Программные продукты и системы

На сегодняшний день синтез систем управления техническими объектами с нечеткими регуляторами привлекает внимание исследователей всего мира, так как позволяет получать лучшие показатели качества управления (длительность переходного процесса, перерегулирование) по сравнению с системами с классическими регуляторами. В данной работе под классическими регуляторами авторы понимают ПИД-регуляторы и их различные модификации. Исследованиям, связанным со структурами нечетких регуляторов и синтезом баз нечетких правил, посвящено немало публикаций.

В работе [1] рассматривается нечеткий ПИД-регулятор, у которого каждая из составляющих описывается независимой базой  нечетких правил. С помощью генетического алгоритма выполнялась настройка коэффи- циентов регулятора и нелинейных преобразующих функций. В результате исследования установлено, что с применением интеллектуальных технологий можно достичь значительного улучшения показателей качества управления.

По аналогии с эталонной моделью, описывающей динамику объекта управления, некоторые исследователи предлагают модель желаемого поведения, в которой, кроме входных и выходных сигналов, используются и их производные [2]. Метод адаптации параметров регулятора позволяет изменить количество функций принадлежности или степень их перекрытия.

Задаче синтеза нечеткого регулятора при наличии шумов в канале измерения посвя- щена работа [3]. Авторы рассматривают последовательную процедуру оценки состояния и синтеза управления. Параметрическую неопределенность предложено формализовать, используя теорию нечетких интервалов и модель Такаги–Сугено, которая описывает динамику объекта управления.

Использование нечеткой модели Такаги–Сугено для описания динамики системы обсуждается и в [4]. Рассматривается процедура синтеза нечеткого регулятора для нелинейных объектов с шумами и запаздыванием по состоянию. Авторами теоретически обоснована методика анализа устойчивости таких систем и сформулированы условия устойчивости.

В качестве объекта управления в исследовании [5] рассмотрен квадрокоптер с линеаризованной математической моделью. По результатам моделирования системы управления с ПИД-регуляторами были сохранены значения ошибок для линейных и угловых параметров, позволившие синтезировать нечеткие регуляторы полета квадрокоптера с лучшими показателями качества управления.

Работа [6] посвящена нестационарным  нелинейным системам с нечеткими ПИД-регуляторами. Предложен метод построения областей гарантированной устойчивости, позволяющий определить области, превышающие по площади те, которые получаются классическими методами. В основу метода положен алгоритм построения сплайновых функций Ляпунова.

Авторы [7] показывают применение ме- тодов интеллектуального управления с  нечеткой логикой для формализации неопределенности процесса сушки древесины. Терм-множества лингвистических переменных составлены на основе треугольных и трапециевидных функций принадлежности, равномерно распределенных на универсальных множествах.

В работе [8] как объект управления рассматривается ветроэнергетическая установка. Разработанный авторами алгоритм самоорганизации последовательно формирует базу правил нечеткого регулятора. Результаты моделирования системы с нечетким регулятором демонстрируют меньшую длительность переходного процесса при разгоне и торможении по сравнению с ПИ-регулято­ром.

В качестве объекта управления в [9] предложен паровой котел, для которого синтези- ровался нечеткий регулятор. Авторы сняли экспериментальные данные с котла и, применяя кластеризацию, получили терм-множества нечетких переменных с треугольными функциями принадлежности. Отмечено, что при синтезе нечетких регуляторов по экспериментальным данным существует проблема появления нечетких правил с одинаковым антецедентом, но разным консеквентом.

Метод разработки нечетких моделей на основе экспериментальных данных с реальных объектов обсуждается в [10]. Авторы решают проблему дублирующих правил путем назначения степени их важности. При этом исходная база нечетких правил создается за счет всевозможных сочетаний функций принадлежности входных и выходных переменных, а затем корректируется с применением эвристики.

Авторы настоящей работы в [11, 12] уже рассматривали этапы синтеза нечетких моделей по экспериментальным данным, снятым с объектов управления с применением алгоритмов Мамдани и Сугено. Были предложены различные методы кластеризации данных для определения нечетких переменных и синтезированы нечеткие регуляторы, демонстрирующие лучшие показатели качества управления по сравнению с классическими регуляторами.

