Программные продукты и системы

Метод виртуальной перспективы был реализован для разработки моделей алгоритмов и процедур вычислительных технологий построения решений размытых задач по каждой координате на проективной плоскости в виде клеточного топологического комплекса [1] и организации компьютинга задачи с учетом информационной динамики объектов среды вычислений. В качестве объекта прикладных исследований рассматривалась задача Коши в рамках размытой абстрактной модели с вероятностной априорной неопределенностью начальных условий и ограничениями среды вычислений, эволюционный оператор которой формально в векторной форме задается в виде системы размытых дифференциальных уравнений

dx/dt=F(t, x, y),                                                       (1)

где x – вектор размытых переменных с вектором функций принадлежности m(х), mÎ[0, 1]; F – вектор правых частей; y – вектор размытых параметров с вектором функций принадлежности m1(х), m1Î[0, 1]; t – нечеткая переменная с функцией принадлежности m¢(t), m¢Î[0, 1]. Начальные условия для системы уравнений (1) задаются вероятностной моделью. Вероятностная мера размытого события AÎR2, задаваемого в проективной плоскости x0t как подмножество точек со скалярными размытыми координатами x и t, связана с функцией принадлежности mА(x) интегралом Лебега–Стильтьеса

P(A)=mА(x)dp,                                                    (2)

где pÎ[0, 1] и mАÎ[0, 1]; A – размытое событие в евклидовом пространстве, определяемое характеристической функцией mА: R2→[0, 1], которая ассоциирует некоторому x в R2 его степень принадлежности mА(x) – подмножеству A.

При компьютерном моделировании поведение системы (1) описывается и отражается на языке информационной модели, в рамках которой задача (1) определяется и задается как дискретная динамическая информационная система, определенная на множестве узлов решеток Z2 и  (см. [1]). В компьютерных системах информационными прототипами среды вычислений и ее элементов являются символьные цепочки и их композиции. Моделирование в виртуальной среде вычислительных систем, с одной стороны, порождает динамику соответствующих цепочек связанных отображений (ЦСО) в вычислительных технологиях [2], а с другой – отражает метамеханизм информационного взаимодействия и взаимосвязи виртуальных объектов среды моделирования в виде состояний динамики ЦСО и реальных состояний имитируемой задачи на узлах решетки Z2 как геометрическом шаблоне модели активной памяти. Для построения ЦСО, соответствующих уравнению (1), использовались следующие виды дискретизации формальных эволюционных операторов, определенных (1):

dx(t)/dt→[x(t+Dt)-x(t)]/Dt,                                  (3)

d2x(t)/dt2→[x(t+2Dt)-2x(t+Dt)+ x(t)]/Dt,

где Dt – шаг дискретизации по размытой переменной.

В рамках компьютерных моделей задачи (1) исследованы две схемы построения ЦСО: первая построена на основе методов Рунге–Кутты, а вторая – на основе методов Адамса. В настоящее время в вычислительных технологиях компьютерного моделирования эти методы наиболее изучены и опробованы. Для размытых задач (1) ЦСО по каждой координате вектора x, с одной стороны, можно рассматривать как множество проекций локальной информационной динамической системы ( , R2) в узлах базовой координатной решетки Z2 (см. [2]), а с другой – как исходные феноменологические модели эволюционных операторов локальной динамики в соседних точках для маршрутных схем алгоритмов вычислительных технологий построения решений системы (1) на основе механизма виртуальной перспективы на узлах решетки Z2 (см. [1]).

По изложенной методологии организации компьютинга задач были проведены вычислительные эксперименты компьютерного моделирования ограниченных задач четырех и шести гравитирующих тел в рамках дискретной модели размытой динамической системы (1).

Приведем пример реализации одной из форм компьютинга для проведения вычислительных экспериментов методом виртуальной перспективы на основе результатов моделирования динамической эволюции объектов космического пространства в рамках ограниченной задачи N – гравитирующих тел, уравнения движения i-го тела которой в системе координат XOYZ задаются в следующем виде [3]:

Здесь xi, yi, zi – компоненты радиус-вектора i-го тела; xi , yi , zi – компоненты вектора скорости i-го тела; ri – расстояние до центра координат; rij – взаимное расстояние между i-м и j-м телами; m0 – масса центрального тела; mi – масса i-го тела.
Система уравнений (4) с начальными условиями
i t i i t i i t i i t i i t i i t i x x y y z z x x y y z z   (5)
формально представляет собой задачу Коши.

