Известно, что в рамках развивающейся в настоящее время теории моделирования и параметризации тестирования (ТМПТ) удается интерпретировать процесс разумно организованного педагогического тестирования как процесс измерения уровня подготовленности испытуемых в определенной области знаний. Результаты измерений (в полной аналогии с измерениями в физике, технике и т.п.) отражаются на метрической шкале логитов и обеспечивают таким образом реальную объективность окончательных оценок испытуемых. Основополагающие идеи в этом направлении впервые были сформулированы датским математиком Рашем в 1960 году. Поэтому семейство логистических моделей, составляющих основу современной ТМПТ, обычно называют моделями Раша [2-4].

В приложении тестирования в образовании задания теста различных трудностей играют роль своеобразного измерительного инструмента, а исходными данными алгоритмов ТМПТ служат так называемые первичные баллы, то есть количество верно выполненных заданий (или определенных частей заданий) каждым испытуемым.

Уникальность ТМПТ состоит в том, что она разрабатывает определенный механизм преобразования формальных наблюдений за исходом событий (первичные баллы) в объективные измерения, то есть в определенные индексы на определенной метрической шкале латентных стимулов этих событий. Принципиальная возможность такого преобразования, собственно, и определяет собой то, что делает тестологию в широком смысле настоящей наукой и позволяет ей количественно решать задачи не только в образовании, но и во многих науках медицинского, социологического и экономического характера.

Цель данной статьи - показать, что соотношение между первичными баллами испытуемых на порядковой шкале и соответствующими оценками в логитах на метрической шкале устанавливается определенной функцией, которую мы называем характеристической. Эта функция в рамках основной логистической модели Раша является исчерпывающей характеристикой теста, и потому служит удобным инструментом сравнения тестов при их конструировании, а также при выравнивании различных вариантов одного и того же теста на единую метрическую шкалу в процессе математической обработки результатов тестирования.

Обсудим сначала суть дела на простейшем численном примере.

Предположим, что тест состоит из k = 5 заданий с известными трудностями  = -1,  = 0,  = 1,  = 2 и  = 3 в логитах. Некоторый испытуемый при работе над этим тестом верно выполнил 3 задания. Требуется оценить его уровень подготовленности , если вероятность  того, что испытуемый с уровнем подготовленности  верно выполнит задание трудности , определяется функцией успеха основной логистической модели Раша вида:

.                                   (1)

Заметим, что в условии задачи не сказано, какие именно 3 задания выполнены верно, а какие 2 задания выполнены ошибочно. Заданному первичному баллу b = 3 могут соответствовать 10 различных строк матрицы индикаторов ответов. Например, 11100, 01110, 00111 и т.д. Согласие этих строк с моделью Раша, конечно, различно - наилучшее согласие дает первая строка из перечисленных (каноническая строка), наихудшее - третья. Однако с точки зрения оценивания  позиции трех единиц в этих пятиэлементных строках, как увидим, не имеют значения. Но для определенности будем иметь в виду первую строку 11100.

Одним из простейших методов математической статистики, предназначенных для отыскания состоятельных оценок латентных параметров, является метод моментов К. Пирсона.

Согласно этому методу, мы должны приравнять теоретический момент (в данном случае математическое ожидание М(b) первичного балла, то есть начальный момент первого порядка) его эмпирическому значению (в данном случае заданному первичному баллу b=3):

M(b)=3.                                                                  (2)

Поскольку при заданных значениях трудностей заданий

              (3)

есть некоторая функция только одной переменной , то вместо М(b) мы будем писать , а равенство (2) перепишем в виде уравнения

=3.                                                                      (4)

Здесь нижний индекс 5 напоминает зависимость  от количества k заданий теста (в данном случае k=5).

Корень последнего уравнения и есть искомая оценка .

Для наглядности мы решим уравнение (4) графически (рис.1).

Таким образом, =1,6 логит.

Эта оценка получена, исходя из строки матрицы ответов 11100. Но если взять вместо нее любую другую строку с k=5 и b=3, то ни функция (3), ни уравнение (4) никак не изменятся и, следовательно, мы получим ту же оценку =1,6.

Итак, имея график функции  по типу рисунка 1, мы легко найдем оценки , соответствующие и другим возможным первичным баллам - 1, 2 или 4.

То же можно сказать и относительно графика функции  при любом другом количестве k заданий в тесте.

