Software & Systems

Одной из наиболее важных проблем в сфере контроля и мониторинга мобильных объектов является их местоопределение. Погрешность в точность позиционирования транспортного средства вносят такие факторы, как атмосфера, возвышенные объекты, горы и др. [1]. Для определения точных координат различных объектов, скорости их движения и других факторов служит современная система глобальной спутниковой навигации ГЛОНАСС. Хотя использование ГЛОНАСС весьма актуально, анализ показывает, что технология позиционирования и идентификации мобильных объектов на пространственных цифровых моделях в транспортной сфере развита недостаточно. В публикациях, посвященных проблеме местоопределения, как правило, не описываются математические модели и алгоритмы, а приводятся лишь конечные результаты (например [2]). При этом практически отсутствуют источники с описанием четкой алгоритмической схемы, пригодной для написания ПО. Поэтому разработка инструментария для точного местоопределения наземных транспортных средств является актуальной задачей.

Методы вторичной обработки информации

В радиолокационных станциях автоматического сопровождения и обработки сигналов в инерциальных навигационных системах в качестве алгоритма вторичной обработки наиболее пригоден фильтр Калмана [3–5]. Алгоритм работает в два этапа. На первом этапе фильтр Калмана экстраполирует значения переменных состояния, а также их неопределенности, на втором – по данным измерения уточняется результат экстраполяции. Благодаря пошаговой природе алгоритма он может в реальном времени отслеживать состояние объекта (без заглядывания вперед, используя только текущие замеры и информацию о предыдущем состоянии и его неопределенности) [6, 7].

Фильтр Калмана основан на квадратичном критерии качества [4, 8, 9], то есть обеспечивает минимум среднеквадратических ошибок оценок. Оценки определяются на основе условных математических ожиданий вектора состояния объекта наблюдения. Фильтр Калмана является рекурсивным методом, оперирует оценками не только состояния, но и неопределенности вектора состояния, опираясь на формулу Байеса условной вероятности: ,                                            (1)

где – вероятность наступления апостериорной оценки;  – вероятность априорной оценки;  – вероятность получения апостериорной оценки при выполнении априорной оценки; – вероятность получения априорной оценки при выполнении апостериорной оценки.

По формуле Байеса можно более точно пересчитать вероятность, учитывая как ранее известную информацию, так и новые данные [7].

Рассмотрим постановку задачи в дискретном случае. Пусть объект и измерение описываются уравнениями

            (2)

где x – исходные данные; z – измерения, полученные с помощью прогнозирования;  – апостериорная оценка, полученная с помощью фильтрации;  – априорная оценка; А – матрица эволюции процесса, ; С – матрица наблюдений, ; vi – белый шум с интенсивностью R0.

Требуется, используя измеренные значения переменной zi, найти несмещенную оценку  вектора xi, обеспечивающего минимум квадрата ошибки ():

,                                           (3)

где оценка  является несмещенной, если Mei=0.

Решение задачи определяется следующим образом [2, 7, 10]:

                                          (4)

                                       (5)

                                  (6)

        (7)

                                                (8)

                                                              (9)

Здесь  является математическим ожиданием вектора xi и служит его априорной оценкой, то есть оценкой, которая получается до измерения zi; условие  означает, что ни одна координата выходной переменной не измеряется точно;  – дисперсионная матрица ошибки , то есть ошибки априорной оценки; Pi – дисперсионная матрица ошибки , то есть ошибки искомой (апостериорной) оценки.

Кроме априорной оценки, выражение для оценки содержит поправочный член, пропорциональный невязке – разности между измеренным значением переменной zi и ее оценкой.

При вычислении оценки каждый шаг нужно начинать с определения априорной дисперсионной матрицы . Далeе вычислить матрицу коэффициентов усиления Ki, дисперсионную матрицу Pi, затем априорную оценку  и в последнюю очередь – искомую оценку . Так как матрицы , Pi, Ki не зависят от измерений, их можно вычислить заранее при всех необходимых значениях i [10].

Допустим, что в момент времени ti получена оценка вектора состояния системы  и необходимо получить оценку в момент ti+1. Для этого строим прогноз априорной оценки  в момент ti+1, опираясь на оценку вектора состояния системы , получаем измерения zi+1, далее корректируем оценку в момент ti+1, базируясь на прогнозе и измерениях, и получаем окончательную оценку вектора состояния  (рис. 1).

Разработанный алгоритм фильтра Калмана

Алгоритм фильтра Калмана включает следующие шаги:

1)    формирование априорной матрицы , апостериорной матрицы , заполненных нулями;

2)    формирование дисперсионной матрицы P, в которой диагональ матрицы заполняется единицами, элементы ниже главной диагонали являются нулями, а элементы выше главной диагонали вычисляются по формуле ;

3)    формирование матрицы H – матрицы преобразования состояния системы, в которой первый столбец заполняется единицами, остальные элементы вычисляются по формуле  (f – порядок фильтра);

4)    формирование матрицы наблюдений C, в которой первый элемент равен единице, остальные элементы равны нулю;

5)    получение матрицы В – матрицы перехода между состояниями: H × HT = В;

6)    нахождение обратной матрицы В–1 и преобразование с помощью LU-разложения;

7)    формирование матрицы идентичности Y с элементами

,

где К – усиление фильтра Калмана, которое вычисляется по формуле (6);

8)    формирование матрицы N – матрицы измерений

9)    пересчет матрицы В: ; повторяя шаги 7–9, получаем матрицу ;

10)   расчет матрицы m – матрицы определения шума процесса;

11)  пересчет mij = mij×(x – K), x – входные данные;

12)  получение априорной оценки

13)  получение апостериорной оценки

Программная реализация приведенного алгоритма фильтра Калмана позволяет получить координаты наземного транспортного средства c меньшими отклонениями.

