Одной из основных целей инвестиционной деятельности является достижение наилучших результатов капиталовложений, поэтому особое место отводится правильной оценке эффективности инвестиционного проекта (ИП). Реализация большинства ИП требует привлечения заемного капитала. В связи с этим весьма актуальной представляется задача принятия решений по наиболее эффективному использованию заемных средств. Для ее решения был разработан специализированный программный пакет «Анализ эффективности инвестиционных проектов с привлечением заемных средств» (Свид. о гос. регистр. прогр. для ЭВМ № 20126144635 от 24.05.2012, авторы: А.А. Усков, О.В. Балашов, И.А. Киселев).

Под задачей управления заемными средствами в настоящей статье понимается совокупность взаимосвязанных задач: оптимальный выбор ИП, его параметров и условий кредита для его финансирования из множества допустимых. Отметим, что оптимальное решение указанных задач может быть найдено для них только совместно, так как важны не только показатели эффективности ИП, но и стоимость кредита для его реализации, например, высокоэффективный ИП совместно с дорогим кредитом может оказаться менее эффективным по сравнению с низкоэффективным ИП, под который имеется дешевый кредит.

Инвестиционная деятельность всегда ведется в условиях неопределенности: точно не известны будущие денежные поступления от реализации ИП, индекс инфляции и некоторые другие показатели. В рассматриваемом программном продукте неопределенность учитывается путем введения в расчетные формулы нечетких переменных в виде нечетких чисел LR-типа, параметры которых должны быть оценены предварительно, например экспертным методом. Использование нечетких чисел LR-типа позволяет существенно упростить расчетные формулы.

С помощью разработанного программного пакета можно в условиях неопределенности нечеткого характера оценивать следующие показатели эффективности ИП:

–      степень устойчивости ИП – показывает его финансовую реализуемость, а именно, на сколько процентов поступления от ИП будут больше, чем требуемые платежи по кредиту, полученному под реализацию данного ИП;

–      наименьший срок погашения кредита – время погашения кредита для случая, когда все поступления от ИП идут на погашение кредита;

–      чистый приведенный доход – доход с учетом оттока денежных средств и инфляции;

–      внутренняя норма доходности – параметр, показывающий, при какой процентной ставке по кредиту чистый приведенный доход от ИП будет равен 0.

Рассмотрим математическое обеспечение расчета чистого приведенного дохода.

Постановка задачи

Предположим, что ИП требует однократного первоначального  вложения капитала в сумме K. Данная сумма получена в кредит под R процентов годовых на MКР месяцев. Все платежи равные (аннуитетные), и разрешено досрочное погашение кредита. Сумма платежа по кредиту в m-м месяце Ym определяется формулой

(1)

,

где S – общая сумма долга, подлежащая погашению [1].

Заметим, что формула (1) является приближенной, так как в ней используется приближенный пересчет годовой процентной ставки в месячную (R/12), в то же время ввиду своей выгодности для кредиторов именно эта формула наиболее часто используется на практике [1].

Нечеткие числа LR-типа – это разновидность нечетких чисел специального вида, задаваемых по определенным правилам [2, 3]. Функции принадлежности нечетких чисел LR-типа задаются с помощью невозрастающих четных неотрицательных действительных функций действительного аргумента L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам: 1) L(x)≥0, R(x)≥0; 2) L(–x)=L(x), R(–x)=R(x); 3) невозрастание на интервале (0,+∞); 4) L(0)=R(0)≤1.

Пусть L(x) и R(x) – функции LR-типа. Функция принадлежности унимодального нечеткого числа А с модой а c помощью L(x) и R(x) задается следующим образом:

где а – мода; a>0, b>0 – левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(x) и R(x) нечеткое число LR-типа определяется тройкой (а, a, b).

Пример функций L(x) и R(x):

, ,

где p – положительная константа.

Текущие денежные поступления в m-м месяце от ИП заданы нечеткими числами LR-типа: .

Задан также индекс инфляции в m-м месяце в виде нечеткого числа LR-типа .

Определены функции L(x) и R(x).

Длительность поступления средств от ИП – N, то есть Pm=0 при m>N.

Требуется определить чистый приведенный доход ИП в нечетких условиях.

Расчет чистого приведенного дохода

Рассмотрим вначале случай, когда поступления от ИП и индекс инфляции в m-м месяце точно известны и определяются четкими числами Pm и Im.

Формула для расчета чистого приведенного дохода имеет вид

                         (2)

где  – коэффициент дисконтирования с учетом инфляции в m-м месяце.

Коэффициент дисконтирования выбирается таким образом, чтобы привести стоимость к ценам на момент получения кредита, то есть чистый приведенный доход показывает поступления от ИП в ценах на момент получения кредита под ИП.

Рассмотрим случай, когда текущие денежные поступления от ИП и индекс инфляции в m-м месяце заданы нечеткими числами LR-типа:

 и  соответственно.

Формула для определения чистого приведенного дохода в данном случае имеет вид

                         (3)

Сначала определим значение коэффициента дисконтирования:

.                                                      (4)

Для этого докажем утверждение о возведении нечеткого числа в целую положительную степень.

Утверждение. Пусть  – нечеткое число LR-типа, тогда при m>0 целая положительная степень n нечеткого числа определяется формулой

.                         (5)

Доказательство.

