уравнений в матричном виде P=PW, где P – вектор-строка (Р1, Р2, Р3).

Эта система уравнений является линейно зависимой, так как для нее выполняется условие нормировки. Таким образом, для рассматриваемого случая получим систему уравнений

Решение этого уравнения имеет следующий вид:

            (3)

В стационарном режиме распределение вероятностей состояний для полумарковского процесса в целом определяется из выражения

Очевидно, что показателем эффективности системы, функционирование которой описывается с помощью приведенного полумарковского процесса, будет вероятность застать систему в состоянии S1 в произвольный момент. И эта вероятность является функцией периода и продолжительности контроля, то есть ТП и ТК, а также функцией распределения моментов отказа системы Fотк.

Выражение этой вероятности имеет вид

Таким образом, числитель данного выражения соответствует средней продолжительности пребывания системы в исправном состоянии S1, а знаменатель – сумме средних времен пребывания в состоянии исправности, контроля и восстановления. В этой полумарковской модели в отличие от марковской учтены периодичность и продолжительность контроля [4].

Способы введения нечеткости в полумарковские модели

Анализ функционирования системы во многом субъективный процесс, в ходе которого требуется учитывать как количественные, так и качественные переменные, плохо поддающиеся формализации. Это затрудняет использование традиционных полумарковских моделей. Кроме того, как отмечалось, сложность использования вероятностного подхода анализа функционирования систем обусловлена уникальностью и сложностью типизации оцениваемых ситуаций и отсутствием достаточных статистических данных.

Все это позволяет обосновать целесообразность применения методов теории нечетких множеств и нечетких вычислений при построении и использовании полумарковских моделей.

Предлагаются два способа введения нечеткости в полумарковские модели.

1. Дополнение выражения для оценки распределения вероятностей состояний функциями принадлежностей времени пребывания системы в соответствующих состояниях.

В этом случае выражение для оценки распределения вероятностей состояний примет следующий вид:

2. Замена вероятностей состояний и времен пребывания системы в соответствующих состояниях на нечеткие числа (нечеткие множества), а обычных операций – на расширенные операции над нечеткими числами; при этом для определения соответствующих нечетких множеств используются нечеткие отображения, реализуемые в соответствии с одним из известных подходов (нечеткие продукции, нечеткие отношения, нечеткие функции).

Данный способ введения нечеткости в полумарковскую модель заключается в следующем:

·     вероятности состояний и времен пребывания системы в соответствующих состояниях заменяются на нечеткие числа (нечеткие множества);

·     для задания нечетких переменных, характеризующих вероятности состояний и времен пребывания системы в соответствующих состояниях, используются нечеткие отображения, реализуемые в соответствии с одним из подходов (нечеткие продукции, нечеткие отношения, нечеткие функции);

·     операции суммирования, произведения и деления над вероятностями состояний и времен пребывания системы в соответствующих состояниях заменяются на расширенные (например, по принципу обобщения Л. Заде или на основе интервального метода) операции суммирования, произведения и деления нечетких чисел соответственно.

Примечания:

1) использование указанных выше способов введения нечеткости в полумарковские модели зависит от характера используемой информации и особенностей решаемых задач анализа функционирования систем;

2) в предлагаемом методе построения и использования нечеткой полумарковской модели функционирования системы реализован второй способ введения нечеткости в полумарковскую модель.

Метод построения нечеткой полумарковской модели функционирования системы

Рассмотрим основные этапы предлагаемого метода.

Этап 1. Задание нечетких переменных  на базовых множествах значений вероятностей Pi состояний системы.

При этом значения вероятностей Pi состояний системы являются базовыми множествами, на ко- торых определены функции принадлежности нечетких множеств, число которых для каждого состояния системы может быть различным. Для наглядности при оценке будем использовать по три нечетких множества (термы {Низкий, Средний, Высокий}) для задания каждой нечеткой переменной : для  – НP1, СP1, ВP1; для  – НP2, СP2, ВP2; для  – НP3, СP3, ВP3. С одной стороны, это не нарушает общности при рассмотрении предлагаемой нечеткой полумарковской модели (то есть при необходимости перечень термов для каждой нечеткой переменной  может быть изменен), с другой стороны, позволяет типизировать компоненты модели, что существенно упрощает задачу при ее построении и использовании.

