Software & Systems

Пусть имеется m независимых реализаций

,       ,      ,

случайного процесса

,                                         (1)

где s(t) – детерминированная вещественная функция вещественного переменного – неизвестный сигнал, подлежащий оцениванию, аддитивный шум n(t) считаем некоррелированным гауссовским процессом с нулевым средним и дисперсией s 2(t). Модель (1) описывает широкий класс процессов, если считать производную случайного сдвига , как и n(t), гауссовским белым шумом, то есть t(t) – процессом с независимыми приращениями.

Согласно методу максимального правдоподобия максимизируется условная вероятность выборки по параметрам статистического распределения. В данной задаче реализованные сдвиги ti(t) не являются наблюдаемыми величинами, поэтому следует максимизировать совместную условную плотность вероятности a(t) и t(t) при искомых s(t) и ti(t). Этот подход приводит к вариационной задаче:

.

В каждом из интегралов рассмотрим замену переменной , положим  и m= s1-2s 2. Уравнения Эйлера приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые упрощаются при априорной информации о низкочастотности сдвигов по сравнению с сигналом – при s1<<1 имеем , и форма сигнала катастрофически не искажается. Таким образом,

,

. (2)

Первое из этих уравнений, замыкающее остальные, выражает тот факт, что оценкой сигнала является сумма функций с определяемыми из этой же системы уравнений сдвигами в аргументах.

Естественно итерационное (зейделевское) решение этой системы. Предлагается численное решение нелинейных дифференциальных уравнений (2), основанное на линеаризованной неявной разностной схеме:

,                  (3)

где предполагается симметричная разностная аппроксимация второй производной, опущен номер реализации,

,

естественные граничные условия. Так как gk³0, то прогонка для (3) устойчива. Пусть  – решение краевой задачи (3), для невязки  имеем уравнение:

.        (4)

В отсутствие в модели (1) аддитивного шума (s®0)

,

уравнение (3) аппроксимирует (2), . Далее, правая часть (4) есть , и так как gk³0, то в силу принципа максимума [1] , то есть схема (3) обладает квадратичной сходимостью в некоторой окрестности решения. Таким образом, справедлива ТЕОРЕМА: «В малом» – при высоком отношении сигнал-шум – численный метод (3) решения нелинейных уравнений (2) сходится к точному решению квадратично.

В случае двух заданных функций (m=2) может стоять вопрос об определении относительного сдвига , в соответствии с которым осуществляется интерполяция между ними:

.

В приближении малости аддитивного шума, рассматривая сумму и разность уравнений (2), получаем:

,

численное решение аналогично общему случаю.

В рамках предложенной статистической модели возможно получить оценку m из самих данных. Ранее [2,3] мы получили те же уравнения для определения сдвигов исходя из эвристической модели минимизации штрафной «энергии».

1.   Самарский А.А. Теория разностных схем. - М., Наука, 1989.

2.   Масюков А.В. Алгоритмы обработки цветокодированных изображений функций двух переменных. //Программные продукты и системы. – 1997. - № 3. - С. 34-35.

3.   Масюков А.В. Сходимость фазовой коррекции, основанной на квазиупругих деформациях сигналов. // Применение функционального анализа в теории приближений. - Тверь, ТвГУ. – 1998. - С. 148-151.