Существует немало программных продуктов, позволяющих прогнозировать процесс эпидемии, строить динамику распространения инфекции в однородном сообществе, зная начальные данные и интенсивность управления. Данный программный продукт в отличие от предыдущих учитывает три различных вида управления, направленных на погашение инфекции сразу в n различных группах.
Рассмотрим динамику управляемого процесса распространения эпидемии в неоднородном сообществе, состоящем из n возрастных групп, в виде следующей системы дифференциальных уравнений:
(1)
,
,
,
,
, (2)
где
и
– число подверженных заболеванию и инфицированных в i-й группе (i=1, …, n) в момент t;
– функция, характеризующая скорость заражения подверженных заболеванию из i-й группы от инфицированных из j-й группы с вероятностью
(
);
– количество людей, восстановивших за единицу времени свое здоровье в i-й группе без воздействия внешних средств: карантина, вакцинации и др. (
– среднее время естественного выздоровления);
– коэффициент естественной смертности людей в i-й группе;
– коэффициент смертности от данной инфекции в i-й группе;
– средний показатель рождаемости в i-й группе;
– доля вакцинированных среди подверженных заболеванию в i-й группе;
– доля больных, отправленных на карантин;
– доля людей, подверженных заболеванию, на которых успешно воздействовали с помощью программы «Здоровье».
Целью управления является минимизация затрат на погашение эпидемии, выраженных функционалом:

, (3)
где A – средняя стоимость одного больного для общества в неделю (известная величина, для России составляет примерно 50 долларов [1]); для одного человека из i-й группы: Di – стоимость вакцинации, Ci – стоимость изоляции, Zi – стоимость программы «Здоровье». Если принять A равным одной условной денежной единице, то (3) перепишется в виде:

, (4)
где di – относительная стоимость вакцинации;
– относительная стоимость программы «Здоровье»; ci – относительная стоимость карантина в i-й группе.
Ограничения на функцию управления заданы в следующем виде:
, (5)
где Аi, Вi, Ci – максимальные нормы управлений в i-й группе, ограниченные техническими и материальными возможностями.
Разобьем отрезок интегрирования [0; T] на q равных частей точками
так, что
. Задача (1)–(5) аппроксимируется следующей дискретной задачей оптимального управления:
, (6)
(7)
где
.
(8)
,
,
. (9)
Составим функцию Лагранжа для дискретной задачи, откуда найдем производные лагранжиана по управлениям
,
,
и по фазовым переменным, чтобы выразить сопряженные функции:
(10)
Условия трансверсальности:
. (11)
Алгоритм численного решения
1. Зададим начальное управление

2. Зададим начальные значения
. По формуле (7) вычислим допустимые траектории, по формуле (6) – начальное значение интеграла.
3. Для
вычислим по формуле (10) с учетом (11)
,
,
.
4. Вычислим следующее приближение для управления:

.
Проверим условие (9): если оно не выполняется, делаем проекцию градиента:
если
, то
, если
, то
;
если
, то
, если
, то
;
если
, то
, если
, то
.
5. По формуле (7) вычислим допустимые траектории
, по формуле (6) – следующее значение интеграла
.
6. Сравним значения
и
. Если
, переходим к пункту 3, присвоив
найденные в пункте 4 значения управлений. Процесс продолжается до тех пор, пока
.
7. Если
, возвращаемся к пункту 4 и уменьшаем шаг
, например в два раза, проверяем условие (9).
Для проведения эксперимента на реальной модели были взяты статистические данные по развитию эпидемии гриппа в г. Архангельске, предоставленные Территориальным управлением по эпиднадзору. Рассмотрим четыре возрастные группы: 1-я группа – 0–2 года, 2-я группа – 3–6 лет, 3-я группа – 7–15 лет, 4-я группа – старше 15 лет. Коэффициенты смертности, средний показатель рождаемости для каждой группы вычислены по статистическим данным для г. Архангельска. Коэффициенты β найдены путем решения обратной задачи.
Программа по нахождению оптимального управления написана в среде Delphi7 на языке Object Pascal. Все параметры модели пользователь может вводить с клавиатуры, что позволяет исследовать решение задачи в зависимости от введенных параметров.
После окончания работы программы искомое значение функции выводится в окно Результат (рис. 1), а графическое решение (фазовые переменные, программное управление, функции переключения управления) по каждой группе можно получить в окне Графики нажатием соответствующей кнопки.
Кроме того, решение дискретной задачи оптимального управления выводится в Excel, что позволяет сравнивать решения задачи при различных параметрах. Наиболее сильное влияние на решение оказывают стоимость управлений, величина временного интервала [0; T] и коэффициенты β. Зафиксировав стоимость изоляции и программы «Здоровье», выявим влияние стоимости вакцинации на решение задачи. Так как изменения во всех группах аналогичные, то для примера выясним, как меняются динамика подверженных заболеванию и управление вакцинацией в 3-й группе (рис. 2), которые сильнее всего зависят от стоимости вакцинации (d1>d2>d3).
Из рисунка видно, что с уменьшением стоимости вакцинации уменьшается остаточное на
момент Т количество подверженных заболеванию, а продолжительность управления растет.
Аналогично можно рассмотреть влияние стоимости изоляции (карантина) на динамику инфицированных и управление изоляцией в 3-й группе (рис. 3), которые сильнее всего зависят от стоимости изоляции (с1>с2>с3).
Программа позволяет исключить отсутствующий вид управления, чтобы проследить эффективность оставшихся видов управления и суммарные затраты на погашение эпидемии. Таким образом, было выяснено, что самым эффективным и дешевым способом управления является комплексное управления вакцинацией, карантином и программой «Здоровье».
Литература
1. Вакцинация. Новости вакцинопрофилактики // Информационный бюллетень. М. 2003. № 3 (27).
2. Андреева Е.А. Оптимальное управление динамическими системами. Тверь: Изд-во ТвГУ, 1999. С. 72–120.