Согласно формуле умножения нечетких чисел LR-типа [2, 3] для нечетких чисел =(m, a, b)LR и =(n, g, d)LR при m>0, n>0 можно записать:

(m, a, b)LR×(n, g, d)LR=(mn, an+gm, bn+dm)LR.      (6)

Используя формулу (6), получим:

                                                      

                    (7)

Предположив, что выражение (5) верно, будем иметь

.      (8)

С другой стороны, , используя формулы (5) и (6), также приходим к выражению (8).

Таким образом, если верна формула (5), то верна и формула (8). Последнее утверждение совместно с формулой (7) на основе математической индукции доказывает правильность форму- лы (5) [4].

Утверждение доказано.

Согласно формуле нахождения обратного нечеткого числа LR-типа для  [3]

.                                              (9)

Воспользовавшись формулами для определения степени нечеткого числа (5) и обратного для нечеткого числа (9), получим

               (10)

Теперь перейдем к определению

.

Воспользовавшись формулой умножения нечетких чисел (10), получим

(11)

Подставляя формулу (10) в формулу (11), окончательно получим

,                                      (12)

где ,

,

.

Формула (12) позволяет рассчитать чистый приведенный доход, получаемый от инвестиционного проекта, использующего заемные средства, в случае, когда поступления от инвестиционного проекта и индекс инфляции заданы нечеткими числами LR-типа.

Подытоживая, отметим, что в статье описан программный пакет «Анализ эффективности ИП с привлечением заемных средств». Получена расчетная формула, позволяющая определять чистый приведенный доход в нечетких условиях на основе арифметики нечетких чисел LR-типа.

Для определения чистого приведенного дохода ИП в нечетких условиях можно использовать также комплексный или матричный метод выполнения операций над нечеткими числами LR-типа, что позволит упростить вычисления при использовании систем компьютерной математики [5].

Результаты исследования могут быть полезны в практике инвестиционного анализа.

Литература

1.     Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2000. 400 с.

2.     Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000. 352 с.

3.     Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта; [под ред. Д.А. Поспелова]. М.: Наука, 1986. 312 c.

4.     Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001. 568 с.

5.     Усков А.А., Киселев И.А. Комплексный и матричный методы выполнения арифметических операций над нечеткими числами // Управление большими системами. М.: ИПУ РАН, 2012. Вып. 40. С. 96–107.

6.     Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990. 288 с.

7.     Кучарина Е.А. Инвестиционный анализ. СПб: Питер, 2006. 160 с.

8.     Непомнящий Е.Г. Инвестиционное проектирование. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003. 262 с.

9.     Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. М.: ЭдиториаЛ. УРСС, 2000. 192 с.

10.  Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применение. М.: Физматлит, 2007. 464 с.

11.  Усков А.А., Кузьмин А.В. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. М.: Горячая Линия–Телеком, 2004. 143 с.

References

1.  Chetyrkin E.M.,  Finansovaya matematika  [Financial math.], Moscow, Delo, 2000, 400 p.

2.  Altunin A.E., Semukhin M.V.,  Modeli i algoritmy prinyatiya resheny v nechetkikh usloviyakh  [Models and algorithms for decision making under fuzzy conditions], Tyumen, Tyumen State Univ., 2000, 352 p.

3.  Pospelov D.A.,  Nechetkie mnozhestva v modelyakh upravleniya i iskusstvennogo intellekta  [Fuzzy sets in control mod-els and artificial intelligence], Moscow, Nauka, 1986, 312 p.

4.  Kurant R., Robbins G.,  Chto takoe matematika?  [What is mathematics?],  Moscow,  Moscow Center for Continuous Math. Education, 2001, 568 p.

5.  Uskov A.A., Kiselev I.A., Upravlenie bolshimi sistemami, [Management of large systems] , Moscow, IСS RAS, 2012, Vol. 40, pp. 96–107.

6.  Dyubua D., Prad A., Teoriya vozmozhnostey. Prilozheniya k predstavleniyu znaniy v informatike [Possibility theory. Applianc-es to representation knowledge in informatics], Moscow, Radio i svyaz, 1990, 288 p.

7.  Kucharina E.A.,  Investitsionny analiz  [Investment analy-sis], St. Petersburg, PITER, 2006, 160 p.

8.  Nepomnyashchy E.G.,  Investitsionnoe proektirovanie  [In-vestment project development], Taganrog, Taganrog State Univ. of Radioengineering, 2003, 262 p.

9.  Pytyev Yu.P.,  Vozmozhnost. Elementy teorii i primeneniya [Possibility. The elements of theory and appliance], Moscow, Edi-toriaL, URSS, 2000, 192 p.

10.  Pytyev Yu.P.,  Vozmozhnost kak alternativa veroyatnosti. Matematicheskie i empiricheskie osnovy, primenenie  [Possibilities as the alternative of probability. Math and  empiric  basics,  appli-ance], Moscow, Fizmatlit, 2007, 464 p.

11.  Uskov A.A., Kuzmin A.V.,  Intellektualnye  techno-logii upravleniya. Iskusstvennye neyronnye seti i nechetkaya logika [Intelligent management engineering. Artificial neural networks and fuzzy logics], Moscow, Goryachaya Liniya–Telekom, 2004, 143 p.