Программные продукты и системы

В настоящее время существует множество агрегатов, в которых в качестве источников тепловой энергии используются трехфазные электрические дуги, горящие на горизонтальную поверхность. Это дуговые печи для выплавки металлов и сплавов, рудотермические, рудовосстановительные печи и другие. Знание ряда параметров электрических дуг, таких как магнитные поля, электромагнитные силы, действующие на дуги, положение и динамика поведения дуг, а также тепловые потоки излучения вблизи горящих дуг, является важным при эксплуатации существующих, конструировании новых печей и автоматизации их работы. На основе литературного анализа установлено, что многие вопросы, связанные с электрическими дугами трехфазного переменного тока, горящими на горизонтальную поверхность, освещены недостаточно полно. На промышленных или опытных установках исследование этих и других подобных проблем технически сложно, дорого и часто невозможно по самым разным причинам. Одним из возможных методов их изучения являются создание адекватных математических моделей, их реализация в виде ПО и дальнейшее исследование с использованием компьютерных моделей.

Для электрических дуг трехфазного переменного тока наиболее практически значимыми являются такие параметры, как напряженность магнитного поля в районе горения дуг, электромагнитные силы, действующие на дуги, форма дуг и радиаци- онные тепловые потоки, падающие на горизонталь- ную поверхность.

В работах [1, 2] рассмотрена математическая модель для определения результирующей мгновенной напряженности магнитного поля в произвольной точке пространства  от токов, проходящих через три параллельных электрода. Находятся векторы напряженности магнитных полей, вызываемые токами в j-м электроде, а затем определяется результирующая сумма векторов с использованием принципа суперпозиции магнитных полей.

В выбранной полярной системе координат относительно центра распада электродов центры первого, второго и третьего электродов имеют координаты C1(rp, 0), C2(rp, 2p/3) и C3(rp, 4p/3) соответственно. Выбранная полярная система координат и совмещенная с ней декартовая система координат Oxy, а также схематическое расположение токов и точки A показаны на рисунке 1.

Напряженность магнитного поля  в произвольной точке A(r, j) определяется суммой трех векторов, координаты которых определяются по формуле

,         (1)

где ; rp – радиус окружности, на которой расположены токи; τ – время;  – амплитуда тока; jj = 2p(j–1)/3, j = 1, 2, 3; v = 50 Гц – частота тока; T = 1/v – период;  – напряженность магнитного поля в точке А от тока j‑го электрода; A(xa, ya) – координаты точки A; Cj(xcj, ycj) – координаты точек Cj.

Результирующая напряженность магнитного поля в точке A от действия трех токов, проходящих через графитированные электроды

,  (2)

где xHj, yHj – координаты x и y вектора напряженности магнитного поля от действия j-го тока.

На основе математической модели в среде разработки и моделирования MathCad создан программный модуль, позволяющий определять магнитные поля вблизи трех параллельно горящих дуг трехфазного переменного тока. В качестве входных параметров задаются диаметр распада электродов, амплитудное значение тока дуг и полярные координаты точки, в которой ищем магнитное поле. Программа позволяет строить графики изменения напряженности магнитного поля в зависимости от безразмерного расстояния до центра распада электродов в различные моменты времени или при разных значениях угловой координаты, нормированные векторные поля напряженности магнитного поля вблизи трех дуг трехфазного переменного тока, годографы векторов напряженности магнитного поля. В качестве примера были построены нормированные векторные поля напряженности магнитного поля в различные моменты времени. Так, для моментов времени τ=n·T/2, где n=0, 1, 2..., магнитное поле вблизи первого электрода отсут- ствует. В последующие моменты времени оно постепенно увеличивается, принимает максимальное значение при τ = T/4 + n·T/2, после чего постепенно уменьшается и к моменту времени τ = T/2 + n·T/2 пропадает. Аналогично ведут себя напряженности магнитных полей вблизи второго и третьего электродов, возле которых поле отсутствует в моменты времени τ = T/6 + n·T/2 и τ = T/3 + n·T/2 и максимально τ = 5T/12 + n·T/2 и τ = 7T/12 + n·T/2 соответственно. Установлено, что вблизи трех электрических дуг, горящих на горизонтальную поверхность, имеет место бегущее магнитное поле. На рисунке 2 приведен пример работы программы, показаны нормированные векторные поля напряженности магнитного поля вблизи трех параллельно горящих дуг трехфазного переменного тока в разные моменты времени, а также годографы вектора напряженности магнитного поля внутри и вне диаметра распада электродов.

