Программные продукты и системы

Объектом исследования являлись магнитные наножидкости (МНЖ), представляющие собой высокодисперсные коллоиды ферромагнетиков; их электрофизические параметры (такие как электрическая емкость) изменяются при изменении концентрации дисперсной фазы, температуры и напряженности электрического и магнитного полей. Актуальной является задача получения математической модели, которая могла бы описать изменения величины электрической емкости МНЖ при различных воздействиях. Для идентификации сложных объектов, к которым можно отнести и МНЖ, широко используются экспериментально-статистические методы, которые позволяют установить зависимости между входными параметрами (факторами) и выходными (показателями функ- ционирования объекта) в виде уравнений регрес- сии [1–7]. Свойства объекта исследования возможно описать различными моделями, при этом они должны удовлетворять требованиям адекватности, содержательности и быть максимально простыми.

В работах [7, 8] проведена статистическая обработка экспериментальных исследований микрослоев МНЖ, которая заключалась в получении математической модели, описывающей взаимосвязь между величиной электрической емкости ячейки с микрослоем МНЖ и входными параметрами: объ- емной концентрацией дисперсной фазы (φ, %), межэлектродным расстоянием (d, мм), величиной приложенного поляризующего напряжения (UП, В) и температурной средой (t, °C). Представлены и проанализированы результаты экспериментальных исследований микрослоев МНЖ [7, 9] с более чем 2 000 проведенных опытов при изменении указанных параметров ячейки. Характерные зависимости проведенных экспериментальных исследований представлены на рисунках 1 и 2, которые показывают, что подача постоянного поляризующего напряжения на микрослой МНЖ приводит к не- линейному изменению электроемкости с ярко выраженным максимумом. Диапазон входных па- раметров составляет: а) для прикладываемого поляризующего напряжения UП от 0 до 20 В; б) для межэлектродного расстояния от 0,1 до 0,2 мм; в) для объемной концентрации дисперсной фазы φ от 2,3 до 14,4 %; г) для температуры МНЖ от 20 до 95° C. Микрослой МНЖ типа «магнетит в керосине» создавался между двумя электродами, в качестве которых применялись стеклянные пластины с проводящей поверхностью In2O3-SnO2 толщиной до 0,4 мкм. Толщина микрослоя (0,1, …, 0,2) мм задавалась введением фторопластовых пленок, размеры электродов (40´50) мм2.

В работе [10] выдвинуто предположение о том, что поляризация в МНЖ обусловлена преимущественно двумя механизмами поляризации. Аналогичные МНЖ исследовались в работе [11], в которой экспериментально полученные частотные зависимости емкости и сопротивления ячейки с МЖ с высокой точностью описываются двухкомпонентной моделью жидкости: с «быстрыми» и «медленными» носителями заряда и соответственно двумя механизмами поляризации.

Анализ приведенных зависимостей показал наличие максимума электрической емкости при температуре 338 K в исследуемом концентрационном диапазоне. При воздействии поляризующего напряжения ~5 В и температуре ~340 K наблюдается ярко выраженный максимум электрической емкости, дальнейшее повышение температуры приводит к монотонному увеличению электрической емкости вплоть до 368 K (рис. 1, 3).

При изменении концентрации дисперсной фазы от 2,3 % до 14,4 % и приложении поляризующего напряжения также имеются характерные максимумы электрической емкости, при повышении температуры максимум становится более выраженным (рис. 1, 4). При увеличении концентрации дисперсной фазы возрастает величина поляризующего напряжения, при котором достигается максимум электрической емкости (рис. 2, 4).

Для получения математической модели, связывающей электрическую емкость ячейки с МНЖ и ее параметрами (концентрация дисперсной фазы, межэлектродное расстояние, прикладываемое к электродам напряжение и температура микрослоя МНЖ), использовалось ПО для статистического анализа, реализующее необходимые базовые функции для его проведения IBM SPSS Statistics [12–17].

Были получены регрессионные модели, учитывающие главные факторы и эффекты взаимодействия факторов. Произведен анализ полученных моделей, оценены их погрешности (ошибки аппроксимации). При оценке погрешности рассматривались минимальная, максимальная и средняя погрешности, на основе этих данных делались выводы о целесообразности применения модели.