По результатам обзора публикаций можно сделать некоторые выводы относительно методов синтеза нечетких регуляторов по экспериментальным данным:

-     обработке экспериментальных данных и синтезу нечетких моделей управления уделяется недостаточно внимания;

-     исследователи отмечают возможность возникновения неопределенности при синтезе базы правил и в основном прибегают к назначению весовых коэффициентов дублирующим правилам, фактически не исключая неопределенность;

-     во многих публикациях рассматриваются различные структуры нечетких регуляторов, но игнорируются вопросы унификации при их синтезе;

-     процесс синтеза нечетких моделей по экспериментальным данным достаточно трудоемкий, однако решению задачи автоматизации вычислений авторы не уделяют должного внимания.

Целью настоящего исследования является разработка метода синтеза нечетких регуля- торов по экспериментальным данным с при- менением кластеризации. Отличительными особенностями предлагаемого метода являются возможность автоматического определения параметров функций принадлежности нечетких переменных, синтез базы правил и ее редукция без привлечения экспертов. Данная цель достигается путем использования разработанного ПО, которое существенно снижает трудоемкость вычислений и позволяет получить fis-структуру нечеткого регулятора.

Метод синтеза нечетких регуляторов

При разработке метода авторы базируются на результатах, полученных в исследованиях [11, 12], и развивают их в части устранения неопределенности в базе правил и автоматизации вычислений.

Реализация метода синтеза включает следующие этапы.

Этап 1. Снятие входных и выходных данных с системы управления с классическим регулятором. Это могут быть данные с реального объекта управления в рабочем режиме его функционирования либо модельные данные, генерируемые по результатам моделирования. Для синтеза нечетких регуляторов предлагается структура системы, представ- ленная на рисунке 1.

На схеме использованы следующие обозначения: g – задающий сигнал; e – сигнал ошибки; u – сигнал управления; y – выходной сигнал; K – ключ; P = áN, B, Dñ, где N – входные и выходные нечеткие переменные, B – база правил, D – параметры алгоритма нечеткого вывода. Согласно рисунку 1, первоначально ключ находится в положении 1 с подключенным классическим регулятором, входные и выходные данные которого поступают на модуль кластеризации. В данном модуле определяются параметры кластеров для каждого из измеренных сигналов согласно поступившим данным. В модуле создания базы правил формируется база правил согласно параметрам кластеров и экспериментальным данным с классического регулятора. В модуле редукции базы правил осуществляется поиск правил с одинаковым антецедентом и разным консеквентом и выполняется их объединение. В модуле синтеза нечеткого регулятора окончательно определяются параметры нечетких переменных, базы правил и алгоритма нечеткого вывода, которые загружаются в нечеткий регулятор. Затем ключ переводится в положение 2 и система управления продолжает функционирование под управлением нечеткого регулятора. Такой же процесс может осуществляться для систем, у которых классический регулятор имеет не- сколько входов. Важно обеспечить фиксированный шаг времени считывания данных, так как только в этом случае процедура кластеризации будет корректной.

Этап 2. Определение количества кластеров для каждого из сигналов в ряду экспериментальных данных. Известно, что при раз- работке нечетких моделей с привлечением экспертных знаний обычно стараются использовать не более 7±2 функций принадлежности для каждой нечеткой переменной [13]. При создании нечетких моделей без привлечения экспертов количество функций принадлежности лингвистических переменных определяется вычислительными ресурсами, а также разницей между измерениями в ряду экспериментальных данных. Если рассматривать равномерное распределение кластеров в диапазоне изменения экспериментального сигнала, то можно сформулировать граничные условия для определения их количества.

Допустим, минимальный размер кластера равен величине d, которая определяет максимальное расстояние между соседними измерениями в ряду данных. Если выбрать кластер меньшего размера, то после определения принадлежности экспериментальных данных кластерам появятся кластеры, в которые не попало ни одного измерения. Величину d можно определить в цикле, перебирая данные каждого измеренного сигнала. В связи с этим максимальное количество кластеров сигнала может быть найдено по формуле

,                            (1)

где Nimax – максимальное количество кластеров i-го сигнала; simax, simin – максимальное и минимальное значения сигнала; di – максимальное отклонение между двумя соседними измерениями; é ù – округление до целого в большую сторону.

На основе выражения (1) можно вычислить размер кластера:

,                                 (2)

где pci – размер кластера i-го сигнала.

