Программные продукты и системы

По мнению некоторых авторов [1], плохая точность прогнозов случайных процессов объясняется, в частности, тем, что для прогнозов применяются слишком простые (линейные или квадратичные) уравнения прогнозирования. Чрезмерное усложнение вида модели прогноза неизбежно ведет к возрастанию числа ее параметров, подлежащих оцениванию, со всеми вытекающими проблемами. Не спасает ситуацию и применение такого универсального аппроксиматора, как нейронные сети [2]. Несмотря на определенные успехи их применения в задачах прогноза, нейросетевой подход обладает существенными недостатками, главными из которых являются: требуемый большой объем обучающей выборки и плохие экстраполирующие свойства (точность прогноза не гарантируется).

Между тем использование фундаментальных принципов моделирования, в частности принципа множественности моделей, как будто показывает другой, более перспективный путь повышения точности прогноза. Согласно данному принципу, для каждого объекта (процесса) разрабатывается не одна, а множество различных моделей. Отметим, что наиболее последовательно идея множественности моделей реализована в предложенном Л.А. Растригиным и Р.Х. Эренштейном так называемом методе коллективного распознавания образов [3]. По сути, указанный принцип реализован и в методах кусочной аппроксимации, в которых сложная модель объекта аппроксимируется простыми функциями в пределах отдельных областей пространства входов, то есть модель сложного вида представляется как совокупность простых «кусков» (моделей более простого вида).

Основываясь на рассмотренном принципе, введем в рассмотрение широкий класс процессов, охватываемых следующим определением.

Определение 1. Под процессами сложной структуры будем понимать существенно стохастические и нестационарные процессы, протекание которых во времени адекватно отображается ансамблем (совокупностью, множеством) моделей.

Приведем несколько примеров процессов сложной структуры:

-         процесс изменения курса рубля по отношению к доллару США за последние 5 лет (до дефолта, в период дефолта и после него);

-         процесс температурной реакции человека при инфекционном заболевании (до и после начала медикаментозного лечения);

-         работа радиолокационной системы поиска и слежения за воздушными объектами (здесь характерно то, что на разных этапах решаются различные задачи: вначале обнаружение, затем слежение; алгоритмы работы системы на этих этапах различны, однако связаны между собой конечными условиями; сами моменты перехода с поиска на слежение и наоборот в рассматриваемой системе будут случайными как из-за наличия шумов и помех, так и за счет случайного характера траектории полета объекта).

Отметим, что все рассмотренные выше процессы целесообразно отобразить несколькими моделями на различных временных интервалах. При этом трудно указать на причину перехода от одной модели к другой. В некоторых случаях можно лишь отметить некоторые характерные отличия этих моделей и попытаться выделить характерные упреждающие процессы-индикаторы, оказывающие влияние на интересующий нас процесс.

Укажем, что понятие сложный в теории моделирования, вообще говоря, известно, но относится оно обычно к системе или объекту (сложная система, сложный объект), и смысл его отличается от использованного в приведенном определении.

Отметим, что еще одним (дополнительным) способом повышения точности прогноза является использование так называемых «упреждающих индикаторов» – процессов, связанных с рассматриваемым некоторой причинно-следственной связью.

Но введение в ансамбль моделей процессов-индикаторов (в качестве входных сигналов для этих моделей, естественно) приводит к понятию систем с переменной или случайной структурой [4-7]. В связи с этим исследование процессов сложной структуры сводится к задачам исследования таких систем.

Определение 2. Динамические системы, свойства которых скачкообразно изменяются в случайные моменты времени, называются системами со случайными изменениями структуры (ССС), имеющей определенное число состояний.

Замечание. Не следует смешивать понятия состояния структуры и текущего состояния динамической системы. Первое относится к пространству структур, второе – к обычному пространству состояний системы с заданной структурой.

Будем рассматривать ССС с конечным числом структур, равным S. Процессы в такой системе удобно изображать как показано на рисунке, где индексами 1, …, i, …, j, …, S обозначены структуры системы, буквами  – векторы состояний в r-й структуре,  – векторы воздействий. Случайные моменты времени t1, t2, … соответствуют смене структуры, а для каждой из них состояние  является непрерывной функцией времени и подчиняется своим уравнениям. Штриховые линии на рисунке отображают возможные направления перехода от одной структуры к другой.

Отметим, что в [6] вероятностные задачи анализа и синтеза ССС рассмотрены на основе процесса функционирования этих систем как многомерного марковского случайного процесса с поглощением и восстановлением реализаций.

К системам со случайной структурой близок класс систем с переменной структурой. Этот класс достаточно широк и включает системы, имеющие несколько детерминированных структур, переход в которые возможен в случайные моменты времени по случайному закону или в зависимости от значений некоторых фазовых координат или их комбинаций.