Для электрометаллургической теории и практики важными являются методы расчета локальной электромагнитной силы, действующей на элемент дуги, и среднеинтегральной силы, действующей на всю дугу. При постоянных токах для локальной силы, действующей на элемент дуги от тока, протекающего через жидкий металл, в [3] получено выражение

,

а для среднеинтегральной электромагнитной силы [4, 5] зависимость

,               (3)

где D = 3,2–3,6 см – глубина электрической оси токопроводящего слоя от поверхности жидкого металла [6]; i0 – ток дуги; i1 – ток, протекающий через жидкий металл со стороны другой дуги; lд – длина дуги; l – длина горизонтального отрезка, по которому протекает ток i1; z – расстояние от точки привязки дуги на горизонтальной поверхности до рассматриваемого элемента дуги.

В работе [4] получены выражения для электромагнитной силы, действующей на ток дуги i1 = iA со стороны трех фазных токов iAB, iBC, iCA, протекающих через металл. Установлено, что модуль равнодействующей силы пропорционален . С учетом действующего значения линейного тока  получено локальное среднее значение электромагнитной силы, действующей на единицу длины дуги:

,                (4)

и среднеинтегральное значение силы, действующей на дугу:

.            (5)

В работе [7] рассмотрено взаимодействие двух вертикальных дуг постоянного тока, получена локальная электромагнитная сила, действующая на единицу длины дуги, на ток столба дуги i0 со стороны тока i1, протекающего через дугу (длиной lд) и графитированный электрод (длиной lэд):

,

и среднеинтегральная сила, действующая на дугу:

.

Среднюю результирующую силу взаимодействия одной из дуг в трехфазной дуговой печи переменного тока с двумя другими дугами с уче- том действующего значения линейного тока  и локальную электромагнитную силу, действующую на единицу длины дуги [4, 7], можно определить следующим образом:

,(6)

. (7)

На основе разработанных математических моделей в среде разработки и моделирования MatLab создана компьютерная программа «Расчет электромагнитных сил, действующих на дуги в трехфазной дуговой печи», позволяющая рассчитывать основ- ные электромагнитные силы (Свид. о гос. регистр. № 2016618499), ее главное окно показано на рисунке 3. Исходными данными для программы являются расстояние между дугами, длина дуги, длина электрода, действующее значение тока. Все они проходят проверку на корректность ввода [8]. Далее рассчитываются значения среднеинтегральных сил от токов, протекающих по жидкому металлу, и от токов, протекающих через параллельные дуги и электроды. Значения этих сил одинаковы для каждой из дуг и различаются только направлениями. Далее при помощи методов аналитической геометрии визуализируются расположение электродов, среднеинтегральных электромагнитных сил и их результирующее направление. Также в программе имеется возможность построения графиков локальных и среднеинтегральных электромагнитных сил. При нажатии на кнопку «Графики» на экране появляется рабочее окно для вывода графиков (рис. 4). Строится график локальных сил, представляющий собой зависимость  – значения локальной силы, деленной на квадрат тока от координаты точки z, и график среднеинтегральных сил  от безразмерной координаты точки l/lд.

Рассмотрим математическую модель формы параллельно горящих на горизонтальную поверхность электрических дуг постоянного или переменного тока при их электромагнитном взаимодействии под действием силы . Для определения формы двух дуг постоянного тока при их электромагнитном взаимодействии использовалась математическая модель, предложенная в работе [9]. Форма оси первой дуги y(z) (рис. 5), через которую протекает ток i1, при электромагнитном взаимодействии с дугой, по которой протекает ток i2, описывается следующим интегро-дифференциальным уравнением:

,                       (8)

где b(z) – функция, определяющая параметры дуги; y0 – среднее геометрическое расстояние площади сечения дуги в ее цилиндрической части от самой себя.

Уравнение (8) относится к классу интегро-дифференциальных уравнений. Свойства таких уравнений и методы их решения рассмотрены в работах [10–16]. В отдельных частных случаях найдены аналитические решения, но в общем случае они могут быть решены только приближенно. Численное решение получается в результате итерационного процесса, точные оценки погрешности получены не для всех случаев. При численных расчетах в качестве критерия для завершения итерационного процесса применяется малое различие результатов, полученных на последовательных шагах процесса. Задача сводится к нахождению функции, которая с приемлемой точностью удовлетворяет уравнению (8). Решение затрудняется тем, что оно нелинейное, так как искомая функция входит в знаменатель правой части и в дифференциальном уравнении имеется модуль.

Для решения подобных интегро-дифференциальных уравнений обычно используются приближенные итерационные алгоритмы, например метод Пикара [12]. Однако его численная реализация показала, что для описываемой задачи полученный итерационный процесс является расходящимся.

