Программные продукты и системы

Одним из перспективных направлений моделирования сложных систем является использование метода мультифрактальной динамики. В настоящее время разработаны фрактальные подходы для анализа поведения цен финансовых активов на валютных и фондовых биржах, прогнозирования изменения численности населения Земли и для решения многих других задач [1–3].

В основу данных моделей положено описание динамики поведения процессов представленных мультифрактальных кривых. Для этого весь промежуток времени наблюдения разбивается на интервалы с определенными значениями линейного тренда, который характеризует тенденцию изменения исследуемой величины. На каждом интервале для значений временного ряда определяется фрактальная размерность D и устанавливается зависимость тангенса угла наклона линейного тренда и фрактальной размерности исследуемых кривых. В данных моделях учитываются различные параметры, характеризующие устойчивость систем и протекающих в них процессов.

Классический (прямой) способ измерения фрактальной размерности может быть реализован клеточным методом. Однако, как и во всяком методе, связанном с дискретизацией, для повышения точности вычисления фрактальной размерности необходимо существенно увеличивать объем вычислений, поэтому в ряде случаев клеточный метод неудобен для использования.

Разработанный авторами алгоритм предназначен для расчета фрактальной размерности на основе оценки зависимости длины кривой от временного масштаба. Такой способ обеспечивает определение фрактальной размерности с приемлемой точностью и небольшими вычислительными затратами и требует создания соответствующих алгоритмов и комплекса программ.

Описание алгоритма расчета

Пусть заданы: временной ряд Y – упорядоченное множество значений {yi}, i=1, …, N, с временным дискретом ΔT; критерии изменения тренда – пересечение скользящих средних p-го и q-го порядков, а также длительность тренда, не менее заданной – ΔTтр; требуемая точность оценки фрактальной размерности – ε; допустимая вычислительная сложность.

Необходимо провести мультифрактальный анализ заданного временного ряда: разбить множество {yi} на непересекающиеся подмножества {yij} с различными трендами и для каждого подмножества рассчитать фрактальную размерность с требуемой точностью ε и допустимой вычислительной сложностью алгоритма.

В алгоритме при разбиении множества {yi} на непересекающиеся подмножества {yij} границы соседних подмножеств определяются по изменению знака разности скользящих средних p-го и q-го порядков.

В предлагаемом алгоритме используется способ расчета фрактальной размерности на основе оценки зависимости длины фрактальной кривой от временного масштаба. Для этого исходный временной ряд представляется в графическом виде – строится график, на котором по оси абсцисс откладываются временные дискреты i*ΔT, а по оси ординат значения yi.

На рисунке 1 приведен пример колебания цены на нефть в период со 2.01 по 31.12.2008 г.

Для каждого подмножества yij строится ломаная линия, соединяющая значения соседних элементов ряда zi(t), а также линейный тренд ziтр(t). Линейный тренд представляет собой уравнение регрессии на множестве yij:

zi(t) = ziтр(t) + ziотк(t),                                       (1)

где ziотк(t) – функция отклонения значения ломаной zi(t) от линейного тренда.

На рисунке 2 представлено построение линейных трендов для графика изменения цены на нефть в период со 2.01 по 31.12.2008 г.

Как известно, фрактальная размерность характеризует изрезанность кривых линий. В частности, для временного ряда это ломаная линия на временном графике, соединяющая соседние (по времени) значения элементов массива входных данных. Обозначим ее Lo.

Длина ломаной кривой является одним из параметров, косвенно характеризующих изрезанность.

Для уменьшения изрезанности кривой можно использовать процедуру сглаживания, суть которой в замене фактических исходных данных их средними значениями, вычисляемыми с учетом соседних значений временного ряда.

Назовем множество соседних точек, участвующих в одной процедуре усреднения, группой усреднения.

Существуют два основных способа группирования данных для усреднения: группы пересекаются между собой (так, например, в техническом анализе – вычисление скользящих средних) и группы не пересекаются между собой.

В предлагаемом алгоритме используется второй способ. В этом случае можно перейти к групповому описанию входного массива данных. Группу данных можно заменить на одного представителя (со средними значениями) – групповой элемент и получать ломаную линию, соединяющую групповые элементы, а также использовать длину этой ломаной (lгруп.) в качестве косвенного параметра изрезанности.

На рисунке 3 показаны ломаные линии, отражающие цену на нефть в период со 2.01 по 7.07.2008 г. при степени группирования 2, 4, 6.

В данной задаче для оценки фрактальной размерности выбирают не непосредственно этот показатель, а скорость его изменения при увеличении степени группирования входных данных.

Таким образом, для расчета фрактальной размерности изрезанной кривой необходимо на основе группового усреднения задать процедуру ее распрямления и проанализировать скорость, с которой происходит это распрямление, то есть изменяется длина кривой в зависимости от степени группирования.

Для этого строится гистограмма L для степени группирования 1, 2, …, k. Обычно гистограмма представляет собой нелинейную убывающую функцию. На рисунке 4 показан вид этой функции для графика изменения цены на нефть в период со 2.01 по 7.07.2008 г.

Учитывая вид гистограммы, а также то, что при расчете фрактальной размерности используется экспонента (логарифм натуральный), гистограмму целесообразно аппроксимировать функцией вида L¢=Lo*e-α (a определяется из критерия min(L¢–Lфакт.)).

Опыт показывает, что во многих рассматриваемых случаях коэффициент связан с фрактальной размерностью D простой зависимостью a=2–D.

Таким образом, L=Lo* e2-D. Или, прологарифмировав, получим D=lnLo–lnL+2.