Для линейной регрессионной модели [8], полученной в программе регрессионного анализа LRSVD, произведен расчет ее погрешностей, из которого следует, что линейная аппроксимация зависимости С = f(φ; d; UП; t) при описании экспериментальных данных дает среднюю ошибку в 34,7 % и для отдельных опытов достигает 100 %, что не может считаться удовлетворительным.

С использованием IBM SPSS была также получена линейная модель С = f(φ; d; UП; T), которая позволила снизить среднюю ошибку до 17,978 % и максимальную до 78,849 %:

    (1)

Несмотря на значительное повышение точности модели, ее применение не является целесообразным, следовательно, необходимо усложнять модель для повышения ее адекватности, поэтому было принято решение учесть в модели эффекты взаимодействия факторов.

Для построения моделей в IBM SPSS предварительно температура из градусов Цельсия была переведена в единицы термодинамической температуры Кельвина. Далее произведено кодирование факторов (варьирование кодированных факторов производилось на уровнях от –1 до +1). Данные об электрической емкости микрослоя МНЖ при соответствующих значениях факторов (объемной концентрацией дисперсной фазы φ[–1; +1], межэлектродным расстоянием d[–1; +1], величиной приложенного поляризующего напряжения UП[–1; +1] и температурной средой T[–1; +1]) передавались в IBM SPSS. В программе были получены расчетные оценки коэффициентов регрессионной модели и их стандартные ошибки на 95-процентном доверительном интервале. Построение линейной модели производилось с учетом эффектов взаимодействия факторов. По полученным оценкам проводилась проверка по критерию Стьюдента для уровня доверия 0,95 с целью определения значимых коэффи- циентов регрессии, незначимые коэффициенты регрессии отбрасывались (за исключением постоянной составляющей E0), а значимые заново пересчитывались (табл. 1). В результате была получена следующая модель:

C = – 777,021 + 67,143×j + 2190,186×d +

+ 4,513×T – 0,161×j×T – 13,863×d×T –

– 11,486×U×j + 37,375×j×d×U +

+ 0,044×j×T×U – 0,151×j×d×T×U,                   (2)

которая позволила более чем на 20 % снизить среднюю и максимальную ошибки по сравнению с моделью (1) до 13,027 % и 61,464 % соответственно.

Таблица 1

Оценки коэффициентов регрессионной модели (2)

Table 1

Estimates of (2) regression model coefficients

Учет эффектов взаимодействия факторов позволил уменьшить погрешности модели, однако для практического применения достигнутых результатов недостаточно. Поскольку ранее [10, 11] отмечалось наличие в МНЖ по крайней мере двух механизмов поляризации, целесообразным представляется рассмотрение модели для двух диапазонов. Поэтому на следующем этапе диапазон изменения поляризующего напряжения был разделен на два участка: (0…10) В и (10…20) В, для которых были синтезированы линейные модели и модели ЛУЭВФ (линейные с учетом эффектов взаимодействия факторов).

Для участка изменения Uп (0…10) В получены оценки параметров моделей (табл. 2) с учетом их значимости следующих видов.

Линейная модель:

C = 11,599 + 16,308×j – 3237,896×d +

+ 23,704×U + 2,238×T.                                       (3а)

Модель ЛУЭВФ:

C = 72,251 + 82,538×j – 330,937×U +

+ 1,618×T – 309,084×j×d – 0,203×j×T –

– 6,338×d×T + 4,308×U×j + 1255,383×U×d +

+ 1,055×U×T + 0,908×j×d×T – 3,789×d×T×U –

–       0,077×j×d×T×U.                                              (4а)

Таблица 2

Оценки коэффициентов регрессионных моделей (3а) и (4а)

Table 2

Estimates of (3a) and (4a) regression model coefficients

Для участка изменения Uп (10…20) В получены оценки параметров моделей (табл. 3) с учетом их значимости следующих видов.

Линейная модель:

C = – 334,736 + 33,54×j – 3849,494×d –

– 1,335×U + 3,764×T.                                                (3б)

Модель ЛУЭВФ:

C = – 2940,356 + 145,865×j + 9949,851×d +

+ 156,873×U + 11,167×T – 267,769×j×d –

– 0,268×j×T – 35,766×d×T – 18,103×U×j –

– 544,553×U×d – 0,523×U×T +58,313×j×d×U +

+ 0,058×j×T×U + 1,786×d×T×U – 0,181×j×d×T×U.  (4б)

Данные о полученных моделях и сравнение их с линейной (1) моделью сведем в таблицу 4, где в столбце 4 приводится изменение погрешности моделей по отношению к линейной модели (1).

