Чусова Е.В. (lioness@pop3.ru) - Тверской государственный университет | |
Ключевые слова: блок-схема., фазовый портрет, автономная система, программная реализация, универсальный метод, устойчивость |
|
Keywords: flowchart, phase portrait, autonomous system, program realization, universal method, stability |
|
|
Движение (равновесие) механической системы можно найти в результате решения системы дифференциальных уравнений, которая может быть нелинейной и иметь высокий порядок. Нахождение ее решений, как правило, сопряжено с большими трудностями. На практике для исследования устойчивости решения нелинейных систем часто применяют метод исследования устойчивости соответствующих линейных систем.
К методу Ляпунова по первому приближению относятся такие способы решения, которые приводят к непосредственному исследованию возмущенного движения и в основании которых лежит анализ общих или частных свойств решений дифференциальных уравнений. Суть метода заключается в исследовании корней характеристического уравнения. Причем характеристическое уравнение задается в виде det(B‑lE)=0, где B – матрица коэффициентов системы, E – единичная матрица. Решение данного уравнения позволяет найти корни l. На основании общего решения задачи о возмущенном движении линейной системы можно сделать следующие выводы об устойчивости. 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, li<0, i=1, 2, …, n, то линейная система асимптотически устойчива. 2. Если среди корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, li>0, i=k, линейная система неустойчива. 3. Если в характеристическом уравнении нет корней с положительной вещественной частью, однако имеются корни с вещественными частями, равными нулю, li=0, i=1, 2, …, p£n, то линейная система просто устойчива, а l – точка покоя, центр [2]. Развитие компьютерной техники привело к необходимости автоматизации ее средствами анализа устойчивости. Это связано с тем, что процесс приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения проходит на компьютере, на основе компьютерных технологий строятся системы автоматического управления и автоматического регулирования. Отсюда возникает необходимость анализа устойчивости непосредственно в процессе компьютерного решения. В настоящей статье представлены программная реализация исследования устойчивости решения линейных систем в Maple 12 с помощью метода Ляпунова по первому приближению, а также построение фазовых портретов. Блок-схема программы приведена на рисунке 1. Алгоритм программы: with(LinearAlgebra); with(DEtools); printlevel := 0; a := 0; b := 1; c := -Pi^2; d := 0; «Система уравнений имеет вид»; px := a*x(t)+b*y(t); py := c*x(t)+d*y(t); 'dx/dt' = px; 'dy/dt' = py; sys := diff(x(t), t) = px, diff(y(t), t) = py; if autonomous({sys}, [x(t), y(t)], t) = true then print(«Данная система является автономной») else print(«Данная система является неавтономной») end if;
phaseportrait([sys], [x(t), y(t)], t = -10 .. 10, [[0, 1, -2], [0, -3, -3], [0, -2, 4], [0, 5, 5], [0, 5, -3], [0, -5, 2], [0, 5, 2], [0, -1, 2]], x = -30 .. 30, y = -20 .. 20, stepsize = .1, colour = blue, linecolor = black); «Матрица коэффициентов имеет вид»; A := Matrix([[a, b], [c, d]]); 'A' = A; «Характеристическое уравнение вида: det(A-λ*E) =0,»; B := Determinant(A-lambda*Matrix(2, 2, shape = identity)); B = 0; «Решение данного уравнения позволяет найти собственные числа λ»; k := solve(Determinant(A-lambda*Matrix(2, 2, shape = identity)) = 0, lambda); «Вещественные и мнимые части собственных чисел λ имеют вид»; havePositive := false; haveZero := false; ind := 0; for i in k do ind := ind+1; re := evalc(Re(i)); im := evalc(Im(i)); print(('Re')(ind) = re, ('Im')(ind) = im); if evalhf(re) > 0 then havePositive := true elif evalhf(re) = 0 then haveZero := true end if end do; if havePositive then print(«Таким образом, невозмущенное движение исходной нелинейной системы неустойчиво.») elif haveZero then print(«Таким образом, λ точка покоя — центр.») else print(«Таким образом, невозмущенное движение исходной нелинейной системы устойчиво в обычном смысле.») end if; Для наглядности рассмотрено линейное уравнение свободных гармонических колебаний:
С учетом того, что l=4 м, данное уравнение сведено к системе
В результате решения поставленной задачи выявлено следующее: данная система является автономной; фазовый портрет имеет вид, представленный на рисунке 2; имеет место орбитальная устойчивость решения в любой момент времени, решение основной системы тоже устойчиво. Сделанный вывод полностью согласуется с расчетами, выполненными в работе [3]. Программа написана для исследования устойчивости системы методом Ляпунова по первому приближению с последующим выявлением свойств решения: устойчиво, неустойчиво, будет ли орбитально устойчиво для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение динамических механических систем. Данный метод является эффективным средством исследования устойчивости и стабилизации разностных систем, а также систем с последействием. Бесспорное преимущество этого метода в том, что систему дифференциальных уравнений можно исследовать на устойчивость не интегрированием, а построением специальной функции с определенными свойствами, зависящей от правых частей рассматриваемой системы. В заключение отметим, что разработанные алгоритм и методика автоматизации позволяют исследовать линеаризованную систему на устойчивость, осуществлять проверку системы на автономность, а также строить фазовый портрет. А это, в свою очередь, облегчает процедуру получения расчетов для определения динамической устойчивости деформируемых систем. Литература 1. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 879 с. 2. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. М.: Машиностроение, 1987. 464 с. 3. Кудинов А.Н., Катулев А.Н., Кузнецов А.Ю. Исследование устойчивости автономных нелинейных динамических систем // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: матер. XVI Междунар. симпоз. М., 2010. С. 110–112. |
http://swsys.ru/index.php?id=3330&lang=%E2%8C%A9%3Den&like=1&page=article |
|