При проведении вычислительных экспериментов использовались: единица расстояния – астрономическая единица (а.е.), единица времени – сутки (сут.), единица массы – масса Солнца (Mo). В принятых единицах гравитационная постоянная Гаусса k=0,01720209895. Массы тел: m0=1, m1=3,04043×10-6,  x, y, z, x, y, z. Отображение результатов моделирования и анализа качественных и количественных изменений в динамической эволюции орбит в задаче (4)–(5), влияния ошибок дискретизации (локальных и глобальных), компьютерной редукции, информационной неопределенности и других факторов вычислительных технологий на результаты моделирования осуществлялось в пространстве элементов кеплеровского движения. Между элементами декартова пространства положений и скоростей x, y, z, x , y , z и пространством кеплеровских элементов a, e, i, W,

Поскольку вычислительный эксперимент реализуется в информационной среде компьютерной системы вследствие потери младших разрядов при арифметических операциях (ошибки округления), неадекватной аппроксимации оператора дифференцирования разностным оператором (ошибки метода) и других причин возникает редукция результатов вычислений при имитационном моделировании. Редукция в компьютерных информационных динамических системах – это усвоение части информации, получаемой или вырабатываемой в ходе рекурсивного процесса вычислительного эксперимента. Процесс компьютерной редукции необратим и происходит с повышением энтропии информационной динамической системы, которая всегда является диссипативной системой. Диссипация происходит вследствие рассеивания части информации в виртуальных ячейках активной памяти за счет ошибок округления и ошибок метода.

На примере построения решения задачи 2-х тел (малое тело и Солнце) методом виртуальной перспективы проиллюстрируем процессы компьютерной редукции, их влияние на динамику информационных процессов вычислительных технологий, возможность контроля и управления вычислительным экспериментом. Начальные условия a, e, i для малого тела, границы и шаги дискретизации решеток Z2 по осям проективных плоскостей представлены в таблице 1, интервал интегрирова ния составлял 105 суток. Вычислительный эксперимент проводился в два этапа.
Таблица 1 Значения кеплеровских элементов орбиты малого тела, границы и шаги дискретизации решеток Z2 по осям проективных плоскостей
Элемент
На момент t0 cmin cmax d c a, а.е. 9,089 9,0889999999995 9,0890000000005 10–14 e 0,3755 0,3754999999995 0,3755000000005 10–15 i 6,25 6,2499999999995 6,2500000000005 10–14

На первом этапе решение моделируемой задачи строилось по классическим алгоритмам вычислительной математики (методы Рунге–Кутты и Адамса) с детерминированными начальными условиями n 0Î75,0°±0,0°, B> 5ABL H038 48A:@5B870F88 @5H5B>: Z2 8 ZÆ 2 A>AB02;O;8 16 7=0G0I8E F8D@.

Следует отметить, что разрядная сетка процессора компьютерной системы, на которой была развернута модель вычислительного эксперимента, позволяла без потерь точности кодировать символьные цепочки с 15-16 десятичными знаками.
На рисунке 1 представлены геометрические иллюстрации построенных решений задачи двух тел для кеплеровских элементов a, e, i орбиты малого тела на узлах решетки Z2 на интервале 275 лет. Точное дискретное решение моделируемой задачи (4)–(5) на узлах решетки Z2 показано прерывистой линией, решение, полученное классическим численным интегрированием, – сплошной.

Представленные геометрические образы построенных решений отражают процесс компьютерной редукции численного моделирования задачи (4) при детерминированных начальных данных и жестких условиях проведения вычислительного эксперимента. По численным данным полученных решений на узлах решетки Z2 можно оценить степень влияния компьютерной редукции на эволюционизирующие параметры системы, выявить временные интервалы периодических составляющих этого процесса по каждому из параметров, оценить возможность наличия трендовых составляющих и другие качественные и количественные характеристики вычислительных технологий компьютерного моделирования задачи. Поведение кривых полученных численных решений показывает, что глобальная ошибка численного моделирования обозначенной задачи изменяется не по аддитивному закону накопления локальных ошибок, а имеет сложный нелинейный характер. Это указывает на то, что в рамках классических детерминированных схем численного интегрирования уравнений движения невозможно контролировать глобальную ошибку в вычислительных технологиях численного интегрирования, а тем более использовать ее для коррекции в процессах вычислительного эксперимента.

На следующем этапе исследование процесса компьютерной редукции для предложенной задачи двух тел проводилось с размытыми начальными условиями, то есть при стохастическом задании переменных на размытом подмножестве. В качестве размытой переменной эволюционного оператора задачи (4)–(5) была выбрана истинная аномалия n0. В этом случае решение представляется в виде либо топологического комплекса на узлах размытой решетки Z2, либо статистического ансамбля дискретных стохастических функций. Геометрическая иллюстрация образов таких решений на узлах решетки Z2 для кеплеровских элементов a, e, i показана на рисунке 2.

