Все большее применение в промышленности и на транспорте находит контроль геометрических параметров деталей и узлов машиностроения с помощью лазерной триангуляции. Однако основными проблемами, препятствующими его внедрению, являются разнородность оцениваемых поверхностей и, как результат, неоптимальные условия работы сенсора, приводящие к возникновению шумов спеклов, что в конечном итоге увеличивает погрешность [1].

Альтернативой указанному подходу может быть метод триангуляции с использованием зеркально отраженного излучения, так как чувствительность его больше [2]. На устройство для контроля параметров криволинейных поверхностей в 1994 г. выдан патент 2025659 (авторы: Андрейченко Ю.Я., Волошинов В.А., Волошинов Д.В., Самсонов В.В.). С помощью этого метода проще добиться приемлемого качества входного оптического сигнала. Кроме того, реализующая его оптическая схема более простая и дешевая, чем у интерферометра – устройства, реализующего еще один альтернативный оптический метод. Отметим, что рассматриваемый метод имеет значительное сходство с гартмановскими датчиками волнового фронта, имеющими большую чувствительность (до 0,001 длины волны света) и перспективными для различных применений.

В данной статье подробно описан и обоснован вывод расчетных формул и приведены алгоритмы получения профилей и контурных картин поверхностей вращения способом триангуляции с использованием зеркально отраженного излучения.

Рассматриваемые контролируемые изделия имеют вид тела вращения с криволинейной наружной поверхностью:

F(r, j, z)=0,                                                             (1)

где r, j, z – цилиндрические координаты.

Рассмотрим модель оптического сканирования в приближении геометрической оптики при условии, что падающий и отраженный пучки света являются тонкими (см. [3]). При этом важно, что, во-первых, поперечная ширина тонкого пучка не учитывается в расчетах и, во-вторых, прохождение тонкого пучка в пространстве описывается положением его центрального луча.

На рисунке 1 изображена тестируемая поверхность в зоне оптического контроля. Параллельно оси OZ со смещением на величину d в положительном направлении оси OY проведена прямая AB. В направлении данной прямой производится сканирование поверхности вдоль оси вращения источником излучения. Луч , падающий на поверхность, перпендикулярен плоскости YOZ и зеркально отражается относительно вектора нормали .

Отраженный луч  регистрируется матричным фотоприемником, расположенным так, чтобы столбцы матрицы были параллельны оси x. С этой осью совмещается серединный столбец матрицы. Для поиска луча , отраженного от поверхностей с различными наклонами, перед началом измерений фотоприемник имеет возможность перемещаться по дуге радиуса L в диапазоне углов [y1, y2].

Информативными параметрами являются угол y, который отсчитывается от положительного направления оси OX и соответствует энергетическому центру отраженного пучка на матричном фотоприемнике, а также координата x этого энергетического центра на фотоприемнике.

Сканирование всей поверхности осуществляется шаговым разворотом контролируемого объекта вокруг оси OZ и дискретным перемещением источника света по прямой AB в точках с координатами zk=zk-1+Dz. Алгоритм сбора данных приведен на рисунке 2.

Формулы для определения координат освещенной точки контролируемой поверхности на каждом шаге сканирования получены из законов геометрической оптики:

, .                    (2)

Эти соотношения определяют принадлежность входящих в них векторов одной плоскости и равенство углов падения и отражения. Дополняя их уравнением падающего луча, получаем математическую модель оптической схемы в виде системы из четырех уравнений.

Для упрощения системы уравнений (2) переходим от декартовых координат {x, y, z} к системе цилиндрических координат {rc, jc, zc}. Располагаем ее так, чтобы направления осей z и zc совпадали, а отсчет углов jc начинался от положительного направления оси OX в сторону положительного направления оси OY.

Из исходной системы уравнений путем линейных преобразований авторами ранее были получены [4] два дифференциальных уравнения. Они связывают rc и его первую производную по какой-либо другой координате – jc или zc:

,

,                                     (3)

где jR – угол поворота контролируемого объекта; zR – смещение источника излучения;  и  – функции четырех переменных. Переменные jR, zR задаются независимо известным способом. Их отсчет ведем в той же системе цилиндрических координат оптической схемы. Переменная rc неизвестна, а переменная zc (координата освещенной точки поверхности) легко определяется благодаря выбранной пространственной конфигурации оптической схемы.

