Программные продукты и системы

Субриманова геометрия является естественным языком теории управления [1]. На римановом многообразии касательный вектор к кривой может быть любым. В субримановом случае он должен лежать в определенном подпространстве. Совокупность всех этих подпространств называется распределением.

Такое обобщение римановой геометрии имеет многочисленные приложения в различных областях науки и техники. Например, изопериметрические проблемы, такие как задача Дидоны, связаны с динамикой частиц в магнитном поле [2]. Задачи на группе вращений трехмерного пространства имеют приложения к задачам ориентации твердого тела, когда, например, вектор угловой скорости не покидает некоторую двухмерную плоскость [3]. Решения задач на специальных унитарных группах SU(2) и SU(3) используются в управлении квантовыми двухуровневыми и трехуровневыми системами [4, 5]. Задачи об эластиках Эйлера, оптимальном движении колесного робота и о восстановлении поврежденных изображений вариационным методом могут быть сформулированы как соответствующие задачи на группе движений евклидова пространства [1, 6, 7]. Многие механические задачи с неголономными ограничениями допускают субриманово описание, например, задача о качении шара по плоскости [6]. Помимо этого, с помощью субримановой геометрии могут быть получены аппроксимации нелинейных систем управления, сохраняющие свойство управляемости [8], которые находят применение, к примеру, при управлении колесным роботом с прицепами [9].

В этой статье рассматриваются субримановы структуры на специальной ортогональной группе SO(3) и специальной линейной группе SL(2):

Распределение на этих группах задается как линейная оболочка пары независимых векторных полей span{f1, f2} [10], а параметризация геодезических получается как решение соответствующей задачи оптимального управления:

            (1)

где q=q(t) – кривая на группе; ui – управления; fi(q) – левоинвариантные векторные поля.

Рассматриваемые субримановы структуры возникают в задачах восстановления изображений, а также в задачах управления вращением твердого тела в пространстве.

Для исследования поставленной задачи используются принцип максимума Понтрягина и численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Гамильтонова система принципа максимума Понтрягина

В работе [10] описана классификация левоинвариантных субримановых задач (1) на трехмерных группах Ли. Показано, что основное семейство таких задач в некотором каноническом репере {f0, f1, f2} удовлетворяет условиям [f1, f0]=(sina+ +cosa)f2, [f2, f0]=(sina–cosa)f1, [f2, f1]=f0, где [fi, fj] – коммутатор векторных полей; параметр aÎ(0, p).

Из принципа максимума Понтрягина [1] получена гамильтонова система дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют оптимальные траектории q(t) в задаче оптимального управле- ния (1):

                                              (2)

                                      (3)

Здесь g, c – сопряженные переменные принципа максимума Понтрягина.

Запишем в координатах дифференциальное уравнение (3) для следующих случаев.

1.     Случай  соответствует группе SO(3), которая параметризуется кватернионом единичной длины (q0, q1, q2, q3). Получим:

2.     Случай  соответствует группе SLh(2), которая задается матрицами  с единичным определителем. Получим:

3.     Случай соответствует группе SLe(2), которая задается матрицами  с единичным определителем. Получим:

Из-за высокой сложности гамильтоновой системы (2), (3) для ее решения и исследования необходимо применение компьютерных методов.

Интерфейс для вычисления и исследования геодезических

Для численного интегрирования гамильтоновой системы (2), (3) использовалась программная среда Wolfram Mathematica [10]. Соответствующие функции вычисления геодезических для каждой субримановой задачи были запрограммированы и объединены в общий интерфейс.

Входными параметрами интерфейса являются переменные a, g0, c0, t1, которые задаются с помощью управляющих ползунков. Выходными параметрами являются значение вектора сопряженных переменных в конечной точке g(t1), c(t1), график проекции геодезической на фазовую плоскость маятника (g, c)(t), tÎ[0, t1], значение конечной точки в некоторых координатах (для SO(3) компоненты кватерниона q0, q1, q2, q3, а для SL(2) компо- ненты матрицы a, b, c, d) и проекция геодезических (в случае SO(3) на сферу x2+y2+z2=1, а в случае SL(2) – на плоскости (a, b) и (c, d)).

Интерфейс удобен как средство компьютерного исследования семейства задач оптимального управления (1), он может использоваться и математиками, и инженерами, работающими с приложениями этих задач в обработке изображений и механике.

Примеры графиков, иллюстрирующие работу интерфейса, приведены на рисунках 1–4.

В заключение отметим, что основными результатами данной работы являются гамильтонова система (2), (3) принципа максимума Понтрягина для субримановой задачи (1), координатное представление системы (2), программный интерфейс для исследования субримановой задачи (1).

Разработанный интерфейс целесообразно использовать при  изучении субримановых структур на трехмерных группах Ли. Изображения геодезических и их проекций позволяют предположить наличие дискретных симметрий (отражений) в этих задачах. При разных значениях параметра a можно наблюдать разное качественное поведение геодезических во времени, например, асимптотическое поведение, ограниченность, наличие точек возврата и огибающих в проекции. Применяя интерфейс, можно сравнивать свойства геодезических для разных классов задач (эллиптического и гиперболического случаев для группы SL(2)). Эта информация будет полезной для последующего изучения рассматриваемых задач.

В дальнейшем планируется математическое исследование субримановых структур на трехмерных группах Ли: параметризация геодезических, описание симметрий экспоненциального отображения и соответствующих множеств Максвелла для оценки верхней границы времени разреза и первого сопряженного времени. Это позволит дополнить программный интерфейс функциями управления оптимальными траекториями, которые будут использованы в задачах восстановления изображений и управления вращениями твердого тела в пространстве.

Литература

1.     Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005. 392 с.

2.     Agrachev A.A., Gauthier J.-P.A. On the Dido problem and plane Isoperimetric problems. Acta Applicandae Mathematicae, 1999, no. 57, pp. 287–338.

3.     Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 408 с.

4.     Boscain U., Mason P. Time minimal trajectories for a spin ½ particle in a magnetic field. Journ. of Mathematical Physics. 2006, no. 47.

5.     Boscain U., Chambrion T., Sigalotti M. Nonisotropic 3-le­vel quantum systems: complete solutions for minimum time and minimal energy. Discrete and Continuous Dynamical Systems-B. 2005. Vol. 5. Iss. 4, pp. 957–990.

6.     Jurdjevic V. Geometric Control Theory. Cambridge Uni­versity Press, 1997. 510 p.

7.     Сачков Ю.Л., Ардентов А.А., Маштаков А.П. Параллельный алгоритм и программа восстановления изофот поврежденных изображений // Программные системы: теория и приложения. 2010. Т. 1. № 1. С. 3–20.

8.     Agrachev A.A.. Sarychev A.V. Filtrations of a Lie algebra of vector fields and the nilpotent approximation of controllable sys­tems. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1987. Vol. 295. no. 4, pp. 777–781.

9.     Маштаков А.П.. Алгоритмическое и программное обеспечение решения конструктивной задачи управления неголономными пятимерными системами // Программные системы: теория и приложения. 2012. Т. 1. № 3. C. 3–29.

10.  Agrachev A., Barilari D. Sub-Riemannian structures on 3D Lie groups. Journ. of Dynamical and Control Systems, 2012, Vol. 18, pp. 21–44.

11.  Wolfram Mathematica 8, URL: http://www.wolfram.com/ mathematica/ (дата обращения: 13.10.2012).