Отметим, что, хотя возможно совпадение названий термов для различных нечетких переменных, на самом деле они могут характеризоваться разными параметрами.

Для формирования терм-множеств нечетких переменных  (в виде нечетких множеств) и построения их логико-лингвистических шкал целесообразно использовать типовые L–R-функции, например, колоколообразного типа [5]. Так, для показанной на рисунке 2 нечеткой переменной  значение НP2 задается следующим образом:

где a2, b2 – параметры функции принадлежности колоколообразного типа.

Этап 2. Задание нечетких переменных  на базовых множествах значений вероятностей mi времен пребывания системы в соответствующих состояниях.

Все значения вероятностей времен mi пребывания системы в соответствующих состояниях являются базовыми множествами, на которых определены функции принадлежности нечетких множеств нечетких переменных .

Как и для нечетких переменных , задаются нечеткие множества для переменных : для  – Нm1, Сm1, Вm1; для  – Нm2, Сm2, Вm2; для  – Нm3, Сm3, Вm3 (аналогично этапу 1).

Этап 3. Задание нечетких отображений для нечетких переменных , характеризующих вероятности времен пребывания системы в соответствующих состояниях.

Исходя из выражений (1) и (2) зададим следующие нечеткие отображения для нечетких переменных :   где  – нечеткое отображение.

Как уже было сказано, нечеткие отображения  могут задаваться одним из известных способов: нечеткими продукционными правилами, нечеткими отношениями, нечеткими функциями.

Рассмотрим пример реализации нечеткого отображения  для нечеткой переменной  на основе нечеткой продукционной модели MISO-ти­па (Multiple Inputs, Single Outputs) в предположении, что входные переменные TК, TВ также являются нечеткими и задаются соответствующими нечеткими множествами: для  – НК, СК, ВК; для  – НВ, СВ, ВВ:

П1: ЕСЛИ  есть НК И  есть НВ, ТО  есть Нm3,

П2: ЕСЛИ  есть НК И  есть CВ, ТО  есть Нm3,

      . . .

Пl: ЕСЛИ  есть CК И  есть CВ, ТО  есть Cm3.

      . . .

П9: ЕСЛИ  есть ВК И  есть ВВ, ТО  есть Вm3.

Для нечеткой переменной  в рамках сформированной нечеткой продукционной модели реализуется алгоритм нечеткого вывода Мамда- ни [5].

Этап 4. Задание нечетких отображений для нечетких переменных , характеризующих вероятности состояний системы.

В соответствии с выражением (3) зададим следующие нечеткие отображения для нечетких переменных :   где  – нечеткое отображение.

Если входную переменную TП представлять как нечеткую переменную , то нечеткое отображение  можно реализовать на основе нечеткой продукционной модели SISO-типа (Single Inputs, Single Outputs).

Рассмотрим пример реализации нечеткого отображения  для нечеткой переменной  на основе нечеткой продукционной модели SISO-ти­па с учетом того, что нечеткая переменная  задается нечеткими множествами НП, СП, ВП:

П1: ЕСЛИ  есть НП, ТО  есть BP2.

П2: ЕСЛИ  есть СП, ТО  есть СP2.

П3: ЕСЛИ  есть BП, ТО  есть НP2.

Далее для нечеткой переменной  в рамках сформированной нечеткой продукционной модели реализуется алгоритм нечеткого вывода Мамдани.

Если переменная TП является четкой, то для реализации нечеткого отображения  целесообразно использовать нечеткую функцию от этой четкой переменной TП, формирующей образ ее четкой области определения в соответствующем нечетком множестве .

Следует отметить, что, поскольку понятия нечеткой функции четкой переменной и нечеткого отношения соответствуют друг другу в математическом смысле, нечеткая функция  может быть интерпретирована как нечеткое отношение  и определена следующим образом:

Этап 5. Определение значений нечетких переменных, характеризующих распределение вероятностей состояний для нечеткого полумарковского процесса.

Для выполнения данного этапа предлагаемого метода введем необходимые понятия, определения и выражения для расчетов.

