В многономенклатурных химических производствах из-за структурных модификаций ассортимента выпускаемой продукции часто возникает так называемая задача размещения технологических процессов ее получения на действующих установках, функционирующих в дискретном режиме. Содержательно задача состоит в установлении наличия необходимого технологического оборудования, материалопроводов, резервов мощности и в оптимальном распределении технологических процессов по аппаратурным схемам.

Пусть требуется разместить множество технологических процессов получения продуктов модифицированного ассортимента на аппаратурных схемах действующего производства. Аппаратурная схема Gi(Ai,Ui);, где Ai – аппаратурный состав, характеризующийся векторами значений параметров Xi = (xi1, xi2, ..., xin), а Ui – материалопроводы, характиризующиеся векторами значений параметров Zi = (zi1, zi2, ..., zim). Значения Xi и Zi выделяют некоторые замкнутые области Ei гиперпространства параметров. Структурная модель аппаратурной схемы Gi имеет вид графа Gi¢(Ai¢,Ui¢ ), в котором Ai¢ – множество вершин, а Ui¢ – множество дуг. Ориентация графа Gi¢ задается отображением Wi: Ui¢ ® Ai¢ ´ Ai¢, в результате которого получается ориентированный граф GiW= (Ai¢, Wi, Ui¢) [1] .

По виду материальных связей между аппаратами различают трубопроводные и беструбопроводные аппаратурные схемы. В первых схемах транспорт порций промежуточных продуктов осуществляется по технологическим трубопроводам из подающих аппаратов в принимающие либо непосредственно, либо через демпфирующие емкости-накопители; во вторых схемах трубопроводные связи между аппаратами отсутствуют, а перемещаются технологические аппараты. Структурной моделью беструбопроводных систем является сильно связный граф. На рисунке 1 приведен пример графов, являющихся структурными моделями трубопроводной и беструбопроводной систем.

Многостадийный технологический процесс Sj(Oj, Rj);, где Oj – технологические стадии, характеризующиеся значениями векторов параметров Yj=(yj1,yj2,...,yjn), а Rj – материальные потоки, характеризующиеся параметрами Wj = (wj1, wj2, ..., wjm). Множество значений Yj и Wj выделяют области Fj гиперпространства параметров. Структурной моделью технологического процесса Sj является граф Sj¢(Oj¢, Rj¢), где Oj¢ – множество вершин, Rj¢ – множество дуг.  Ориентация графа Sj¢ задается отображением Yj : Rj¢ ® Oj¢ x Oj¢, в результате которого получается ориентированный граф SjY¢= (Oj¢, Y j, Rj¢) [1]. Принципиально разместить процесс Sj на аппаратурной схеме Gi возможно, если граф SjY¢(Oj¢, Y, Rj¢) является подграфом графа GjW¢(Ai¢, W, Ui¢), то есть SjW¢ Í GiW¢, а область гиперпространства Fj режимных параметров Yj является подмножеством области Ei гиперпространства конструкционных параметров, то есть Fj Í Ei. На рисунке 2 приведены графы G¢, S1¢, S2¢, S3¢. Графы S1¢, S2¢ являются подграфами графа G¢, а граф S3¢ не является таковым.

Для определения реальной возможности размещения новых технологических процессов на аппаратурных схемах действующего производства необходимо наличие свободных мощностей.

В общем случае возможны множества допустимых вариантов размещения; для нахождения оптимального варианта необходимо решить модифицированную задачу о назначениях, которая имеет следующий вид:

,                                              (1)

при ,                                        (2)

 ,                                                (3)

,                                         (4)

,                                             (5)

,                                (6)

.                                       (7)

Ограничения (2-5) имеют следующий смысл: (2) – количество технологических схем, на которых может быть размещен каждый продукт, не должно превышать их наличного количества в группе; (3) – количество продуктов, размещаемых на каждой схеме, не должно превышать общего числа продуктов в группе; (4) – объем выпуска каждого продукта не должен превышать заданного значения; (5) – все продукты ассортимента должны быть произведены в течение фонда времени T0.

Для трубопроводных систем, в которых технологические аппараты взаимодействуют непосредственно:

,         (8)

,               (9)

. (10)

Рис. 2. Графы аппаратурной (G¢) и технологических (S¢1,S¢2,S¢3) схем

Для размещения технологических процессов в беструбопроводных аппаратурных схемах выполнение условий (6)-(7) означает наличие и адекватность только аппаратурного состава схемы.

