Программные продукты и системы

Одним из активно развивающихся методов спектрального анализа данных является вейвлет-преобразование, коэффициенты которого вычисляются следующим образом:

                    (1)

где x(t) – случайный процесс; ψ(t) – выбранный анализирующий вейвлет; a ≠ 0 – параметр масштаба; b ≥ 0 – параметр сдвига [1–3].

Спектральные методы применяются для анализа медицинских сигналов, таких как электрокардиограмма, электроэнцефалограмма, вариабельность сердечных ритмов (ВСР), анализа космофизических явлений и в других областях [4–7]. Такие процессы, как правило, являются нестационарными по частоте, и спектральный анализ не поз- воляет локализовать частоты во времени. В этом случае применимы частотно-временные методы анализа, к которым относится вейвлет-преобразование.

Часто исследователю приходится иметь дело с нестационарными и неэквидистантными данными (например ВСР), то есть Δtk = tk+1 – tk = random. Типовые модели процессов с нерегулярной дискретизацией данных и методы их анализа рассмотрены в [8, 9]. В работе [10] исследуется метод адаптивного вейвлет-преобразования для модели с пропусками наблюдений, недостатком которого является то, что необходимо знать, в какой момент времени отсчет был пропущен.

При вычислении оценки вейвлет-коэффициен- тов нерегулярных процессов методом прямоуголь- ников выражение (1) преобразуется к следующему виду: ,    (2)

где N – число отсчетов реализации неэквидистантного временного ряда.

Выражение для оценки коэффициентов методом трапеций имеет вид

   (3)

Алгоритм получения массива сдвигов для вейвлет-преобразования неэквидистантных временных рядов. При вычислении вейвлет-преобразования регулярных процессов значения сдвигов определяются как значения, кратные интервалу дискретизации, и для выполнения преобразования достаточно знать лишь порядковый номер сдвига. В случае, когда интервал дискретизации не является константой, предлагается следующий алгоритм получения массива сдвигов.

1.    Выбрать принудительный интервал дискретизации ∆t0, определяемый как минимум, максимум или среднее значение интервалов дискретизации неэквидистантного временного ряда:

2.    Определить число отсчетов предполагаемо­го регулярного временного ряда:  где ent[] – операция взятия целой части.

3.    Определить число сдвигов: , где K – коэффициент прореживания.

4.    Получить массив сдвигов: bj = j×K×Dt0, где j = 0, …, Nb – 1.

Алгоритм оценки коэффициентов вейвлет-преобразования неэквидистантных временных рядов. С учетом описанных выше особенностей алгоритм оценки коэффициентов вейвлет-преобразования временных рядов с нерегулярной дискретизацией будет следующим.

1.    Загрузить исследуемый процесс, представленный неэквидистантным временным рядом :

2.    Получить массив масштабов:

, где i = 0, …, Na – 1; ωmin – минимальная частота; ∆ω – интервал дискретизации частоты:

3.    Получить массив сдвигов по алгоритму, предложенному выше:

4.    Для текущего значения масштаба ai рассчитать ширину вейвлета wt: wt = 8ai Dt, где ∆t – эффективный радиус базового вейвлета.

5.    Вычислить значение коэффициента вейвлет-преобразования, используя выражение (2) или (3). При этом следует учитывать лишь те отсчеты нерегулярного временного ряда, соответствующие временные метки которых попадают в ширину вейвлета относительно текущего сдвига bj:

В связи с тем, что на границах сигнала невозможно использовать все значения вейвлета и появляются погрешности, вычисления рекомендуется производить в случае, если выполняется следую- щее условие: . Однако оно не яв- ляется обязательным.

6.    Повторить пункты 4 и 5 для всех масштабов ai и сдвигов bj.

Таким образом, результатом работы алгоритма является матрица коэффициентов вейвлет-преоб- разования. Отметим, что результат преобразования носит регулярный характер, так как функция масштаба обратно пропорциональна равномерно дискретизированной частоте, а предложенный алгоритм вычисления сдвигов предполагает их регулярность.