Для устранения неопределенности необходимо, чтобы количество кластеров данных выходного сигнала Nout удовлетворяло условию

,                                     (3)

где Ni in  – количество кластеров i-го входного сигнала нечеткой модели; m – количество входных сигналов.

При выполнении условия (3) все функции принадлежности нечеткой переменной выходного сигнала будут учтены в базе правил. Если условие (3) не выполняется, необходимо уменьшить количество кластеров данных выходного сигнала и пересчитать их размеры по формуле (2). Минимальное количество кластеров для сигналов равно 2, поэтому количество кластеров для каждой из переменных выбирается из интервала [2, Nimax].

Этап 3. Создание нечетких переменных. По результатам второго этапа для каждой переменной определены количество кластеров N, интервал изменения [smin, smax] и размер pc. Границы и центры кластеров можно определить по формулам:

 ,

        (4)

,              

где k – количество кластеров переменной; ci – интервалы кластеров; cki – центры класте- ров [14].

В параметрах cij выражения (4) во втором индексе 1 означает левую границу интервала (ci1), 2 – правую (ci2). Следует отметить, что в (4) под центром кластера понимается не его геометрический центр, а точка, к которой присоединяются соседние функции принадлежности. Выражения (4) для рядов экспериментальных данных позволяют поставить в соответствие номера кластеров, в которые они попадают.

Для каждого экспериментального сигнала вводится лингвистическая переменная L, которая характеризуется набором

L = áN, T, Xñ,                                        (5)

где N – имя лингвистической переменной;  T = {“j”},  j = 1, 2, …, k – терм-множество лингвистической переменной; X= [smin, smax] – область определения элементов из T (базовое множество).

В качестве элементов терм-множества T будем использовать функции принадлежности z-типа для граничных термов и треугольные для всех остальных.

Следует отметить, что в работах [9, 10, 14] использовались только треугольные функции принадлежности. Однако по результатам ис- следований установлено, что после синтеза нечеткого регулятора и апробации его с объектом управления могут возникать коллизии из-за выхода сигналов за пределы универсальных множеств и, как следствие, некорректного нечеткого вывода. Кроме того, коэффициенты аналитических выражений функций принадлежности зависят от параметров соседних кластеров, что позволяет создавать нечеткие переменные, как показано на рисунке 2.

Как видно из этого рисунка, количество функций принадлежности равно количеству кластеров. Для учета неопределенности каждая функция принадлежности превышает размеры своего кластера и перекрывается соседними.

Этап 4. Создание базы нечетких правил. База правил нечеткого регулятора формируется автоматически после определения принадлежности точек экспериментальных данных кластерам, как представлено в таблице, где W – количество точек экспериментальных данных, попавших в кластер (данный параметр необходим на следующем этапе для анализа и коррекции базы правил).

Пример базы нечетких правил

An example of a fuzzy rules database

Этап 5. Анализ базы правил. При анализе базы правил необходимо определить ее полноту и непротиворечивость.

Полная база (RF) должна содержать Ninp1·Ninp2·…·NinpM нечетких правил. Если количество правил меньше RF, база правил неполная. Если количество правил больше RF, база правил избыточная. Следует отметить, что при создании нечетких регуляторов по экспериментальным данным нельзя гарантировать получение полной базы правил, так как не все сочетания элементов терм-множеств входных лингвистических переменных могут попасть в нее.

Также база правил может быть противоречивой, если в ней присутствуют правила с одинаковым антецедентом и разным консеквентом. Проверку на полноту и непротиворечивость можно выполнить аналитически.

Этап 6. Коррекция базы правил. В случае наличия противоречивых правил необходимо откорректировать базу правил. Можно либо свернуть противоречивые правила и синтезировать одно правило с обобщающим элементом терм-множества в консеквенте, либо исключить из противоречивых правил те, которые имеют меньшее количество попаданий экспериментальных точек W (см. таблицу).

Свертка правил была выполнена по методу из работы [14]. Выбираются центры кластеров консеквентов ck избыточных правил и ищется среднее арифметическое по формуле

,                                           (6)

где p – количество избыточных правил с одинаковым антецедентом.