Видно, что при заданных трудностях тестовых заданий вся информация, необходимая для оценивания подготовленности испытуемых, содержится только в первичных баллах  испытуемых. Важно только количество верно выполненных заданий из k возможных, а какие именно задания выполнены верно, оказывается, значения не имеет. Этот факт часто вызывает сомнение, поскольку кажется, что верное выполнение трудных заданий должно поощряться больше, чем верное выполнение такого же количества легких заданий. Однако на деле ошибки в легких заданиях необходимо штрафовать с той же мерой, которая используется для поощрения за верное выполнение трудных заданий. Своеобразная компенсация поощрений за то, что человек знает и умеет с наказаниями за то, что он не знает или не умеет, и приводит к тому, что для оценивания уровня подготовленности испытуемых в рамках модели Раша достаточно знать только первичные баллы  (а не всю матрицу индикаторов ответов А). Подчеркнем только, что равным первичным баллам испытуемых соответствуют равные оценки  подготовленности, хотя истинные значения  могут вести себя совсем иначе.

Сказанное полностью справедливо и относительно соответствия между первичными баллами  тестовых заданий и оценками  трудности  этих заданий при заданном контингенте испытуемых. Это позволяет, в частности, пользоваться итерационным процессом последовательного уточнения: сначала находят оценки , полагая оценки  известными, затем уточняют оценки  на основе найденных  и т.д. [3].

Поэтому первичные баллы испытуемых  и заданий  являются достаточными статистиками.

Отметим также, что, если трудности всех заданий увеличить (или уменьшить) на какую-нибудь константу, то и оценка  автоматически изменится на эту константу. При этом разности , j = 1, 2,..., k, определяющие вероятность успешного выполнения заданий, остаются без изменений. Пусть, например,  = 0,  = 1,  = 2,  = 3 и  = 4 в логитах. Тогда  = 2,6 логит. Это означает, что единая шкала, на которой фиксируются оценки обоих латентных параметров в логитах, является метрической (интервальной), но ее начало не определено и может быть выбрано по-разному. Обычно нуль шкалы совмещают со средней трудностью заданий теста. Так, в условиях нашего примера имеем . Поэтому все числовые значения в логитах надо уменьшить на  и полагать = -2, = -1, =0, =1, =2, =0,6.

Левая часть уравнения (4), то есть функция  уровня подготовленности  испытуемых, при заданных значениях трудностей пяти тестовых заданий является исчерпывающей характеристикой соответствующего теста и устанавливает взаимно однозначное соответствие между первичными баллами bi=1, 2, 3, 4 и окончательными оценками уровня подготовленности  в логитах (рис. 1). Если поделить функцию  на количество k заданий в тесте (в данном случае k=5), то получим взаимно однозначное соответствие между окончательными оценками уровня подготовленности  в логитах и первичными процентными баллами %=20%, 40%, 60%, 80%.

Пусть в общем случае тест состоит из k заданий с трудностями , , ... , . Функцию одной переменной  вида

               (5)

назовем характеристической функцией теста (ХФТ). Ее область определения включает весь диапазон уровня подготовленности испытуемых, ; ее значениями служат соответствующие первичные процентные баллы b%(0; 100).

Если, в частности, k=1, то ХТФ совпадает с характеристической функцией соответствующего тестового задания р(q;d1).

Знание ХФТ равносильно знанию точного соответствия между первичными процентными баллами и окончательными оценками уровня подготовленности испытуемых в логитах.

Аналогично вводится понятие и характеристической функции контингента (ХФК) испытуемых:

                 (6)

где  - первичный процентный балл тестовых заданий; n - количество испытуемых; i=1, 2,..., n.

В следующих разделах выведены аналитические выражения ХФТ под условием определенных предположений о распределении трудностей заданий составляемого теста.

ХФТ при равномерном распределении трудностей тестовых заданий

Найдем характеристическую функцию  теста, содержащего произвольное количество k заданий, при условии, что трудность каждого задания теста может иметь равновероятно любое значение от  до . Здесь  и  - любые действительные числа, такие что  < .