а графических образах построенных решений можно видеть, что, варьируя начальными данными в области точности разрядной сетки компьютерной системы, можно сгладить влияние компьютерной редукции и в определенном смысле отодвинуть горизонт предсказуемости. Видно, что есть условия, при которых модельные и точное решения сближаются, то есть появилась возможность контролировать вычислительный эксперимент и управлять им. В статистическом и геометрическом смыслах в этом случае получается более близкое к точному (рис. 2) по сравнению с детерминированным случаем (рис. 1) модельное решение. Это решение будет описываться вероятностным способом на размытом подмножестве узлов решетки Z2 в виде топологического комплекса или статистического ансамбля дискретных стохастических функций. Детерминированное решение на таких структурах может определяться и выделяться тремя способами: 1) топологическая инкарнация; 2) метод выделения связанных решений; 3) оператор математического ожидания. При построении решения системы уравнений (4) по означенной схеме проведения вычислительного эксперимента влияние компьютерной редукции уже не носит размытый стохастический характер, так как ошибки компьютерного моделирования в технологиях вычислительного эксперимента случайным образом влияют только на отдельную реализацию оператора взаимодействия f на узлах решетки Zˆ 2 в алгоритмах построения машинного решения (рис. 1), а выделенное и связанное решение из топологического комплекса (рис. 2) – детерминированная функция, а не размытая.

Проиллюстрируем результаты вычислительных экспериментов построения решений системы (4)–(5) для малого тела методом виртуальной перспективы в рамках задачи четырех тел. Начальные условия для кеплеровских элементов орбиты малого тела следующие: a0.  качестве фактора неопределенности начальных условий выбрана истинная аномалия v малого тела, а фактора информационной неопределенности – ограниченность разрядной сетки ячеек памяти и процессора. Компьютерное моделирование динамической эволюции гравитирующей системы тел (4)–(5) проведено для интервала времени ~400 лет (146 000 суток).

Решения задачи Коши (4)–(5) для малого тела строились в кеплеровском пространстве оскулирующих элементов орбиты по каждой координате в виде статистического ансамбля трехмерных дискретных стохастических функций, определенных на размытых узлах решеток

На рисунке 3 представлена графическая визуализация образов решений задачи (4)–(5) в пространстве оскулирующих кеплеровских элементов (a, e, i) тела для размытого и регулярного типов в виде трехмерной графики (вид слева) и плоских проекций – пифограмм (вид справа) образа на проективные плоскости POx, POt, xOt, где х – символическое обозначение элемента (a, e, i) кеплеровской орбиты. Пифограммы, являясь элементами визуальных технологий отражения информации, с одной стороны, выполняют функции научной визуализации в технологиях анализа результатов моделирования, а с другой – когнитивные функции компьютерного моделирования.

В таблице 2 приведены численные значения параметров квантования по осям проективной плоскости кеплеровских элементов орбиты для рассматриваемых случаев с шагом дискретизации по времени dt =100 ACB>:.

Таблица 2 Предельные значения и уровни квантования по осям проективной плоскости элементов кеплеровской орбиты малого тела Элемент Tmin, сут. Tmax, сут. dt, ACB. Smin Smax dS a 0 146000 100 0 15 0,1
e 0 146000 100 0 1 0,01
десь dt  H:0;0 480.
В качестве технологий визуализации результатов решений и анализа использовались трехмерная компьютерная графика и когнитивная компьютерная топография трехмерных образов решений для оскулирующих элементов кеплеровской орбиты [4].

Приведенная на рисунке 3 графическая визуализация результатов моделирования задачи (4)–(5) достаточно хорошо отражает тип и структуру возможных решений, обусловленных как сингулярными фазовыми переходами в задаче (обмен энергией и информацией), так и ограничениями модели, начальных условий и информационной неопределенностью. Проекции образов решений задачи для всех элементов (рис. 3 – вид справа) на плоскость xOt показывают, что эти решения проявляют локальное детерминированное и размытое поведение, для которого характерны как фазовые переходы в вычислительном процессе, обусловленные особенностями эволюционного оператора, алгоритмов и процедур вычислительных технологий моделирования, так и устойчивые области в вычислительном эксперименте. Проекции образов элементов на плоскости POx, POt хорошо иллюстрируют характер поведения возможных решений, а их анализ позволяет определить и выделить два типа возможных решений – перколирующего фрактала и фрактального агрегата. На рисунке 4 показаны графики двух детерминированных решений для (a, e, i): первое получено инкарнацией топологического комплекса по критерию фрактальной связанности D0, а второе – по критерию информационной связанности I. Как видно из рисунка, графики кривых этих решений для данных элементов расходятся, тем самым указывая на то, что вычислительный эксперимент в рамках модели и технологий моделирования выходит за пределы возможностей контроля и управления уже в пределах указанного интервала построения решения задачи.

