Программные продукты и системы

Существенное расширение применения стекловидных диэлектриков в качестве высокотемпературных покрытий обусловливает интерес к изучению и описанию зависимостей свойств уникального материала при изменении его состава и условий тепловой отработки. Например, проектирование магнитных головок для аппаратуры магнитной записи и головок, используемых в накопителях информации, является высокотехнологичным дорогостоящим этапом производства, связанным с длительным подбором состава, – формирование компонентов c необходимыми свойствами и их спаев, которые удовлетворяли бы требованиям прочности и износостойкости, размещению температурных полей и другим критериям, применяемым к конструкциям магнитных головок. Поэтому важным моментом является автоматизированный расчет температурных полей в спаях стекловидного диэлектрика с металлом.

Наиболее значимым свойством для теории и практики высокотемпературных покрытий является их термостойкость, для изучения которой требуется расчет температурных полей и напряжений, возникающих в покрытии в различных условиях службы изделий [1]. Зная температурные напряжения, можно определить допустимые для данного покрытия границы применения.

Покрытие имеет значительно меньшую толщину по сравнению с покрываемой деталью, поэтому найдем температурные поля в наиболее простом варианте – покрытие по плоскости, достаточно полно описывающее распределение температур. Рассмотрим задачу охлаждения (нагревания) полосы металла, покрытой с двух сторон стекловидным диэлектриком. Математическая постановка задачи (рис. 1):

,                                       (1)

,                                 (2)

, z=h,                                                (3)

, z=-h1,                                          (4)

, z=0,                                                          (5)

, z=0,                                               (6)

, t=0.                                                    (7)

Здесь q1 и q2 – избыточные температуры в покрытии и полосе; a1 и a2 – температуропроводность покрытия и полосы; t – время нагревания (охлаждения); z – координата; h и h1 – толщина покрытия и половина толщины полосы; , – теплопроводность покрытия, x – коэффициент теплоотдачи на границе раздела покрытие–внешняя среда; b2 – теплопроводность полосы; b3 – отношение теплопроводности полосы и покрытия; q0(z) – начальная избыточная температура полосы и покрытия по отношению к внешней среде.

Для решения применяем метод разделения переменных Фурье [2] при дополнительных предположениях:  .                                              (8)

Разложив полученное решение в ряд по степеням h и ограничившись конечным числом слагаемых, количество которых определяется погрешностью начальных условий, получаем достаточно простые уравнения для нахождения собственных чисел задачи (1)-(7).

Сделаем в уравнении (1) и граничном условии (3) замену переменных .                                    (9)

Тогда уравнения (1) и (3) запишутся следующим образом:

 0 < x < 1;                              (10)

 (x = 1).                                             (11)

Методом Фурье [3] определяем частное решение уравнения (10) в виде: , тогда .     (12)

Для удовлетворения граничным условиям, подставляя (12) в (11), приходим к следующему равенству:

.       (13)

Решение задачи (2):

.  (14)

Из (5):

.    (15)

Подставляем (14) в граничное условие (4), затем (14) и (12) в граничное условие (6). Окончательно получаем следующую систему уравнений:

     (16)

В (16) учтено, что .

Анализируя систему (16), замечаем, что , то есть  и , то есть  .

Аналогично: , где через  обозначим коэффициенты разложения при  выражения  по степеням .

Подставляем в (16) разложения по степеням  функции  и  и положим в полученных равенствах . В результате приходим к системе уравнений для нахождения нулевых членов асимптотики по  функции  и  и .

                    (17)

Первое уравнение системы (17) является трансцендентным и имеет бесчисленное множество корней .

Для того чтобы удовлетворить начальным условиям (7), ищем решение задачи (1)–(7) в виде:

.

Возвращаясь к переменной z (9) и учитывая, что , то есть, что

,   (18)

окончательно получим:

,   (19)

Учтем равенство (18), тогда:

.