Затем определяется принадлежность s одному из кластеров из Tout, его номер назначается консеквенту в одном из избыточных правил, а остальные удаляются. Следует отметить, что если избыточных правил два и их консеквенты соответствуют расположенным рядом термам, то использование выражения (6) приводит к неопределенности. Для данного случая нужно ввести в терм-множество выходной лингвистической переменной дополнительный терм с параметрами:

aj = cd(j – 1), bj = s, dj = cd(j + 1),

где j – 1, j + 1 – центры кластеров, образующих функции принадлежности консеквентов избыточных правил (рис. 3).

Выполняя данную процедуру для всех наборов избыточных правил, получаем редуцированную базу правил.

Этап 7. Синтез нечеткого регулятора.  К началу данного этапа уже определены терм-множества входных и выходных лингвистических переменных, получена и редуцирована база правил. Авторы разработали программный модуль в среде MatLab 2018b для создания нечеткого регулятора. В качестве входных параметров программного модуля выступают входные и выходная лингвистические переменные с заданными универсальными и терм-множествами, база правил в виде массива, столбцы которого определяют термы входных переменных, выходной переменной и вес правила. Создается пустая fis-структура [15], в которую последовательно заносятся данные о входных и выходной переменных командой addvar, о термах – командой addmf, о базе правил – командой addrule.

Этап 8. Верификация и анализ результата. Сформированная fis-структура сохраняется в файл и затем экспортируется в блок Fuzzy Controller в среде Simulink для верификации и анализа. Сначала сравниваются выходные сигналы классического и нечеткого контроллеров, а затем выходные сигналы с объекта управления с обоими регуляторами.

Результаты моделирования

В качестве объекта управления была выбрана математическая модель из работы [2], которая описывается нелинейным звеном типа «насыщение»

и последовательно включенной передаточной функцией .

В качестве классического регулятора использовался ПИД-регулятор с параметрами Kp = 14,18, Kd = 6,81 и ограничением на амплитуду сигнала производной ошибки в интервале [–2, 2]. На вход системы подавалось единичное ступенчатое воздействие. В нелинейном звене установлена величина насыщения ½c½ = 10.

По результатам моделирования классического регулятора были записаны входные и выходной сигналы в количестве 500 точек с шагом дискретизации 0,01 секунды. В соответствии с этапами 1–7 синтезирован нечет- кий регулятор, содержащий входные пере- менные с 11 термами и выходную переменную с 7 термами, как показано на рисунке 4.

Результаты сравнения классического и нечеткого регуляторов отражены на рисунке 5.

Таким образом, сгенерирована база, содержащая 62 нечетких правила, которая была редуцирована до 46 правил из-за правил с одинаковым антецедентом.

Обсуждение результатов

По результатам моделирования синтезирован нечеткий регулятор для объекта управления в виде нелинейного звена и передаточной функции второго порядка, у которого входная лингвистическая переменная «ошибка» содержала 11 термов на универсальном множестве [–0,16, 1], лингвистическая переменная «производная ошибки» –  11 термов на универсальном множестве  [–0,5, 0,5], лингвистическая переменная «сигнал управления» – 7 термов на универсальном множестве [–1,53, 532,81]. Размер  универсальных множеств определялся автоматически по диапазонам изменения экспериментальных данных. Количество термов для каждой переменной задавалось вручную. Как видно из результатов моделирования, база нечетких правил неполная, так как должна содержать 121 правило. Это можно устранить путем снятия экспериментальных данных при разных входных сигналах, чтобы ряды экспериментальных данных содержали больше разных значений.

Результаты сравнения показывают, что система управления с нечетким регулятором обеспечивает меньшую длительность переходного процесса и отсутствие перерегулирования (рис. 5а), а также меньшие энергетические затраты на управление (рис. 5б).

Заключение

Отличительной особенностью предлагае- мого метода является возможность автоматического определения параметров нечеткого регулятора по экспериментальным данным с редуцированной базой правил.