Сравнение результатов моделирования задачи (4)–(5) методом виртуальной перспективы с аналогичными результатами ее численного решения на основе методов классической вычислительной математики, но без учета неопределенности начальных условий, ограничений вычислительной системы и ряда других факторов показало следующее. Во-первых, в области регулярных движений наблюдается удовлетворительное совпадение: точность метода виртуальной перспективы лучше и интервал интегрирования задачи намного больше. Во-вторых, в области сингулярных фазовых переходов (захват и обмен) классические методы не работают либо дают очень ненадежный прогноз решения, в то же время метод виртуальной перспективы показал на порядки более надежный по времени и точности прогноз.

Обнаруженные в подходах и методах решения обозначенной задачи расхождения позволяют сделать следующие выводы: в рамках классических схем построения вычислительных технологий математического моделирования невозможно учесть неопределенность начальных данных и параметров, особенности модели и технологий вычислительного эксперимента, в то время как метод виртуальной перспективы позволяет реализовать новые формы компьютинга моделирования размытых задач, а приведенные результаты вычислительных экспериментов доказывают его возможности и перспективу.

Более обширные исследования поведения решений обозначенных выше динамических систем на основе компьютинга соответствующих задач и более глубокий анализ большого объема результатов вычислительных экспериментов позволили получить ряд уникальных результатов и сделать определенные выводы, которые в рамках методов и технологий моделирования традиционной вычислительной математики получить невозможно. Во-первых, образы решений размытых систем (1) в условиях ограничений и неопределенности отражают закономерности самосогласованного стремления к критическим режимам в их поведении, которые обладают топологией перколирующего фрактального объекта и фрактального агрегата, образуя мультифрактальный объект в виде топологического комплекса. Во-вторых, компьютинг задач и информационная динамика объектов среды вычислений, обусловленных ограничениями и неопределенностью, обладают свойством самоорганизации (синергетические особенности), то есть определяют те пространственно-временные и информационные условия, при которых процесс моделирования контролируем и управляем. В-третьих, определен механизм перехода системы от регулярной динамики со сложной структурой к размытой – это перемежаемый коллапс неопределенностей, а также ряд других свойств как в поведении моделируемых систем, так и в технологиях компьютинга. В-четвертых, была показана и подтверждена важная закономерность поведения прогностических моделей обратимых динамических систем, которая в рамках теорий традиционной теоретической и вычислительной математики считалась невозможной, а именно: обратимые динамические системы и формы реализации компьютинга в условиях ограничений, модельной замкнутости, обмена информацией и неопределенности порождают необратимые процессы в информационной динамике объектов среды вычислений.

В заключение отметим, что методология метода виртуальной перспективы для разработки вычислительных технологий среды вычислений моделирования размытых задач отражает и определяет ранее неизвестные формы реализации компьютинга. В ней заложены новые основы компьютинга в плане разработки и реализации проработанных и осмысленных моделей вычислений, в которых не предполагается традиционный арифметический стиль работы с числовыми и другими типами данных, характерный для абсолютного большинства существующих вычислительных систем и систем программирования. В этом случае предлагается перейти к иному стилю рассуждений в терминах информационной  динамики объектов компьютерных процессов вычислительных технологий, обусловленных ограничениями и неопределенностью, а их взаимодействие определяется механизмом аппликации в информационной среде систем виртуальной реальности.

Литература

1. Мышев А.В. Метод виртуальной перспективы и моделирование в условиях ограничений и неопределенности // Программные продукты и системы, 2012. № 2. С. 54–61.

2. Мышев А.В. Теория компьютерного восприятия и технологии взаимодействия вычислительного интеллекта с виртуальной средой моделирования // Кибернетика и высокие технологии 21 века: тр. 7-й междунар. науч.-технич конф. (16–18 мая 2006 г., Воронеж, Россия). Воронеж: ВГУ, 2006. С. 497–508.

3. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. 800 с.

4. Мышев А.В. и др. Информационные технологии системного анализа динамики объектов задачи N-тел в условиях неопределенности: тр. регионал. конкурса науч. проектов в обл. естествен. наук. Калуга: «Эйдос». 2003. Вып. 5. С. 9–22.