Из (3) получаем дифференциальные уравнения относительно неизвестного радиуса измеряемой поверхности в ее освещенной точке:

, .   (4)

При этом левые части уравнений представляем как производные неявной функции радиуса rc, зависящей от переменных jc и zc и определяемой уравнением поверхности (1).

Запишем уравнения (4) в системе координат {r, j, z}, связанной с контролируемой поверхностью. Уравнения связи между системами координат имеют вид

r=rc, j=jc–jA, z=zc,                                               (5)

где jA – угловая координата, связанная с поворотом контролируемой детали.

Она отсчитывается в системе координат оптического преобразователя, выбирается такой, чтобы в начале отсчета выполнялось условие j=0, и изменяется с поворотом поверхности при сканировании в соответствии с формулой

jA=jR–jconst,                                                            (6)

где jconst – постоянная величина угла, введенная для удобства расчетов.

Принимаем также, что величина угла jR изменяется в процессе сканирования от 0 до 2p или до минус 2p радиан в зависимости от направления сканирования.

Уравнения (4) переходят в следующие уравнения:

, .       (7)

Функция вида r(jR, zR) является частным решением любого из них в отдельности. Из нее, используя (5) и очевидное соотношение

d=r sin jc,                                                               (8)

можно получить профиль радиуса r(j, z) в системе координат контролируемой поверхности, а из сетки таких профилей и изображение всей поверхности.

Для нахождения решения перейдем от уравнений (7) к уравнениям, содержащим дифференцирование только по независимым переменным jR и zR. При этом, в отличие от уравнений (7), их левые части представим как производные радиуса именно освещенной точки поверхности. Ее координаты в системе, связанной с контролируемой поверхностью, обозначим как (ra, ja, za). Они удовлетворяют уравнениям (7). В схеме устройства угловую координату рассматриваемой точки обозначим как a. При этом для радиусной и осевой координат этой точки в схеме устройства новые обозначения не вводятся, так как при выводе формул они не нужны. Подставляя в (5) и (6) вместо j величину ja и вместо jc величину a, имеем

ja=a–jR+jconst.                                                      (9)

Получим дифференциальные уравнения, связывающие искомый радиус ra контролируемой поверхности в ее освещенной точке с задаваемыми углом jR поворота этой поверхности вокруг оси OZ и смещением zR источника излучения.

Представим ra как сложную функцию:

ra=ra(ja, za),                                                    (10)

где ja=ja(jR, zR) и za=za (jR, zR). Согласно правилу вычисления производной сложной функции,

.             (11)

Очевидно, что для точек на контролируемой поверхности

, .                                           (12)

В соответствии с (9)

.                  (13)

Из (8) имеем

,                                                   (14)

тогда .                 (15)

Подставив первое из уравнений (7), а также полученное соотношение (15) в (11), имеем в результате дифференциальное уравнение следующего вида:

.                        (16)

Оно относится к нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. Так как в него входит только одна частная производная и к тому же выраженная в явном виде, то его можно считать и обыкновенным дифференциальным уравнением. Решая его при каком-либо постоянном zR, получаем функцию ra(jR, zR), от которой, используя (5), (6), (8) и (16), переходим к r(j, z) при заданном z=zR. Граничное условие имеет вид

ra(jR=0, zR=V)=ra(jR=2p, zR=V),                         (17)

где V – смещение источника излучения вдоль оси OZ от некоторого начального уровня.

При задании V должны выполняться два условия: 1) попадание зондирующего луча на контролируемую поверхность, 2) возможность детектирования этого луча фотоприемником после отражения его от контролируемой поверхности.

Условие (17) позволяет получить решение уравнения (16) в виде однозначной функции (радиальный профиль), что показали выполненные расчеты.

Так, авторами было получено аналитическое решение уравнения (16), линеаризованного по искомому r и информативным параметрам y и x при условии, что отклонения радиального профиля от круглости много меньше (менее 0,0001) средней величины его радиуса [4]. Нахождение этого решения доказало, что оно существует и единственно.