При применении метода определяется максимальное количество кластеров для заданных рядов данных с учетом ограничений на их количество для выходного сигнала регулятора, что положительно сказывается на его работоспособности, так как задействуются все элементы терм-множеств лингвистических переменных в базе нечетких правил. Параметры функций принадлежности вычисляются таким образом, чтобы обеспечить перекрытие между соседними подмножествами на 50 %, что обеспечивает равномерное покрытие экспериментальных данных и устраняет неопределенность в алгоритме нечеткого вывода Мамдани. Рассмотрены два способа редукции базы правил за счет их объединения или удаления. В результате исследований авторы пришли к следующему выводу: если количество точек экспериментальных данных в кластерах, соответствующих функциям принадлежности консеквента у дублирующих правил, отличается в десять и более раз, удаление избыточных правил предпочтительнее их объединения, так как улучшаются показатели качества управления. В противном случае целесообразно использовать объединение правил, например, способом, предложенным в данной статье, однако вопрос уточнения параметров объединенной функции принадлежности все еще остается открытым.

Количество термов лингвистических переменных задавалось вручную, но эксперименты показывают, что его увеличение не всегда положительно сказывается на качестве управления, так как в таких случаях нечеткая модель полностью аппроксимирует классический регулятор и, как следствие, его недостатки.

Дальнейшая работа авторов направлена на оптимизацию количества термов лингвистических переменных и различных структурных реализаций нечетких регуляторов.

Литература

1.    Бураков М.В., Коновалов А.С., Яковец О.Б. Эволюционный синтез нечетких регуляторов // Информационно-управляющие системы. 2015. Т. 6. С. 28–33. DOI: 10.15217/issn1684-8853.2015. 6.28.

2.    Соловьев К.А., Муравьева Е.А., Султанов Р.Г. Адаптация нечеткого регулятора // Нефтегазовое дело. 2014. Т. 12. № 3. С. 123–128.

3.    Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Pugachev I.V. Method of synthesis of multi-mode control under the expected uncertainty using the analysis of the phase-space decomposition on the basis of the generalized power maximum condition. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2188, art. 030005. DOI: 10.1063/ 1.5138398.

4.    Jinsen Z., Wu-Hua Ch., Xiaomei L., Jing W. Fuzzy controller synthesis for nonlinear neutral state-delayed systems with impulsive effects. Information Sciences, 2020, vol. 555, pp. 293–313. DOI: 10.1016/ j.ins.2020.11.001.

5.    Alsafadi L.A., Chulin N.A., Mironova I.V. Synthesis of fuzzy controller based on simple PID controller. Procedia Computer Science, 2019, vol. 150, pp. 28–38. DOI: 10.1016/j.procs.2019.02.008.

6.    Berdnikov V., Lokhin V. Synthesis of guaranteed stability regions of a nonstationary nonlinear system with a fuzzy controller. Civil Engineering J., 2019, vol. 5, no. 1, pp. 107–116. DOI: 10.28991/cej-2019-03091229.

7.    Pobedinsky V.V., Gorokhovsky A.G., Hertz E.F., Shishkina E.E., Pobedinsky A.A. Synthesis of a fuzzy model in MatLab for automatic control of the drying process. Proc. Int. Sci. and Pract. Conf. Agro- SMART, 2018, vol. 151, pp. 243–248. DOI: 10.2991/agrosmart-18.2018.47.

8.    Uskov A., Shchokin V., Mykhailenko O., Kryvenko O. The fuzzy logic controllers synthesis method in the vector control system of the wind turbine doubly-fed induction generator. E3S Web of Conferences, 2020, vol. 166, art. 04006. DOI: 10.1051/e3sconf/202016604006.

9.    Muravyova E.A., Radakina D.S. Using the fuzzy controller to control process parameters. Int. Sci. J. "INDUSTRY 4.0", 2018, vol. 3, no. 5, pp. 236–239.

10. Dutu L.C., Mauris G., Bolon Ph. A fast and accurate rule-base generation method for Mamdani fuzzy systems. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2018, vol. 26, no. 2, pp. 715–733. DOI: 10.1109/ TFUZZ.2017.2688349.

11. Ignatyev V., Kovalev A., Spiridonov O., Kureychik V., Soloviev V., Ignatyeva A. A method of optimizing the rule base in the Sugeno fuzzy inference system using fuzzy cluster analysis. IREE, 2020, vol. 15, no. 4, pp. 316–327. DOI: 10.15866/iree.v15i4.16545.

12. Ignatyev V.V., Soloviev V.V., Beloglazov D.A., Boldyreff A.S. Development of a method for automatic generation and optimization of fuzzy controller parameters using genetic algorithm. In: Artificial Intelligence in Intelligent Systems, Silhavy R. (ed.), vol. 229, pp. 404–416. DOI: 10.1007/978-3-030-77445-5_38.