Для нахождения приближенного решения этого уравнения предложены и реализованы три алгоритма [17]. По первому алгоритму предполагалось, что по дугам текут равные постоянные токи i1 = i2 (дуги зеркально симметричны относительно оси Oz), а неизвестная функция положения оси первой дуги имеет форму параболы y(z) = a1z2 + b1z + c. Применяя начальные условия y(0) = a,  где a – тангенс угла наклона оси дуги в ее начальном сечении, получено c = a, b1 = a. Решая нелинейное уравнение (8) при разных z, находился неизвестный коэффициент a1, который затем усреднялся.

По второму алгоритму также рассматривался случай одинаковых токов i1 = i2, при этом искомая функция имела вид полинома n-й степени y(z) = = a0 + a1z + a2z2 + a3z3 +…+ anzn. Неизвестные коэффициенты a2, a3, …an находились как минимум функции нескольких переменных: j1(a2, a3, …) =  или j2(a2, a3, …)  где Ф – левая часть уравнения (8).

По третьему алгоритму рассматривалось нахождение формы осей двух дуг при разных токах, проходящих через них, i1 ¹ i2. В этом случае для нахождения двух неизвестных функций решалась система двух дифференциальных уравнений (8), записанных для каждой дуги, с граничными условиями:

y1(0) = a, , y2(0) = – a, .

Для получения приближенного решения предполагалось, что искомые функции формы осей столбов дуг имеют вид yj(z) = a0jz + a1jz + a2jz2 + + a3jz3 +… + anjn, где j = 1, 2 – номер дуги. Из начальных условий, принимая a1 = a2 = 0, имеем a11 = a12 = 0 a01 = a02 = 0. Искомые коэффициенты многочленов a2j = a3j = … = anj находились как минимум функции нескольких переменных:  где Ф1, Ф2 – левые части уравнения (8), записанные для первой и второй дуг соответственно.

Уравнение равновесия элемента столба дуги расширено и применено для нахождения формы осей двух или трех дуг постоянного или трехфазного переменного тока и может быть записано как

,                                  (9)

где k1 – коэффициент, учитывающий вид электромагнитного взаимодействия;  – сила взаимодействия дуги с токами, протекающими по другим дугам;  – сила взаимодействия дуги с собственным током;  – центростремительная сила, выпрямляющая дугу. Значение коэффициента k1 и характер электромагнитного взаимодействия зависят от рода тока и количества дуг [17].

На основе разработанных математических моделей в среде разработки и моделирования MatLab создан программный модуль «Взаимодействие дуг», позволяющий в зависимости от количества дуг, рода и значения протекающего по ним тока, расстояния между дугами, физических свойств плазмообразующего газа рассчитывать и визуализировать форму дуг (Свид. о гос. регистр. № 2016618499); главное окно программы показано на рисунке 6. Исходными данными являются расстояние между дугами, длина дуги, токи первой и второй дуг, степень полинома, при помощи которого аппроксимируется форма дуги, род тока, участвующего во взаимодействии дуг. Далее с учетом физических свойств плазмообразующего газа и свойств окружающей среды находятся коэффициенты для построения формы оси столба дуги. Программа строит график формы осей столбов дуг y(z) в сантиметрах.

В дуговой сталеплавильной печи (ДСП) трансформация электрической энергии в тепловую происходит в разрядном промежутке. За счет электромагнитного взаимодействия электрических токов, протекающих по графитированным электродам и в поверхностных слоях расплава с током дуги, происходит ее выдувание от центра печи. Средний угол наклона столба дуги θ по отношению к нормали зеркала ванны колеблется для ДСП различной мощности и емкости в пределах 45°–65° (см., например, [18, 19]).

В работе [20] была получена модель теплового потока на произвольно расположенную площадку dS, находящуюся на поверхности ванны от электрической дуги, расположенной под углом к ней:

 (10)

где A = cosy×sinq; ; r – расстояние от начала координат до площадки dS; ψ – угол, под которым расположена площадка dS к началу координат; θ – угол между направлением излучения и нормалью к поверхности ванны; Кэ – поправочный экспериментальный коэффициент, учитывающий долю мощности дуги, идущую на излучение; P – полная мощность излучения дуги; lд – длина дуги (рис. 7).

Тепловой поток от трех наклонных горящих электрических дуг длиной lд на произвольно расположенную горизонтальную площадку на- ходится по принципу суперпозиции как сумма тепловых потоков, падающих в данную точку A (рис. 8). Тепловой поток, падающий на элементарную площадку, определяется как

,                 (11)

где  – тепловой поток, падающий на горизонтальную поверхность от j-й дуги; rj – расстояние от j-й дуги до площадки dS; ψj – угол, под которым расположена площадка dS к j-й дуге; θ – угол между направлением излучения и нормалью к поверхности ванны [21].