Для проверки полученных формул при значительных отклонениях от круглости, то есть когда данное условие не выполняется, авторы создали компьютерную модель оптической схемы измерений согласно рисунку 1 (при условии из [3]). При этом рассмотрена схема в плоскости, то есть контролируемая поверхность представлена цилиндром с направляющей, параллельной OZ. Модельный радиальный профиль представлен как синусоида, высоты которой отсчитывались в радиальном направлении от среднего радиуса. Решение получено численно. При этом использовался итерационный алгоритм, который сводился к последовательным вычислениям приближенных величин ra вдоль одного радиального профиля. В данном случае использовался известный метод вычислений Рунге–Кутты с точностью до четвертого порядка:

,

,

,

,

,                      (18)

где  ‑ обозначение правой части уравнения (16); i – порядковый номер точки восстанавливаемого профиля, i=0, 1, 2, …, N, jR N=jR 0+2p, DjR= =jR i+1–jR i=2p/N. Отметим, что , как и другие функции в правой части дифференциальных уравнений в этой работе, являются также и функциями информативных параметров y и x. Только для упрощения вида формул они не приведены в списке аргументов в скобках. Параметры y и x зависят от этих аргументов. Зависимости y(jR, zR) и x(jR, zR) использовались как исходные данные в расчетах по (18). При вращении контролируемой детали, как показано на рисунке 1, jR изменялся от 0 до 2p. Вычисление величин искомой функции в пределах одного радиального профиля представляло собой одну итерацию. Для исключения влияния дискретности зависимостей y(jR, zR) и x(jR, zR) внутри итерации было запрограммировано уменьшение шага дискретизации по jR в два раза, то есть удваивалось N, после чего расчеты по алгоритму (18) начинались вновь до тех пор, пока не выполнялось условие

,                          (19)

где j в данном случае – количество удвоений N. Величина (19) выбрана на два порядка большей, чем чувствительность модели к изменениям r.

Нулевое приближение ra при jR=0 было взято как среднее арифметическое между d и L. Очередное приближение после каждой итерации могло быть выбрано, например, в согласии с известным методом стрельбы. Однако свойство устойчивости решения уравнения (16) позволило обойтись при этом выборе без дополнительных вычислений. Это свойство, обнаруженное авторами при компьютерном моделировании, проявляло себя в том, что при нахождении решения по алгоритму (18) отсчеты искомой функции ra все более приближались к решению уравнения (16) с каждым последующим шагом алгоритма (18). Компьютерное моделирование показало, что для достижения предела сходимости достаточно от двух до четырех итераций, причем сходимость процесса была экспоненциальной. Об устойчивости этого решения свидетельствовали и известные критерии устойчивости дифференциального уравнения, например, критерии Гурвица, Пригожина, Ляпунова. Результаты расчетов на разработанной компьютерной модели приведены на рисунке 3. Для более наглядного отображения сходимость показана как величина, равная

,         (20)

где j – порядковый номер итерации, i имеет тот же смысл, что и в (18). После первой итерации величина (20) условно принята равной нулю. На рисунке 3 величина (20) показана отнесенной к одному периоду модельной синусоиды. Для нахождения величины (20), достигаемой при одной итерации, показанные на рисунке 3 величины надо умножить на количество K периодов модельной синусоиды. Результаты получены при следующих величинах параметров модели: d=7 мм, L=35 мм, средний радиус профиля R=10 мм, начальное значение N=10´K. При этом авторская модель имела чувствительность Dr=10–4 мкм к изменениям r. Максимальное количество отсчетов jR i в пределах одного периода модельной синусоиды, определенное программой, было 121. Тогда дискретность уже практически не сказывалась на результатах.

Проведя переход, аналогичный проделанному, но уже от второго из уравнений (7), получаем:

.                       (21)

Для этого уравнения граничное условие находится из (16). Решение уравнения (21) дает профиль сечения измеряемой поверхности плоскостью, в которой перемещается падающий световой луч. Таким образом, ориентация профилей сечений измеряемой поверхности, являющихся решениями дифференциальных уравнений (16) или (21), определяется левыми частями этих уравнений.