Программный комплекс. На основе рассмотренных алгоритмов был разработан программный комплекс на языке C# на платформе .NET с применением технологии паттернового проектирования. Он состоит из пяти модулей.

1.    Модуль получения исходного процесса, предназначенный для генерирования исходных последовательностей следующих видов:

-     случайные стационарные с заданным видом корреляционной функции;

-     случайные нестационарные с заданным видом корреляционной функции;

-     детерминированные.

Данный модуль позволяет получать процессы как с регулярной дискретизацией данных, так и с нерегулярной.

2.    Модуль получения спектральных характеристик сигнала при помощи следующих операций:

-     преобразование Фурье;

-     оконное преобразование Фурье;

-     вейвлет-преобразование с регулярной дискретизацией;

-     вейвлет-преобразование с нерегулярной дискретизацией.

3.    Модуль, предназначенный для определения погрешностей вычисленных коэффициентов вейв­лет-преобразования.

4.    Модуль построения вейвлетов. Данный модуль предназначен для вычисления вейвлет-функций. В системе используются десять основных видов вейвлетов. Для их построения необходимо указать число отсчетов вейвлета N, интервал дискретизации вейвлета Dt, масштаб a и сдвиг b.

5.    Модуль имитационного моделирования предназначен для моделирования вейвлет-преобразования процессов с нерегулярной дискретизацией данных, оценки адекватности разработанных алгоритмов.

Экспериментальные исследования. Вычислим вейвлет-преобразование для вейвлета Гаусса 8-го порядка и синусоиды:

где y(t) = (t8 – 28t6 + 210t4 – 420t2 + 105)exp(–t2/2).

В качестве эксперимента генерировалось по 29 реализаций временных рядов для каждого типа нерегулярной дискретизации, так как для доверительной вероятности Pд = 0,95 число испытаний M = 29 при любом законе распределения погрешностей.

Для оценки ошибки вычисления каждого вейвлет-коэффициента определим СКО получен- ных результатов: .

Для сравнения скейлограмм вейвлет-преобразования введем следующую величину:

,

где  – оценка скейлограммы.

В таблице показаны результаты сравнения скейлограмм для временных рядов с пропусками наблюдений (p-преобразование) для различного числа пропусков q и временных рядов с так называемым дрожанием с распределением случайной величины по равномерному закону и закону Симпсона.

Результаты сравнения скейлограмм

Results of scale-averaged wavelet power comparison

Графики скейлограмм и СКО для смоделированных процессов показаны на рисунках (см. http://www.swsys.ru/uploaded/image/2017_4/2017-4-dop/10.jpg и http://www.swsys.ru/uploaded/image/ 2017_4/2017-4-dop/11.jpg). Отметим, что при q = 0 исходный временной ряд приобретает регулярный характер, то есть Dtk = const, что является частным случаем.

Заключение

В статье были предложены алгоритм вейвлет-преобразования неэквидистантных временных ря- дов, а также алгоритм выбора сдвигов данного пре- образования, учитывающий случайный характер интервалов дискретизации. С использованием разработанного комплекса программ были приведены примеры результатов преобразования. Показано, что при преобразовании временных рядов с пропусками наблюдений с увеличением числа пропусков q погрешность оценки коэффициентов преобразования в области высоких частот возрастает. При преобразовании временных рядов с дрожанием данная погрешность значительно меньше, при этом закон Симпсона показывает лучшие результаты по сравнению с равномерным законом распределения.

Литература

1      Прохоров С.А., Столбова А.А. Вейвлет-преобразование нерегулярных процессов без восстановления пропущенных отсчетов // Перспективные информационные технологии (ПИТ 2017): тр. Междунар. науч.-технич. конф. Самара, 2017. С. 154–156.

2      Чуи Ч. Введение в вейвлеты; [пер. с англ.]. М.: Мир, 2001. 412 с.