Для трубопроводных систем, в которых технологические аппараты взаимодействуют через вспомогательные емкости-накопители, справедливы следующие дополнительные условия:

,  (11)

,(12)

Рис. 3. Графики загрузки (1), разгрузки (2,2¢,2²) демпфирующей емкости и изменения объема реакционной массы в ней (3,3¢,3²) при различных значениях Dt

где .                   (13)

Вид функций  и, следовательно, функции  определяется режимом работы взаимодействующих технологических аппаратов, который может быть непрерывным или периодическим, а также способом разгрузки подающих аппаратов в емкость и загрузки принимающих аппаратов из емкости [2]. При периодическом режиме работы взаимодействующих аппаратов и осуществлении транспортных операций насосом эти функции имеют следующий вид (рис. 3).

, (14)

,(15)

,                         (16)

,                             (17)

,(18)

,              (19)

.                                   (20)

Правило изменения n, n¢ в формулах (14-15) изложено ниже.

В общем случае  является периодической разрывной мультимодальной функцией, удовлетворяющей условию Дирихле; функции uijkmax()=, uijkmin() =  – монотонновозрастающие по  (рис. 4), а функция

дискретна по j.

Рис. 4. Зависимость объемов реакционной массы в

демпфирующей емкости от интервала времени между моментами первых загрузки и разгрузки

Описание алгоритма

Задача размещения технологических процессов на действующем оборудовании решается в два этапа. Первый этап образует модифицированный алгоритм покрытия графа, обеспечивающий допустимое распределение продуктов по технологическому оборудованию [3]. Второй этап заключается в поиске оптимального варианта их распределения, и представляет собой модифицированный алгоритм задачи о назначениях.

Модификация алгоритма покрытия графа заключается в оценке соответствия значений параметров аппаратов значениям параметров технологического процесса, осуществляемого по его соответствующим моделям.

Для каждого графа Gi¢ определим, является ли граф Sj¢ его подграфом. Содержательно это эквивалентно группировке продуктов модифицированного ассортимента, при которой определены группы, отнесенные к каждой из аппаратурных схем. Таким образом, ассортимент P оказывается декомпозирован на пересекающиеся классы Pi, где Pi – группа продуктов, которая принципиально может быть произведена в аппаратурной схеме i. Тогда:

.                                                        (21)

Зная объем выпуска каждого продукта, оставшегося в ассортименте, рассчитаем интервал времени Ti, в течение которого аппаратурная схема i свободна; если продукты выпускаются последовательно, то

.                           (22)

Тогда Ti представляет интервал времени, в течение которого на схеме i могут производиться продукты, вновь включенные в ассортимент.

Алгоритм второго этапа зависит от типа аппаратурной структуры химико-технологи­ческой системы, на которой размещаются технологические процессы: при непосредственной связи аппаратов он представляет собой одноуровневый алгоритм, а при наличии емкостей двухуровневый.

Задача оптимального размещения (1)-(10) в системах с непосредственной связью аппаратов является дискретной задачей, содержащей дискретные переменные b и целочисленные a, а аналогичная задача (1)-(20) для систем, содержащих демпфирующие емкости – частично-дискретной задачей, содержащей, кроме переменных b и a, непрерывные переменные Dt.

Произведем замену дискретных переменных b [4]:

.                          (23)

С учетом замены переменных (23) критерий оптимальности (1) примет вид:

                                      (24)

при ограничениях (2)-(10) и условии

,                                 (25)

являющемся аналогом ограничения (4) для систем с непосредственным взаимодействием аппаратов и ограничениях (2,3,5-7,11-20) – при наличии в системе емкостей.

Замена дискретных переменных целочисленными позволяет применить для решения задачи размещения в системах с непосредственной связью аппаратов алгоритм квадратичного целочисленного программирования [5], а при наличии в системе демпфирующих емкостей – двухуровневый алгоритм, верхний уровень которого является алгоритмом квадратичного целочисленного программирования, а нижний – алгоритмом оптимизации по непрерывным переменным Dt.

Нижний уровень алгоритма заключается в определении экстремальных значений объема реакционной массы, содержащейся в демпфирующей емкости в течение ее технологического цикла и такого значения Dt, при котором максимум был бы минимальным, а минимум равным нулю. Экстремальные значения функции u(t, Dt) ищутся в пределах ее периода Q, который равен аликвотной части продолжительности технологических циклов группы взаимодействующих аппаратов. Для обеспечения конечности алгоритма расчета Q масштабированием по времени заменим действительные числа  и  их натуральными эквивалентами  и , что дает возможность рассчитывать период Q как наименьшее общее кратное  и . Последнее определяется по формуле:

,                               (26)

где  – наибольший общий делитель  и . Последний может быть рассчитан по алгоритму Евклида.