В указанных условиях математическое ожидание каждого слагаемого выражения (5) имеет вид

.        (7)

Поэтому первичный процентный балл в среднем определяется как

.                                   (8)

Интегрируя, имеем:

.                (9)

Если a= –g, а , где  - любая положительная константа, то

                           (10)

Предположим теперь, что тест состоит из k заданий, трудности  которых равномерно покрывают промежуток от –g логит до >0 логит с постоянным шагом . Убедимся, что в таком случае характеристическая функция  теста в среднем приближенно совпадает с аналогичной функцией, описанной уравнением (10), причем тем ближе, чем больше количество тестовых заданий k.

В самом деле, если , то

 (11)

Сдвиг начала отсчета приводит к изменению всех параметров , , ..., ,  на одну и ту же константу. Поэтому их разности не меняются и, следовательно, не меняется характеристическая функция теста. Чтобы устранить неопределенность, нуль шкалы фиксируют в какой-нибудь подходящей точке, например в точке . Таким образом, ХФТ вида (11) зависит только от одного параметра >0.

На рисунке 2 показан график выведенной ХФТ вида (10), (11) при , , где =3 логита, то есть при .

Например, первичному баллу b=26 при общем количестве тестовых заданий k=40 соответствует процентный первичный балл =65 и уровень подготовленности =1 логит.

ХФТ при нормальном распределении трудностей тестовых заданий

Рассмотрим теперь ХФТ (5)

                                  (12)

в условиях, когда трудности , , ... ,  тестовых заданий j=1, 2,...,k распределены по нормальному закону с математическим ожиданием m логит и средним квадратическим отклонением  логит.

В связи с этим функцию успеха (1)  удобно обозначить как , где х=, то есть

.                                                    (13)

Она известна в математике как функция логистического распределения вероятностей [1], ее значения с точностью до сотых долей совпадают со значениями функции распределения F нормального закона. Надо только изменить масштаб аргумента, исходя из равенства

.                                          (14)

Точный смысл этого утверждения состоит в следующем:

.                 (15)

В указанных условиях математическое ожидание каждого слагаемого выражения (12) имеет вид

, (16)

где f(t) - плотность центрированной и нормированной нормальной случайной величины.

Поэтому первичный процентный балл в среднем определяется как

.         (17)

Учитывая (14), выражение (17) перепишем в виде

.        (18)

Этот интеграл вычисляется с помощью известного соотношения для нормального распределения:

.                (19)

В нашем случае , и потому

  .

Другими словами, в (19)  и .

Следовательно,

                   (20)

Видим, что ХФТ зависит только от , так как параметры m и  фиксированы. Если ввести обозначение

                                               (21)

и вспомнить равенство (13), то получим окончательно:

.                               (22)

На рисунке 3 показаны графики четырех ХФТ, различающихся параметрами m и  нормального закона, по которому распределены задания соответствующих тестов.

Изменение математического ожидания m, как видим, приводит к параллельному переносу кривой вдоль оси абсцисс, а поворот кривой вокруг точки  является следствием изменения среднего квадратического отклонения .

Сравнение ХФТ при различных распределениях трудностей заданий

Ранее мы получили усредненную ХФТ при условии, что трудности заданий распределены или равномерно на отрезке [-3; 3], или по нормальному закону. Соответствующие графики отличаются друг от друга в зависимости от параметров нормального закона m и .

Если m=0 и =1, то человек с уровнем подготовленности >0 в среднем верно выполнит больший процент предложенных тестовых заданий, если их трудности распределены по нормальному закону, чем в случае равномерного распределения трудностей, но при <0 картина обратная. С уменьшением  расстояние между кривыми увеличивается.

Если m=0 и =2, то графики обеих ХФТ очень близки. Дальнейшее увеличение среднего квадратического отклонения противоречит тому, что трудности заданий должны находиться на отрезке [-3; 3].

Характеристическая функция  является исчерпывающей характеристикой соответствующего теста. Однако на практике часто удобно пользоваться не всей ХФТ, а лишь ее числовыми характеристиками. В качестве таких числовых характеристик естественно выбрать среднее местоположение характеристической кривой относительно нуля на шкале логитов и средний наклон характеристической кривой относительно оси абсцисс. Речь идет о средней трудности m всех тестовых заданий и о значении d первой производной  от ХФТ в точке =m. Числа m и d будем называть существенными параметрами ХФТ. Они однозначно определяют функцию вида

,                 (23)

позволяющую аппроксимировать любую реальную ХФТ.