Итак, уравнение (16) с граничными условиями (17) имеет единственное решение, когда контролируются зеркально отражающие поверхности вращения, имеющие значительные отклонения от круглости, сравнимые с их средним радиусом в том же радиальном профиле. С помощью описанного алгоритма удалось добиться точного восстановления радиального профиля в рамках использованной физической модели [3]. Ограничения на практике определяются областью применимости физической модели, а также возможностями оптического доступа к контролируемой поверхности и беспрепятственного прохода луча света, отраженного от контролируемой поверхности, до фотоприемника.

По выходной информации, накопленной на каждом шаге сканирования, восстанавливается форма всей поверхности. Один из способов – использование из двух полученных уравнений только уравнения (16). С его помощью на каждом шаге сканирования по оси OZ вычисляются высоты соответствующего радиального профиля. Для решения ограничиваются информацией, накопленной с участков контролируемой поверхности, которые лежат только на одном этом профиле. Однако использование дополнительно к (16) уравнения (21) на порядок уменьшало погрешность восстановления осевого профиля. Это было показано в поставленном авторами эксперименте [4], в ходе которого также проведена успешная проверка полученных формул.

На рисунке 4 изображен оптико-механический блок лабораторного макета, созданного авторами для эксперимента. Пространственная конфигурация блока соответствует схеме на рисунке 1. По краям показаны электрические разъемы. Источник излучения – полупроводниковый лазер с длиной волны 0,78 мкм. Оценки предела суммарной погрешности: Dj=±0,5°, Dy=±0,1°, Dx=±13 мкм. В эксперименте использована специально изготовленная деталь (рис. 5) из алюминиевого сплава.

Ее сканируемая поверхность была обработана на токарном и шлифовальном станках и имела девятый класс шероховатости (Ra от 0,160 до 0,32 мкм включительно). Форма детали образована из цилиндра симметричным стачиванием шести граней. Диаметр – 27,8 мм, расстояние между противолежащими гранями – 26,4 мм. Для восстановления формы радиального профиля использованы алгоритмы и формулы, приведенные в данной работе. Величины параметров в эксперименте: d=10±0,05 мм, L=35 мм, N=300. Результаты показали (рис. 6), что восстановленный профиль в деталях совпадал со сканируемым, при этом погрешность восстановления не превышала 0,04 мм. Она максимум в 40 раз превосходила нижний предел погрешности Dr при идеальной кинематике блока, которая была оценена авторами в другой серии экспериментов на данном приборе, но с остановленной контролируемой деталью. При этом лабораторный макет работал так же, как если бы деталь вращалась, и в итоге получался виртуальный радиальный профиль, свободный от кинематических погрешностей. В результате сделано заключение о том, что погрешность измерений r определялась в эксперименте кинематическими погрешностями поворота контролируемой детали при сканировании.

Таким образом, в статье приведены вывод расчетных формул и алгоритмы получения контурных картин криволинейных поверхностей способом триангуляции с использованием зеркально отраженного зондирующего пучка света. Полученные результаты успешно опробованы на разработанной компьютерной модели и в проведенном эксперименте.

Работа частично выполнялась в рамках НИР «Анализ и синтез световых полей в лазерной метрологии и технологии» (№ гос. регистрации 01910042666) в Самарском филиале Физического института РАН с 2002 по 2004 гг. Авторы благодарны Е. Воронцову за информационную поддержку.

Литература

1. Буцких В.А. Применение слепого разделения сигналов для подавления шумов спеклов в лазерной триангуляции / IX Всерос. молодеж. Самар. конкурс-конф. науч. работ по оптике и лазерной физике: сб. конкурс. докл. (9–13 ноября 2011 г., Самара). М.: ФИАН, 2011. С. 225–231.

2.  Caulier Y., Spinnler K., Arnold M., et al. Automatic detection of surface and structural defects on reflecting workpieces / Photonik International. 2008. no. 2, pp. 30–32.

3. Born M., Wolf E. Principles of Optics: 7th (expanded) edition. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1999, 952 pp.

4. Заякин О.А. Информационно-измерительная система контроля деталей подшипников на основе двумерной лазерной триангуляции: дисс. … к-та тех. наук. Самара: СГТУ, 2005. 178 с.