Усков А.А. (prof.uskov@gmail.com) - Российский университет кооперации, г. Мытищи, Россия, доктор технических наук, Киселев И.А. () - Российский университет кооперации, г. Мытищи, Россия, Аспирант | |
Ключевые слова: нечеткие, неопределенность, комплексные числа, нечеткая логика, экономический анализ |
|
Keywords: fuzzy numbers, uncertainty, complex numbers, fuzzy logic, economic analysis |
|
|
Аппарат нечеткой логики широко используется при математическом описании сложных систем в условиях неопределенности, позволяя формализовывать знания, представленные в качественной форме, и не требуя выполнения предпосылок применимости теории вероятностей [1–3]. Нечеткие числа – нечеткие переменные, определенные на числовой оси, то есть нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности μA(x)Î[0, 1], где x – действительное число, то есть xÎR [2, 3]. Нечеткие числа LR-типа – это разновидность нечетких чисел специального вида, то есть задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними [2, 3]. Функции принадлежности нечетких чисел LR-типа задаются с помощью не возрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительных переменных L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам: а) L(–x)=L(x), R(–x)=R(x); б) L(0)=R(0). Пусть L(x) и R(x) – функции LR-типа. Унимодальное нечеткое число А с модой а (то есть μA(a)=1) c помощью L(x) и R(x) задается следующим образом: μA(x)= где а – мода; a>0, b>0 – левый и правый коэффициенты нечеткости. Таким образом, при заданных L(x) и R(x) нечеткое число задается тройкой (а, a, b). Предположим, имеются нечеткие числа LR-типа Арифметические операции над нечеткими LR-числами определяются следующим образом: (m, a, b)LR+(n, g, d)LR=(m+n, a+g, b+d)LR, (m, a, b)LR×(n, g, d)LR=(mn, an+gm, bn+dm)LR,
–(m, a, b)LR= (–m, b, a)LR, (m, a, b)–1LR= Нечеткое число Теорема. Пусть имеются симметричные нечеткие числа LR-типа: Тогда арифметические операции над симметричными нечеткими числами LR-типа Доказательство. Сравним результаты арифметических операций над нечеткими числами
a+b=(m+n)+j(a+g). Таким образом, С учетом того, что для нечетких чисел m×n>>a×g, в практических расчетах можно считать a×b»m×n+j(m×g+n×a). Таким образом, Таким образом, – С учетом того, что для нечетких чисел
Теорема доказана. На рисунке показана графическая иллюстрация выполнения арифметических операций сложения и вычитания над нечеткими числами на комплексной плоскости. Как известно, широко распространенные системы компьютерной математики (MATLAB, MathCAD, Maple и др.) содержат средства, позволяющие выполнять арифметические операции над комплексными числами, причем как в численном, так и в символьном виде. В то же время указанные системы компьютерной математики в своей стандартной комплектации не содержат средства выполнения арифметических операций над нечеткими числами. Приведенная ранее теорема поз- воляет сводить арифметические операции над симметричными нечеткими числами LR-типа к арифметическим операциям над комплексными числами. В качестве примера рассмотрим расчет чистого приведенного дохода в условиях неопределенности [5]. Предположим, что поступления от инвестиционного проекта
Для расчета комплексным методом согласно доказанной теореме необходимо произвести следующие действия: – перейти от нечетких чисел к комплексным: – произвести вычисления по формуле – осуществить обратный переход от комплексных чисел к нечетким:
Литература 1. Усков А.А., Кузьмин А.В. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. М.: Горячая Линия–Телеком, 2004. 2. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000. 3. Круглов В.В., Усков А.А. Два подхода к самоорганизации базы правил системы нечеткого логического вывода // Информационные технологии. 2006. № 2. С. 14–18. 4. Берд Дж. Инженерная математика. М.: Додэка-XXI, 2008. (Сер. Карманный справочник). 5. Кучарина Е.А. Инвестиционный анализ. СПб: Пи- тер, 2006. |
http://swsys.ru/index.php?id=3487&lang=%E2%8C%A9%3Den&page=article |
|