Как видим, правая часть равенства (23) совпадает с известной функцией успеха Бирнбаума (наличие коэффициента пропорциональности 100 не меняет, конечно, сути дела). В условиях модели Бирнбаума речь идет, как известно, о вероятности верного выполнения одного тестового задания трудности m любым испытуемым с уровнем подготовленности . При этом константа d называется коэффициентом дискриминации, поскольку характеризует способность этого задания отделить в окрестности =m хорошо подготовленного человека от слабо подготовленного. Производная функции (23) в этой точке =m равна 25d.

В наших рассуждениях функция (23) играет роль лишь некоторого инструмента, позволяющего назвать существенные параметры имеющейся ХФТ в целом. Так, например, ХФТ (7) при равномерном распределении трудностей тестовых заданий лучше всего аппроксимируется функцией (23) с параметрами m=0 и d=0,68, а существенные параметры ХФТ (22) при нормальном распределении трудностей с m=0 и =1 имеют величины m=0 и d=0,86. Из этого можно заключить, что при одинаковой средней трудности теста m нормальное распределение трудностей заданий более предпочтительно, чем равномерное на отрезке [-3; 3].

Если иметь в виду дискриминацию только в окрестности средней трудности теста, то этот результат можно получить и без привлечения аппроксимирующей функции (23). В самом деле, поскольку для ХФТ нам известны аналитические выражения (10) и (22), то мы можем продифференцировать их и вычислить значения производных в точке =m. Проделав эти вычисления, получим:

=25d – для аппроксимирующей функции (23);

=15 – для ХФТ при равномерном распределении трудностей заданий на отрезке [-3; 3], откуда следует d=0,60;

 – для ХФТ при нормальном распределении, откуда следует d=0,86 при =1.

Заметим, что аппроксимирующая функция (23) с d=0,60 совпадает с ХФТ (10) только в узкой окрестности точки m=0. Аппроксимация в среднем по всему отрезку [-3; 3] лучше выполняется при несколько другом значении d=0,68.

Что касается ХФТ при нормальном распределении (22), то при =1 она полностью совпадает с функцией (23) при d=0,86.

Таким образом, при одинаковой средней трудности теста m нормальное распределение трудностей заданий с =1 более предпочтительно, чем равномерное на отрезке [-3; 3].

Аналогично можно устанавливать существенные параметры ХФТ при наличии только ее табличных значений. Рисунок 4 иллюстрирует определение существенных параметров таблично заданной ХФТ по физике, состоящего из 40 заданий (общероссийское централизованное тестирование 2002 г.). Оценки параметров m=0,4 и d=1,05 позволяют судить о средней трудности и коэффициенте дискриминации не отдельного задания, а всего теста в целом.

Понятие ХФТ и ее существенные параметры m и d позволяют сравнивать между собой тесты в целом. В частности, показано, что распределение трудностей тестовых заданий по нормальному закону в среднем имеет преимущество по сравнению с равномерным распределением, поскольку коэффициент дискриминации при нормальном распределении почти в полтора раза превышает аналогичный параметр при равномерном распределении. Наибольший интерес, однако, представляет возможность количественно сравнивать тесты при реальном распределении трудностей тестовых заданий, то есть при таком распределении, которое лишь приближенно соответствует каким-нибудь намерениям. Например, какие практически создаваемые тесты можно считать параллельными? По мнению автора, тесты одинаковой содержательной валидности следует считать параллельными, если их характеристические функции совпадают. Расстояние между этими функциями в той или иной метрике может служить количественной мерой непараллельности тестов. В ослабленном виде можно сравнивать не сами характеристические функции, а их существенные параметры.

В связи с указанной возможностью характеристические функции различных вариантов одного и того же теста полезно использовать при решении проблемы выравнивания этих вариантов и при отображении всех результатов тестирования на единую шкалу.

Список литературы

1.  Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. – М., 1999.

2.  Rasch Models. Foundations, Resent Developments and Applications. Editors Fisher G.H., Molenaar I.W. New York, Berlin, 1997, Springer, 436 p.

3.  Нейман Ю.М., Хлебников В.А. Введение в теорию моделирования и параметризации педагогических тестов. - М.: Прометей, 2000. - 169 с.

4.  Нейман Ю.М., Хлебников В.А. Педагогическое тестирование как измерение. - М.: Прометей, 2003. - 70 с.