3      Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов; [пер. с англ.]. M.: Мир, 2005. 671 с.

4      Ziran Peng, Guojun Wang, Novel ECG eigenvalue detection algorithm based on wavelet transform. BioMed Research Intern., 2017, vol. 2017, 12 p.

5      Ke Liao, Ran Xiao, Jania Gonzalez, Lei Ding. Decoding individual finger movements from one hand using human EEG signals. PLOS ONE, 2014. vol. 9, iss. 1, e85192.

6      Баевский Р.М., Иванов Г.Г., Чирейкин Л.В. [и др.]. Анализ вариабельности сердечного ритма при использовании различных электрокардиографических систем // Вестн. аритмологии. 2002. № 24. С. 65–87.

7      Мандрикова О.В., Заляев Т.Л. Моделирование вариаций космических лучей на основе совмещения кратномасштабных вейвлет-разложений и нейронных сетей переменной структуры // Цифровая обработка сигналов. 2015. № 1. С. 11–16.

8      Прохоров С.А. Прикладной анализ неэквидистантных временных рядов. Самара: Изд-во СГАУ, 2001. 375 с.

9      Витязев В.В. Анализ неравномерных временных рядов. СПб: Изд-во СПб ун-та, 2001. 68 с.

10    Галягин Д.К., Фрик П.Г. Адаптивные вейвлеты (Алгоритм спектрального анализа сигналов) // Математическое моделирование систем и процессов. 1996. № 4. С. 20–28.

References

1. Prokhorov S.A., Stolbova A.A. Wavelet transformation of uneven processes without reconstruct ignored samples. “Perspektivnye informatsionnye tekhnologii (PIT 2017)”: tr. Mezhdunar. nauch.-tekhnich. konf. [Proc. Int. Sci. and Practical Conf. “Advanced Information Technologies” (PIT 2017)]. Samara, 2017, pp. 154–156 (in Russ.).
2. Chui Ch. An Introduction to Wavelets. Academic Press, NY, 1992 (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 2001, 412 p.).
3. Malla S. A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press, NY, 1999 (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 2005,
   671 p.).
4. Peng Z., Wang G. Novel ECG Eigenvalue Detection Algorithm Based on Wavelet Transform. BioMed Research Int. 2017, vol. 2017, 12 p.
5. Liao K., Xiao R., Gonzalez J., Ding L. Decoding Individual Finger Movements from One Hand Using Human EEG Signals. PLOS ONE. 2014, vol. 9, iss. 1. Available at: http://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0085192 (accessed November 2, 2017).
6. Baevsky R.M., Ivanov G.G., Chireykin L.V., Gavrilushkin A.P., Dovgalevsky P.Ya., Kukushkin Yu.A., Mironova T.F., Prilutsky D.A., Semenov A.V., Fedorov V.F., Fleyshman A.N., Medvedev M.M. Analysis of heart rate variability with various electrocardiographic systems. Vestnik aritmologii [Journal of Arrhythmology]. 2002, no. 24, pp. 65–87 (in Russ.).
7. Mandrikova O.V., Zalyaev T.L. Modeling and analysis of cosmic ray variations during periods of increased solar and geomagnetic activity. Tsifrovaya obrabotka signalov [Digital Signal Processing]. Moscow, 2015, no. 1, pp. 11–16 (in Russ.).
8. Prokhorov S.A. Prikladnoy analiz neekvidistantnykh vremennykh ryadov [Applied Analysis of Nonuniform Time Series]. Samara, SGAU Publ., 2001, 375 p.

9.  Vityazev V.V. Analiz neravnomernykh vremennykh ryadov [Analysis of Uneven Time Series]. St. Petersburg, SPb Univ. Publ., 2001, 68 p.

10.  Galyagin D.K., Frik P.G. Adaptive wavelets (Algorithm for spectral analysis of signals). Matematicheskoe modelirovanie sistem i protsessov [Mathematical Modeling of Systems and Processes]. 1996, no. 4, pp. 20–28 (in Russ.).