С использованием созданной математической модели (10)–(11) разработан компьютерный модуль, позволяющий рассчитывать и визуализировать тепловые потоки, падающие на горизонтальную поверхность, вблизи горения трех наклонных электрических дуг. В качестве входных параметров задаются диаметр распада электродов, действующее значение тока, координаты точек, в которых ищется и визуализируется тепловой поток. На рисунке 9 изображено распределение теплового потока по азимутальной координате при разном расстоянии от центра распада электродов в трехфазной дуговой печи ДСП-180 (ток дуги – 50 кА, lд = 0,5 м, диаметр распада электродов – 1,2 м ), построенное при помощи разработанного модуля.

Таким образом, на основе оригинальных математических моделей разработан комплекс компьютерных программ для определения основных параметров электрических дуг трехфазного переменного тока. Комплекс программ позволяет рассчитать напряженность магнитных полей, опре- делить и визуализировать среднеинтегральные электромагнитные силы, действующие на дуги, и локальные силы, действующие на элементы дуги: от токов, протекающих через жидкий металл, и от токов, проходящих через параллельно горящие дуги и графитированные электроды. Также специальные модули позволяют рассчитать и визуализировать формы осей столбов дуг в зависимости от их количества и рода тока и для определения и визуализации теплового потока от трех горящих наклонных электрических дуг по азимутальной координате. Структурная схема комплекса программ представлена на рисунке 10. Разработанный комплекс компьютерных программ может использоваться при конструировании многоэлектродных дуговых или плазменных печей для определения положения электрических дуг в системах автоматизированного регулирования их тепловой работы, для оценки стойкости футеровки вблизи горящих дуг при разных технологических режимах, для определения воздействия электромагнитных полей на приборы и человека.

Литература

1.     Леушин А.И. Дуга горения. М.: Металлургия, 1973. 240 с.

2.     Ячиков И.М., Зарецкая Е.М. Анализ поведения магнитного поля вблизи электродов дуговых печей посредством математического моделирования // Изв. вузов: Черная металлургия. 2011. № 1. C. 18–20.

3.     Миронов Ю.М. Электрическая дуга в электротехнологических установках: монография. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2013. 290 с.

4.     Yachikov I.M., Kostyleva E.M. Electromagnetic forces on the arc in a three-phase arc furnace. Steel in Translation. 2015. vol. 45, no. 7, pp. 467–472. DOI: 10.3103/S0967091215070141.

5.     Егоров А.В. Расчет мощности и параметров электроплавильных печей. М.: Изд-во МИСиС, 2000. 272 с.

6.     Егоров А.В. Электроплавильные печи черной металлургии. М.: Металлургия, 1985. 280 с.

7.     Никольский Л.Е., Смоляренко В.Д., Кузнецов Л.Н. Тепловая работа дуговых сталеплавильных печей. М.: Металлургия, 1981. 320 с.

8.     Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB. СПб: Питер, 2005. 512 с.

9.     Бортничук Н.И., Крутянский М.М. Плазменно-дуговые плавильные печи. М.: Энергоиздат, 1981. 120 с.

10.   Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. Ижевск: Изд-во ИКИ, 2002. 304 с.

11.   Дмитриев С.С., Кузнецов Е.Б. Численное решение систем интегро-дифференциально-алгебраических уравнений с запаздывающим аргументом // Журн. вычислит. матем. и матем. физики. 2008. № 3. С. 430–444.

12.   Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с.

13.   Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. Долгопрудный: Интеллект, 2008. 504 с.

14.   Зализняк В.Е. Основы научных вычислений. Введение в численные методы для физиков. М.: Editorial URSS, 2002. 296 с.

15.   Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. 632 с.

16.   Лёзин И.А. Решение систем полиномиальных уравнений на ЭВМ // Программные продукты и системы. 2012. № 3. С. 22–25.

17.   Ячиков И.М., Костылева Е.М. Математическое моделирование формы дуг при их электромагнитном взаимодействии. Сообщ. 2: Форма электрических дуг постоянного или трехфазного переменного тока, горящих между электродами и токоподводящей поверхностью // Изв. вузов: Черная металлургия. 2014. № 5. С. 56–61.

18.   Макаров А.Н. Теплообмен в дуговых сталеплавильных печах. Тверь: Изд-во ТГТУ, 1998. 184 с.

19.   Миронов Ю.М., Михадаров Д.Г. Влияние межэлектродного промежутка на отклонение столба дуги // Вестн. ЧГУ. 2009. № 2. С. 139–142.

20.   Yachikov I.M., Zaretskaya E.M. Radiant heat flux from an electric arc inclined to the plane of the receiving surface. Steel in Translation, 2011, vol. 41, no. 7, pp. 550–554. DOI: 10.3103/S0967091211070151.

21.   Макаров А.Н., Свенчанский А.Д. Оптимальные тепловые режимы дуговых сталеплавильных печей. М.: Энергоатомиздат, 1992. 96 с.