Нечеткое число  определяется как нечеткое множество, заданное на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности , где xÎR, и для которого выполняются следующие условия:

а) $ xÎR, такое, что ;

б) множества α-уровней нечеткого числа  представляют собой закрытые ограниченные интервалы =[a, b]={x/≥α};

в) $ NÎR, такое, что " xÎR, если |x|≥N, то =1.

Операции над нечеткими числами могут выполняться с использованием различных методов.

Так, при осуществлении операций над нечеткими числами с использованием интервального арифметического метода интервальные вычисления выполняются над всеми множествами α-уров­ней этих чисел.

Пусть заданы два нечетких числа  и , а также множества их α-уровней =[a, b]={x/≥α} и =[c, d]={x/≥α для каждого значения αÎ[0, 1].

Интервальные операции над множествами α-уровней нечетких чисел =[a, b] и =[c, d] вычисляются в соответствии со следующими выражениями [6].

Сложение:

.

Умножение:

Деление:

где .

Примечание: чтобы отличить арифметические операции над нечеткими числами от обычных арифметических операций, обозначим символами , ,  операции нечеткого сложения, умножения и деления соответственно.

По другому методу выполнения вычислений, основанному на принципе расширения Л. Заде, произвольная расширенная бинарная арифметическая операция  над нечеткими числами может быть задана следующим образом:

где , ,  – нечеткие числа,  – обозначение произвольной расширенной бинарной арифметической операции над нечеткими числами [5].

Тогда, например, расширенная операция произведения  над нечеткими числами  и  имеет следующий вид:

Примечание: в дальнейшем при осуществлении операций над нечеткими числами будем использовать интервальный арифметический метод над множествами α-уровней этих чисел.

Для задания правил вывода на основе нечеткой байесовой сети рассмотрим понятия нечеткой вероятностной меры и нечеткого вероятностного пространства.

Функция : e®F(R) называется нечеткой вероятностной мерой [7] на (W, e) в том и только в том случае, если:

а) 0x1x для "AÎe;

б) =1x и =0x;

в) если A и B являются несовместными значениями из e (то есть AÇB=Æ), то ÅÊ Ê;

г) если A и B являются событиями из e, то

Здесь W=Rm – некоторое универсальное множество, на котором задана переменная A; e – множество несовместных значений переменной A; F(R) – множество всех нечетких чисел, определенных на множестве действительных чисел R; 0x и 1x – нечеткие числа 0 и 1.

Нечетким вероятностным пространством называется тройка .

Таким образом, в основе предлагаемого метода построения и использования нечеткой полумарковской модели лежит следующее выражение:

                      (4)

где  – нечеткая переменная, характеризующая распределение вероятностей состояний для нечеткого полумарковского процесса.

В заключение отметим, что в данной работе делается анализ функционирования систем на основе нечетких полумарковских моделей.

Предложены различные способы введения нечеткости в полумарковские модели в зависимости от характера используемой информации и особенностей решаемых задач анализа функционирования систем.

Разработан новый класс нечетких полумарковских моделей с учетом предложенного способа введения нечеткости в эти модели.

Предложен метод построения и использования нечеткой полумарковской модели функционирования системы.

Литература

1.   Bhattacharyya M. Fuzzy Markovian decision process // Fuzzy Sets and Systems. Vol. 99, 1998, pp. 273–282.

2.   Praba B., Sujatha R., Srikrishna S. Fuzzy reliability measures of fuzzy probabilistic semi-Markov model // Int. Journal of Recent Trend in Engineering. Vol. 2, No. 2, 2009, pp. 25–29.

3.   Praba B., Sujatha R., Srikrishna S. A study on homogeneous fuzzy semi-Markov model // Applied Mathematical Sciences. Vol. 3, No 50, 2009, pp. 2453–2467.

4.   Бояринов Ю.Г., Дли М.И., Круглов В.В. Оценка диапазона возможных значений вероятности пребывания в заданном состоянии марковской модели производственно-экономичес­кой системы // Программные продукты и системы. 2009. № 4. С. 88–91.

5.   Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. М.: Горячая линия – ТЕЛЕКОМ, 2002.

6.   Moore R. E. Interval analysis. New Jersey: Prentice Hall, 1966.

7.   Kwakernaak H. Fuzzy random variables: definitions and theorems // Information Sciences. № 15(1), 1978, pp. 1–29.