При реализации такого подхода к определению фрактальной размерности требуется нормирование значений первично рассчитанной фрактальной размерности по результатам, полученным для специально сформированного стохастического временного ряда. Обычно это осуществляется следующим образом.

Пусть задан временной ряд на i-м временном участке yi(t). Для исследуемого временного ряда определяются минимальное ymini, максимальное ymaxi, а также на основе оценки зависимости длины фрактальной кривой от временного масштаба первичная фрактальная размерность D0i. Далее формируется специальный временной стохастический (нормировочный) ряд со значениями, лежащими в интервале (Ymini; Ymaxi), и для него на основе оценки зависимости длины фрактальной кривой от временного масштаба определяется фрактальная размерность Dстохi.

На рисунке 5 показан стохастический ряд для данных цены на нефть в период со 2.01 по 7.07.2008 г.

Фактическая фрактальная размерность (после нормировки) заданного временного ряда определяется [5] по формуле

Di=D0i–ΔDi,                                                              (2)

где ΔDi=Dстохi–1,5.

Часто исследуемые временные ряды имеют ярко выраженный линейный тренд и область изменения значений данных рядов можно описать системой

ymin(t)=ymin0+k*t;  

ymax(t)=ymax0+k*t,                                              (3)

где k=const – тангенс угла наклона линейного тренда.

В этом случае нормировочный временной ряд должен также формироваться в области (3), а не в интервале (Ymin; Ymax). В противном случае в расчете фрактальной размерности могут возникнуть существенные ошибки.

Автоматически определять область (3) и формировать непосредственно в ней нормировочный ряд затруднительно, поэтому предлагается следующий новый алгоритм, учитывающий необходимость приведения в соответствие областей изменения заданного и специально сформированного стохастического ряда.

Сначала во временном ряду выявляется линейный тренд yтрi(t), то есть значения временного ряда на каждом i-м участке yi(t) представляются в виде двух составляющих – линейной (трендовой) yтрi(t) и отклонением yотi(t). Как известно, фрактальная размерность характеризует изрезанность кривой, то есть фрактальная размерность временного ряда в основном содержится в отклонении yотi(t). Поэтому для расчета фрактальной размерности далее линейный тренд yтрi(t) исключается. Затем определяются максимальное ymax от и минимальное ymin от значения отклонения yотi(t) согласно (3), и в этом интервале формируются значения стохастического нормировочного временного ряда. На следующем этапе вычисляется фрактальная размерность с использованием выражений (1) и (2).

Представим алгоритм данной задачи.

1.     Задание исходных данных:

–      входные данные (массив значений временного ряда);

–      условно постоянные (временная дискрета (масштаб), порядок скользящей средней, допустимое изменение скользящей средней, допустимая длина тренда, степень группирования).

2.     Последовательное определение трендовых участков (разбиение исходного множества на трендовые участки):

–      проверка первого критерия: изменение наклона скользящей средней p-го порядка для двух соседних элементов массива больше заданной величины;

–      проверка второго критерия: длина предварительно определенного (вычисленного) тренда больше допустимой длины временного интервала;

–      расчет параметров линии тренда: определение границ линейного тренда; вычисление коэффициентов линейного тренда y=kt+b; вычисление ширины трендового канала.

3.     Формирование стохастического ряда внутри трендового канала.

4.     Расчет фрактальной размерности:

–      расчет длин огибающих временного ряда для различных степеней группирования для исходного и стохастического рядов;

–      расчет первичной фрактальной размерности: логарифмирование длин огибающих и степеней группирования исходного и стохастического рядов; расчет угла наклона линии регрессии для множества логарифмических длин огибающих исходного и стохастического временных рядов при различных степенях группирования;

–      нормировка первичной фрактальной размерности исходного временного ряда.

5.     Вывод полученного результата.

Данный алгоритм реализован в среде Delphi в виде комплекса программ.

При исключении линейного тренда точность расчета фрактальной размерности возрастает от 0 до 15–20 % в зависимости от угла наклона тренда, соотношения ширины ценового канала ymax от– –ymin от и размаха временного ряда Ymin–Ymax.

Подводя итог, отметим, что предложенный в данной работе алгоритм расчета фрактальной размерности временных рядов использует процедуру построения трендовых каналов, которая является основным элементом классического технического анализа финансовых рынков. С одной стороны, это делает более точным расчет фрактальной размерности, с другой – говорит о сближении фрактальной теории и практики трейдерской деятельности, что повышает практическую значимость данного алгоритма.

Литература

1.   Holder M., Tsvetkov I. Analysis of the Dow-Jones Idustrial Average (DJIA): Index Dynamics by Fractal Analysis Methods. Proc. of Vth Intern. Congr. of math. modeling. Dubna. 2002. Vol. 2. 150 p.

2.   Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель роста народонаселения // Вестн. РУДН. 2010. № 2 (2). С. 132–138 (Математика. Информатика. Физика).

3.   Kudinov A.N., Tsvetkov V.P. and Tsvetkov I.V. Catastro­phes in the Multi-Fractal Dynamics of Social-Economic Systems. Russian Journ. of Math. Phys., 2011, Vol. 18, no. 2, pp. 149–155.

4.   Кудинов А.Н., Михеев С.А., Цветков В.П., Цветков И.В. Нелинейная фрактальная модель валютного кризиса // Программные продукты и системы. 2008. № 4. С. 117–119.

5.   Гуляева О.С., Цветков И.В. Определение фрактальной размерности на основе измерения длин графиков временных рядов в различных временных масштабах // Вестн. ТГУ. 2007. № 17 (45). С. 155–160 (Прикладная математика).