Подставляем последнее соотношение в выражение для :

   (20)

Учитываем начальное условие (7):

 ,

получим: ,                                  (21)

где: Un(z)=

   (22)

Во второй формуле равенства (22) сделаем замену:

.                                                              (23)

Введем единую переменную x:

(24)

Легко можно проверить, что функции  ортогональны, то есть:

, где .                 (25)

Сделаем в выражении (21) замену (23), получим:

,                          (26)

где  

Умножим ряд (26) на  и проинтегрируем в пределах . Тогда, учитывая (25), получим:

.            (27)

Из последнего равенства находим коэффициент , тем самым удовлетворено начальное условие (7) и задача (1)–(7) полностью решена.

По формулам (19), (20) можно установить температурные поля в покрытии (стекле) и металле (полосе) при различных условиях теплообмена на границе покрытия (окружающая среда).

Расчеты приведены для покрытий, составы которых представлены в таблице 1. Составы стекловидных диэлектриков и теплофизические параметры взяты из работы [4].

Покрытия наносили на полосы технического титана ВТ–1 и стали СТ–3 методом центрифугирования суспензий стекловидного диэлектрика. Испытания проводили сбрасыванием образцов, нагретых до определенной температуры, в резервуар с холодной водой.

При проведении пробных расчетов по формулам (19) и (20) определили, что изменение температуры в покрытии со временем определяется в основном величиной критерия, который характеризует скорость теплообмена на границе и скорость притока тепла к границе из объема покрытия:

,                                                            (28)

где h – толщина покрытия; l1 – теплопроводность покрытия; .

Таким образом, используя полученные формулы (19), (20), возможно построение автоматизированной системы расчета температурных полей в спаях стекловидного диэлектрика с металлом.

Назначение разрабатываемого алгоритма – определить толщину покрытия и материал, из которого оно изготовлено. При этом металл, на который наносится покрытие, выбирается изначально. Целевой функцией в данном алгоритме является коэффициент Ci, который задается пользователем в начале работы программы. Он зависит от толщины покрытия и от теплофизических данных материалов (таблица 2): l1 – теплопроводность покрытия; æ – коэффициент теплоотдачи на границе покрытия (внешняя среда). Коэффициент Ci также зависит от констант, которые определяются составом материала (таблица 3).

Для поиска состава материала и толщины покрытия, которые описывает целевая функция в виде коэффициента Ci, применяем алгоритм эвристического перебора [5].

В начале работы алгоритма, используя экспериментальные составы покрытий, приведенных в таблице 1, определяется интервал для каждого из параметров, то есть определяется область поиска. Для каждого из параметров задается целевое значение, к которому параметр должен стремиться, а также приоритет параметра, чтобы пользователь мог регулировать важность параметра. Далее осуществляется полный перебор с заданным шагом точности с использованием формул (19), (20). После того как найдены значения всех параметров, получаем состав покрытия и его толщину, используя математическую модель, описывающую зависимость состава материала от его теплофизических параметров. Данная математическая модель создается с использованием метода Брандона [6].

В завершении работы автоматизированной системы строятся графики распределения температуры в покрытии и металле при охлаждении и изменения температуры на поверхности покрытия и на границе покрытия с металлом от времени охлаждения. Результирующие графики работы программы приведены на рисунке 2.

Для реальных покрытий (при небольших толщинах) значение критерия Ci колеблется в пределах от 0,1 до 100. При Ci < 0,1 температуру по всему сечению покрытия можно принять постоянной, то есть градиентом температуры можно пренебречь, а при Ci > 100 температура поверхности и окружающей среды выравнивается, и формулы (19) и (20) значительно упрощаются.

Список литературы

1.   Журавлев Г.И. Химия и технология термостойких неорганических покрытий. - М.: Химия. – 1975. - 198 с.

2.   Смирнов В.И. Курс высшей математики. - М.: Наука. - 1979. - Т.4. - 652 с.

3.   Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. - М.: Наука - 1978. - 375 с.

4.   Малюков С.П. Стекловидные диэлектрики в производстве магнитных головок. (Монография). - Изд–во ТРТУ, 1998.

5.   Капустин Н.М., Васильев Г.Н. Автоматизация конструкторского и технологического проектирования. - М.: Высшая школа, 1986. - Кн. 6.

6.   Малюков С.П., Обжелянский С.А. Алгоритм формирования математической модели синтеза стекловидных диэлектриков для магнитных головок. // Изв. ТРТУ.- Таганрог. - №4. - 2001.