Software & Systems

Задача о структуре нестационарного температурного поля в двухслойной бесконечной пластине: пусть функция   ограничена в области  , где  – единичная функция Хевисайда.

Задача о структуре нестационарного температурного поля в двухслойной бесконечной пластине  приводит к построению ограниченного в области  решения сепаратной системы уравнений:                                      (1)

по идеальным условиям сопряжения

                         (2)

и по начальным условиям

                                (3)

Рассмотрим обратную (ретроспективную) задачу: найти закон распределения температуры  в начальный момент по известному закону распределения температуры  в момент времени .

Как показано в работе М.П. Ленюка «Интегральные преобразования Фурье для кусочно-однородных неограниченных и полуограниченных сред» (К. 1985), выражение для  имеет вид:

(4)

Действуем на систему (4) преобразованием Фурье на оси с точкой сопряжения:  

В образах Фурье получим

.                                               (5)

Применим метод регуляризации (см.: А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М. 1979). Для рассматриваемой задачи выбран стабилизирующий множитель:

где h – величина шага сетки, на которой ищется решение системы (4). Образ Фурье регуляризованного решения имеет вид .

Действуем обратным преобразованием Фурье на оси с точкой сопряжения

Интегралы в преобразованиях Фурье аппроксимированы по формуле прямоугольников.

Задача гравиразведки в двухслойной области: пусть функция   ограничена в области , где  – единичная функция Хевисайда.

Пусть в слое  (y – глубина под поверхностью Земли) расположены источники аномального гравитационного поля, а при  их нет; x – горизонтальная координата;   – потенциал гравитационного поля при . Тогда потенциал поля  в области  является гармонической функцией:

                                      (6)

.                                                 (7)

При этом на прямой x=0 выполняются идеальные условия сопряжения:

 .                          (8)

На поверхности Земли (y=0) величина  может быть измерена: ,  . Требуется найти потенциал поля при y=h, то есть , . Получим сепаратную систему интегральных уравнений Фредгольма I рода относительно искомых функций , .

(9)

Для численного решения рассмотренной задачи может быть использован метод регуляризации.

Все программы, реализующие численное решение рассмотренных задач, написаны на языке Турбо Паскаль (Свид. о госрегистрации комплекта программ для ЭВМ № 50200601996).