Практическое применение имеют системы управления, в которых связи между функциональными элементами меняются в зависимости от состояния, – это системы с переменной структурой управляющего устройства. Наконец, системы с возможными нарушениями, в которых возможен случайный отказ функционирования некоторых цепей в случайные моменты времени.

Естественным обобщением таких систем являются системы со многими детерминированными структурами (мультиструктурные системы), переход в которые совершается в случайные моменты времени, зависящие или не зависящие от состояния. Более общим классом систем с переменной структурой являются такие, которые не имеют определенного набора детерминированных структур, а имеют вероятностные связи между составляющими их элементами. Такой класс систем требует другого, более сложного математического описания, чем дифференциальные, интегральные или функциональные уравнения.

Заметим, что достаточно общая теория систем со случайной структурой может быть получена лишь в рамках определенных ограничений. Такими рамками, в частности, могут служить условия марковости, накладываемые на процессы tk и .

Рассматриваемый в данной статье класс процессов сложной структуры является более общим по отношению к классу случайных марковских процессов, так как не предполагает наличие вероятностных связей состояния в некоторые моменты времени. Поэтому условия марковости для рассматриваемых ниже математических моделей являются некоторым ограничением.

Пусть для каждой из S возможных структур система описывается векторными стохастическими дифференциальными уравнениями

,                 (1)

где  – вектор состояния системы в l-й структуре размерности nl; f(l) – нелинейная векторная функция; x(l) – вектор нормальных случайных процессов типа белого шума с ковариационной матрицей

.

При некоторых предположениях относительно свойств функции f(l) реализации  в каждой структуре будут отрезками непрерывных марковских процессов, а процесс в целом будет разрывным. При условии выполнения в дальнейшем этих предположений для каждой структуры в отдельности можно записать уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) [7,8] для плотности вероятности фазовых координат p(x,t), имеющее следующий вид:

.     (2)

В основе теории ССС лежит возможность составления уравнения типа (2) для каждого из состояний системы. Эти уравнения называются обобщенными уравнениями ФПК.

В работах [5,6] показано, что если условия смены структур зависят только от текущих значений фазовых координат или не зависят от них и образуют марковский случайный процесс с S конечными состояниями, то для ненормированных функций плотности вероятности получается следующая система обобщенных уравнений ФПК:

  (3)

где вектор плотности потока вероятности Pl находится по (1) обычным способом, но с использованием ненормированных функций плотности вероятности. Функция vl называется функцией поглощения и определяется условиями переходов от одной структуры к другой, а ul – функция восстановления, вид которой зависит от начальных условий при включении последующей структуры.

В окончательном виде обобщенное уравнение ФПК систем со случайными изменениями структуры и распределенными переходами имеет вид:

   (4)

Таким образом, статистическое описание ССС (марковских) дается системой из S интегродифференциальных уравнений, связанных друг с другом функциями поглощения и восстановления. В указанных выше работах аналогичные уравнения получены и для систем с сосредоточенными переходами.

Для систем рассматриваемого класса в литературе приведены результаты исследования задач: поиска и слежения, оптимального управления, оптимальной фильтрации.

Из данных задач к задаче прогноза (экстраполяции) близка только третья.

В [4] отмечается, что в условиях негауссовой статистики получить уравнения оптимального фильтра в замкнутой форме невозможно, и для решения задачи приходится прибегать к приближенным способам, дающим квазиоптимальное решение. Одним из наиболее распространенных при этом является способ, основанный на гауссовом приближении функций апостериорной плотности вероятности . Как известно, в этом случае получается приближенная замкнутая система уравнений, включающая уравнения для апостериорных вероятностей структур, уравнения оценок состояний и уравнения апостериорных корреляционных моментов, характеризующих текущую точность фильтрации. При этом к структуре оптимального фильтра дополнительно добавляется блок выработки корреляционных моментов, или блок точности. Гауссовская аппроксимация апостериорной плотности вероятности удобна тем, что получающиеся при этом алгоритмы сравнительно несложно реализовать вычислительными средствами. К сожалению, до настоящего времени отсутствуют методы оценки точности и пригодности указанной аппроксимации в задачах фильтрации, что приводит к определенным трудностям при ее применении.

Список литературы

1.  Ивахненко А.Г., Зайченко Ю.П., Димитров В.Д. Принятие решений на основе самоорганизации. - М.: Сов.радио, 1976.

2.  Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. - М.: Горячая линия – ТЕЛЕКОМ, 2001.

3.  Растригин Л.А., Эренштейн Р.Х. Метод коллективного распознавания. - М.: Энергоиздат, 1981.

4. Справочник по теории автоматического управления/ Под ред. А.А. Красовского. - М.: Наука, 1987.

5. Артемьев В.М. Теория динамических систем со случайными изменениями структуры. - М.: Высш. шк., 1979.

6.  Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. - М.: Наука, 1980.

7. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. - М.: Сов. радио, 1975.

8. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. - М.: Сов. радио, 1965.