13. Volosencu C. Properties of fuzzy systems. WSEAS Transactions on Systems, 2009, vol. 8,  pp. 210–228.

14. Ignatyev V., Soloviev V., Beloglazov D., Kureychik V., Ignatyeva A., Vorotova A. System for automatic adjustment of intelligent controller parameters. Proc. CIT&DS, 2019, vol. 1084, pp. 226–242. DOI: 10.1007/978-3-030-29750-3_18.

15. Ojha V., Abraham A., Snasel V. Heuristic design of fuzzy inference systems: A review of three decades of research. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2019, vol. 85, pp. 845–864. DOI: 10.1016/j.engappai.2019.08.010.

References

1. Burakov M.V., Konovalov A.S., Yakovets O.B. Evolutionary design of fuzzy controllers. Information and Control Systems, 2015, vol. 6, pp. 28–33. DOI: 10.15217/issn1684-8853.2015.6.28 (in Russ.).
2. Solovev K.A., Muraveva E.A., Sultanov R.G. Adaptation of fuzzy controller. Oil and Gas Business, 2014, vol. 12, no. 3, pp. 123–128 (in Russ.).
3. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Pugachev I.V. Method of synthesis of multi-mode control under the expected uncertainty using the analysis of the phase-space decomposition on the basis of the generalized power maximum condition. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2188, art. 030005. DOI: 10.1063/1.5138398.
4. Jinsen Z., Wu-Hua Ch., Xiaomei L., Jing W. Fuzzy controller synthesis for nonlinear neutral state-delayed systems with impulsive effects. Information Sciences, 2020, vol. 555, pp. 293–313. DOI: 10.1016/j.ins.2020.11.001.
5. Alsafadi L.A., Chulin N.A., Mironova I.V. Synthesis of fuzzy controller based on simple PID controller. Procedia Computer Science, 2019, vol. 150, pp. 28–38. DOI: 10.1016/j.procs.2019.02.008.
6. Berdnikov V., Lokhin V. Synthesis of guaranteed stability regions of a nonstationary nonlinear system with a fuzzy controller. Civil Engineering J., 2019, vol. 5, no. 1, pp. 107–116. DOI: 10.28991/cej-2019-03091229.
7. Pobedinsky V.V., Gorokhovsky A.G., Hertz E.F., Shishkina E.E., Pobedinsky A.A. Synthesis of a fuzzy model in MatLab for automatic control of the drying process. Proc. Int. Sci. and Pract. Conf. AgroSMART, 2018, vol. 151, pp. 243–248. DOI: 10.2991/agrosmart-18.2018.47.
8. Uskov A., Shchokin V., Mykhailenko O., Kryvenko O. The fuzzy logic controllers synthesis method in the vector control system of the wind turbine doubly-fed induction generator. E3S Web of Conferences, 2020, vol. 166, art. 04006. DOI: 10.1051/e3sconf/202016604006.
9. Muravyova E.A., Radakina D.S. Using the fuzzy controller to control process parameters. Int. Sci. J. "INDUSTRY 4.0", 2018, vol. 3, no. 5, pp. 236–239.
10. Dutu L.C., Mauris G., Bolon Ph. A fast and accurate rule-base generation method for Mamdani fuzzy systems. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2018, vol. 26, no. 2, pp. 715–733. DOI: 10.1109/TFUZZ.2017.2688349.
11. Ignatyev V., Kovalev A., Spiridonov O., Kureychik V., Soloviev V., Ignatyeva A. A method of optimizing the rule base in the Sugeno fuzzy inference system using fuzzy cluster analysis. IREE, 2020, vol. 15, no. 4, pp. 316–327. DOI: 10.15866/iree.v15i4.16545.
12. Ignatyev V.V., Soloviev V.V., Beloglazov D.A., Boldyreff A.S. Development of a method for automatic generation and optimization of fuzzy controller parameters using genetic algorithm. In: Artificial Intelligence in Intelligent Systems, Silhavy R. (ed.)., vol. 229, pp. 404–416. DOI: 10.1007/978-3-030-77445-5_38.
13. Volosencu C. