Программные продукты и системы

Математический пакет MathCAD, входящий в прикладное программно-математическое обеспечение современных персональных компьютеров, является одним из наиболее популярных средств, предназначенных для решения как чисто математических, так и инженерных задач. Достоинства пакета MathCAD общеизвестны и описаны во многих печатных изданиях, в частности в [1–3]. Простота, доступность, интуитивность пользовательского интерфейса MathCAD приводят к соблазну использовать его для решения достаточно сложных инженерных задач. Действительно, в работах [4–6] и многих других решение математических и инженерных задач реализовано на базе этого математического пакета. Вместе с тем необходимо отметить, что реализация численных методов решения задач, в частности, задач механики деформируемого твердого тела, в системе MathCAD связана с определенными трудностями. Это обусловлено необходимостью обработки достаточно больших объемов информации, с которыми MathCAD зачастую не справляется. К такого типа задачам относятся и задачи расчета строительных и машиностроительных конструкций методом конечных элементов.

Это численный метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений, в основе которого лежит разбиение области решения на конечные элементы произвольных размеров, но, как правило, одной формы [7–9]. Искомая функция (например, функция перемещений или напряже- ний) внутри конечного элемента аппроксимиру- ется, как правило, полиномом, коэффициенты которого выражаются через значения искомой функции в вершинах конечных элементов. В итоге решение задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно значений искомой функции в узлах – вершинах совокупности конечных элементов, покрывающих расчетную область. При этом матрица жесткости, симметричная относительно главной диагонали, имеет, как правило, высокий порядок, хотя и является разреженной. Компоненты матрицы жесткости вычисляются исходя из геометрии рассматриваемой области, способа ее деления на отдельные конечные элементы, а также механических характеристик материала рассчитываемой конструкции. При вычислении перемещений в вершинах конечных элементов матрицу жесткости необходимо обратить. И вот здесь возникают проблемы.

Рассмотрим плоское упругое тело, модуль упругости которого E = 2,1×1011 Па, коэффициент Пуассона m = 0,3. Тело находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния. Разделим тело на три треугольных конечных элемента. Проиллюстрируем это рисунком 1, на котором арабскими цифрами обозначены номера вершин конечных элементов, римскими – номера конечных элементов, дугой со стрелкой – направление обхода вершин конечных элементов внутри каждого конечного элемента. К вершинам совокупности конечных элементов приложены составляющие внешних сил Фxi, Фyi.

Координаты вершин конечных элементов и величины внешних сил, приложенных к вершинам конечных элементов:

Условия равновесия упругого тела выполняются:

Тело находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния, поэтому

Используя пакет MathCAD, вычисляем компоненты матриц жесткости конечных элементов:

КЭ – I: i ® 1, j ® 3, k ® 4.

…

КЭ – II: i ® 1, j ® 4, k ® 2.

…

КЭ – III: i ® 2, j ® 4, k ® 5.

…

Вычисляем компоненты матрицы жесткости K совокупности конечных элементов (в нашем случае матрица жесткости будет десятого порядка). Расчетные формулы будут следующими:

Формируем матрицу жесткости K:

В числах матрица K имеет вид, представленный в таблице 1.

Для проверки правильности вычисления значений компонент матрицы жесткости K вычисляем матрицу K–1 и перемножаем матрицу K на матрицу K–1; в результате должны получить единичную матрицу E, представленную в таблице 2.

Очевидно, что единичная матрица не получается.

Для получения правильного решения введем значения компонент в матрицу K в ручном режиме, сохранив три значащие цифры после запятой (см. рис. 2).

Вновь попытаемся вычислить единичную матрицу:

В этом случае результат положительный. Значит, матрица жесткости, сформированная в ручном режиме, является верной. Подтверждение этому – вычисление напряжений в конечных элементах I, II и III. Так как рассчитываемая конструкция (рис. 1) симметрична относительно вертикали, проходящей через вершину 4, и по геометрии, и по внешним силовым воздействиям, напряжения в конечных элементах I и III должны быть одинаковыми (касательные напряжения должны иметь разные знаки). Расчеты показывают, что этому условию удовлетворяет лишь решение, построенное на основе матрицы жесткости K, сформированной путем ручного ввода значений ее компонент:

Определяем напряжения.

КЭ – I

КЭ – II

КЭ – III

Здесь SI, SII, SIII – площади конечных элементов (м2); sx, sy, txy - напряжения (Па), относящиеся к конечным элементам I, II и III.

Заключение

Для решения задач расчета строительных и машиностроительных конструкций методом конечных элементов возможностей математического пакета MathCAD явно недостаточно. Для задач учебного или иллюстративного характера, когда матрица жесткости имеет небольшую размерность и ее компоненты можно ввести в ручном режиме, возможностей пакета MathCAD вполне хватает и с его помощью можно получить решение задачи. В реальных расчетных задачах матрица жесткости имеет большой порядок (порядка тысяч, десятков и сотен тысяч), а потому для их решения следует использовать специализированные программные комплексы, например ЛИРА [10], SCAD [11], ANSYS [12] и другие.

Полученные результаты могут найти примене- ние при решении задач расчета строительных и машиностроительных конструкций методом конечных элементов с использованием пакетов прикладных программ программно-математического обеспечения персональных компьютеров, в частности, математического пакета MathCAD.

Литература

1.     Бакушев С.В. Компьютерные технологии решения задач в архитектурно-строительном вузе // Смешанное и корпоративное обучение (СКО-2007): тр. Всерос. науч.-методич. симпоз. 2007. С. 110–113.

2.     Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Яворская А.Н., Камоц- кий В.И. Использование пакета MathCAD при подготовке студентов экологических и экономических направлений // Науч. журн. НИУ ИТМО. Сер.: Экономика и экологический менеджмент. 2014. № 2. С. 16–24.

3.     Половко А.М., Ганичев И.В. MathCAD для студента. СПб: БХВ-Петербург, 2010. 336 с.

4.     Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в MathCAD. СПб: Питер, 2005. 448 с.

5.     Бакушев С.В. Сопротивление материалов. Выполне- ние расчетно-графических работ и решение задач с исполь- зованием математического пакета MathCAD. М., 2006.

6.     Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MathCAD. СПб: Лань, 2008. 352 с.

7.     Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред; [пер. с англ. А.П. Троицкого, С.В. Соловьева; под ред. Ю.К. Зарецкого]. М.: Недра, 1974. 240 с.

8.     Розин Л.Ф. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 128 с.

9.     Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 448 с.

10.   LiraLand. URL: http://www.liraland.ru (дата обращения: 16.11.2017).

11.   SCAD Office. URL: http://www.scadsoft.com (дата обращения: 16.11.2017).

12.   ANSYS Discovery Products. URL: http://www.ansys.com (дата обращения: 16.11.2017).