Сравнительная характеристика

В данной работе проведено исследование для двух случаев: когда транспортное средство движется и когда находится на стоянке. Для оценки работы фильтра Калмана при обработке информации с системы ГЛОНАСС используем метод наименьших квадратов (МНК) [8, 9], где минимизируемый функционал имеет вид

.                                                         (10)

Рассмотрим задачу точного местоопределения координат транспортного средства на основе вторичной обработки информации спутниковой навигационной системы ГЛОНАСС алгоритмами фильтра Калмана и МНК.

Информационную базу составляют данные о местоположении маршрутных автобусов города Оренбурга, полученные с помощью программы «АТ Наблюдатель».

На основе приведенного алгоритма разработано ПО [11], отображающее траекторию движения транспортного средства (рис. 2), зафиксированную программой «АТ Наблюдатель» (синий цвет), априорную оценку траектории (красный цвет) и траекторию, полученную в результате применения фильтра Калмана (зеленый цвет). На рисунке 3 приведены траектории движения транспортного средства с указанием координат его местоположения. Проведенная проверка исходных данных на нормальный закон распределения позволяет оценить эффективность методов по различным критериям: средняя ошибка аппроксимации, коэффициент корреляции и критерий Фишера.

Полученные значения используемых статистических критериев, приведенные в таблице, позволяют сделать вывод о том, что для определения координат подвижного транспортного средства можно использовать оба метода. Тем не менее, результат обработки информации на основе фильтра Калмана является более точным с точки зрения допустимых предельных значений названных критериев.

Критерии оценки работы методов

Methods evaluation criteria

Примечание: П – подвижное транспортное средство, Н – неподвижное транспортное средство.

Проведена проверка эффективности фильтра Калмана и МНК для задачи местоопределения неподвижных объектов, то есть транспортных средств, находящихся на стоянке. Неподвижному транспортному средству должна соответствовать окрестность без резких скачков, но из-за факторов, влияющих на точность (атмосфера, высокие здания и так далее), программа «АТ Наблюдатель» фиксирует траекторию, соответствующую движущемуся объекту в некоторой окрестности точки расположения, что является неприемлемым с экономиче- ской точки зрения (расход топлива, увеличение пробега транспортного средства и т.д.).

Вычисленные значения критериев в случае корректирования местоположения неподвижного транспортного средства, приведенные в таблице, позволяют сделать вывод о том, что фильтр Калмана является более точным для определения координат. МНК не удовлетворяет допустимым пределам выбранных критериев, в частности, предельным значениям критерия Фишера.

В заключение отметим, что разработанный алгоритм фильтра Калмана позволит решить проблему позиционирования наземных транспортных средств. В результате проведенной сравнительной характеристики установлено, что предпочтительным методом для корректирования местоположения подвижных и неподвижных наземных транспортных средств на основе вторичной обработки информации, поступающей со спутниковой навигационной системы ГЛОНАСС, является фильтр Калмана.

Литература

1.     Решетников В.Н. Космические телекоммуникации. Системы спутниковой связи и навигации. СПб: Ленинград. изд-во, 2010. 134 с.

2.     Манухов В.Ф., Разумов О.С., Спиридонов А.И., Тюряхин А.С. Спутниковые методы определения координат пунктов геодезических сетей: учеб. пособие. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2009. 108 с.

3.     Болодурина И.П., Решетников В.Н., Таспаева М.Г. Методы уточнения интегрированного наземно-космического мониторинга в системе ГЛОНАСС // Программные продукты и системы. 2011. № 4. С. 130–134.

4.     Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем: учеб. пособие; [пер. с англ.]. М.: Мир, 1971. 400 с.

5.     Сучилин В.И., Волобуев Г.Б. Оценка возможностей повышения точности местоопределения наземного подвижного объекта путем вторичной обработки показаний аппаратуры пользователя систем GPS NAVSTAR и/или ГЛОНАСС // Кибернетика и высокие технологии XXI века: сб. докл. VIII Междунар. науч.-технич. конф. Воронеж, 2007. Т. 2. С. 1066–1073.

6.     Sigurd I. Aanonsen. The Ensemble Kalman Filter in Reservoir Engineering – a Review / Sigurd I. Aanonsen, Dean S. Oliver, Albert C. Reynolds, Brice Valles. Intern. Research Institute of Stavanger, SPE Journ., 2009, no. 14, pp. 393–412.

7.     Welch G., Bishop G. An Introduction to the Kalman Filter / Welch G// UNC – Chapel Hill, TR 95-041, 2006; URL: http://cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro (дата обращения: 30.08.2015).

8.     Сергиенко А.Б. Цифровая обработка информации. СПб: БХВ–Петербург, 2011. 768 с.

9.     Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. М.: Горячая линия–Телеком, 2009. 399 с.

10.  Яценков В.С. Основы спутниковой навигации. Системы GPS NAVSTAR и ГЛОНАСС. М.: Горячая линия–Телеком, 2005. 272 с.

11.  Болодурина И.П., Нугуманова А.А., Курочкина Т.А. Вторичная обработка информации для корректировки местоположения наземного транспортного средства методом фильтра Калмана. Свид. о регистр. прогр. для ЭВМ № 50201550245. М.: ЦИТиС, 2015.