Значения функции  рассчитываются по следующему алгоритму. Так как  и оптимальное значение  должно удовлетворять условию

,                                (27)

то  находится методом деления интервала  в отношении золотого сечения; при этом число n загрузок демпфирующей емкости до момента ее первой разгрузки определяется условием:

.                                               (28)

Очевидно, что при этом n¢=1.

Далее значения функции  рассчитываются на интервале , а содержащиеся в формулах (14),(15) величины n, n¢ изменяются в соответствии с алгоритмом:

n=n+1, если ,                       (29)

n¢=n+1, если .            (30)

Так как  в общем случае мультимодальная кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая условию Дирихле, то вместо экстремума в обычном смысле, который для функций этого класса не определен, будем искать обобщенный экстремум в виде последовательности аппроксимационных экстремумов методом аппроксимационного градиента [5], в результате которого найдем:

,                       (31)

.                        (32)

В целях унификации алгоритма оптимизации вместо будем искать

.                     (33)

Затем найдем

Оба эти условия достигаются при

.                                                    (36)

Описанная выше процедура повторяется для всех продуктов системы с целью поиска

                                                     (37)

для оптимизации объема демпфирующих емкостей.

Разработанный комплекс алгоритмов гарантирует оптимальное размещение технологических процессов при структурных модификациях ассортимента продукции и изменениях конъюнктуры потребительского рынка, что во многих случаях позволяет избежать разработки и проектирования новых производств или реконструкции действующих. Развиваемый подход ориентирован на детерминированные технологические системы и не учитывает характерную для некоторых производств неопределенность исходной информации и параметров моделей. Однако при наличии необходимого статистического материала и при незначительной модификации разработанный комплекс алгоритмов может быть применен при решении задачи размещения в условиях неопределенности.

Обозначения в формулах

а – количество значений дискретной переменной;

c – стоимость получения продукта;

g – массовый размер порции продукта;

I – количество аппаратурных схем;

IGi – количество стадий в аппаратурной схеме;

i – текущий номер аппаратурной схемы;

Ij – количество схем, на которых может быть размещен продукт j;

Ji – количество продуктов, которые могут быть размещены на схеме i;

Jp – количество размещаемых технологических процессов;

j – текущий номер технологического процесса;

k – текущий номер стадии технологического процесса;

m – размерность пространства конструкционных параметров технологических трубопроводов и материальных потоков;

N – количество параллельных аппаратов;

n – размерность пространства конструкционных параметров аппаратов и режимных параметров технологических процессов;

Q – объем выпуска продукта;

s – материальный индекс;

t0 – момент начала первой загрузки емкости-накопителя;

t – время;

U – объем емкости-накопителя;

u – объем реакционной массы в емкости-накопителе;

u* – максимальный объем реакционной массы в емкости-накопителе;

 – функция загрузки емкости-накопителя;

 – функция разгрузки емкости-нако­пителя;

V – объем технологического аппарата;

a – бинарные переменные;

b – количество порций продукта;

Q – период функции ;

t – продолжительность цикла аппарата;

 – продолжительность транспортной операции;

 – продолжительность технологической операции;

 – продолжительность цикла установки;

 – интервал времени между первыми загрузкой и разгрузкой емкости-накопителя;

 – продолжительность технологического цикла аппарата периодического действия;

 – объем порции продукта, поступающего из подающего аппарата в емкость-накопитель;

 – объем порции реакционной массы, выгружаемой из емкости-накопителя в принимающий аппарат;

 – минимальное и максимальное значение коэффициента заполнения объема аппарата.

Список литературы

1. Лескин А.А. Алгебраические основы задачи выбора оборудования гибких производственных систем. - В кн.: Проблемы автоматизации и производственных процессов. - М.: Наука, 1985.- 262 с.

2. Макаров В.В. // Теоретич.осн.хим.технол. - 1994. - Т. 28. - №5. - С.453-464.

3. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. - М.: Мир, 1982.- 416 с.

4. Хохлюк В.И. Параллельные алгоритмы целочисленной оптимизации. - М.: Радио и связь, 1987.- 224 с.

5. Pierce J.F., Crowston W.B. // Nav.Res.Log.Quart.-1971,V.18, №1, p.1-36.

6. Батухтин В.Д., Майборода Л.А. Оптимизация разрывных функций.- М.: Наука, 1984. -208 с.