Анализ таблицы 4 позволил сделать следующие выводы:

-     линейные модели (1) и (3) во всем диапазоне изменения поляризующего напряжения и при делении его на два интервала не позволили снизить среднюю ошибку аппроксимации менее чем на 15 %;

-     модель ЛУЭВФ (2) позволила уменьшить среднюю ошибку аппроксимации на ~26 % по отношению к модели (1);

-     наилучшие результаты были получены по модели ЛУЭВФ (4) на интервалах изменения поляризующего напряжения (0…10 В) и (10…20 В), где среднюю ошибку аппроксимации удалось снизить до 10,817 % и 8,695 % соответственно, а сравнение с линейной моделью (1) показало ее уменьшение на ~45 %.

Таким образом, наилучшую аппроксимацию экспериментальных данных дает модель (4), учитывающая эффекты взаимодействия факторов с разбиением на два интервала.

Из проведенного анализа следует, что для более точного описания зависимости электрической емкости ячейки с МНЖ от толщины микрослоя, температуры среды, величины поляризующего напряжения и объемной концентрации дисперсной фазы необходимо применение нелинейных регрессионных моделей.

Литература

1.     Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. 208 с.

2.     Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия. М.: Диалектика, 2007. 912 c.

3.     Фёрстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.

4.     Гайдышев И.П. Анализ и обработка данных: специальный справочник. СПб: Питер, 2001. 752 с.

5.     Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966. 566 с.

6.     Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. 899 с.

7.     Кожевников В.М., Морозова Т.Ф., Филиппов С.А. Статистическая обработка результатов исследования электрофизических свойств тонких слоев магнитной жидкости // Сб. науч. тр. СтГТУ: Естественнонаучная. 1999. Вып. 2. С. 104–107.

8.     Морозова Т.Ф., Демин М.С., Морозов А.С. Регрессионный анализ экспериментальных данных электрофизических свойств тонких слоев магнитной жидкости // Наука в современном информационном обществе: матер. IX Междунар. науч.-практич. конф. США, Северный Чарльстон. Изд-во CreateSpace, 2016. С. 136–139.

9.     Kozhevnikov V.M., Morozova T.F. Dielectric permittivity of a magnetic fluid stratum in electric and magnetic fields. Magnetohydrodynamics, 2001, vol. 37, no. 4, pp. 383–388.

10.   Морозова Т.Ф., Демин М.С. Анализ взаимосвязи процессов поляризации с микроструктурированием в слое магнитной жидкости // Журн. технич. физики. 2017. Т. 87. № 2. С. 286–293.

11.   Кожевников В.М., Ларионов Ю.А., Демин М.С. Электрокинетические параметры магнитодиэлектрического коллоида в нестационарных режимах при воздействии электрического и магнитного полей // Вестн. Сев.-Кавказ. гос. технич. ун-та. 2007. № 1. С. 56–61.

12.   Бююль А., Цефель П. SPSS: искусство обработки информации. Анализ статистических данных и восстановление скрытых закономерностей. СПб: ДиаСофтЮп, 2005. 608 с.

13.  Пользовательские таблицы 24 IBM SPSS. URL: ftp://public.dhe.ibm.com/software/analytics/spss/documentation/ statistics/24.0/ru/client/Manuals/IBM_SPSS_Custom_Tables.pdf (дата обращения: 01.10.2016).

14.  IBM SPSS Statistics Base 24. URL: ftp://public.dhe.ibm. com/software/analytics/spss/documentation/statistics/24.0/ru/client/ Manuals/IBM_SPSS_Statistics_Base.pdf (дата обращения: 01.10.2016).

15.  IBM SPSS Statistics 24: Руководство пользователя. URL: ftp://public.dhe.ibm.com/software/analytics/spss/documentation/ statistics/24.0/ru/client/Manuals/IBM_SPSS_Statistics_Core_ System_User_Guide.pdf (дата обращения: 01.10.2016).

16.  Elliott A.C., Woodward W.A. IBM SPSS by example: a practical guide to statistical data analysis. SAGE Publ., Inc., 368 p.

17.  Meyers L.S., Gamst G.C., Guarino A.J. Performing data analysis using IBM SPSS. Wiley Publ., 736 p.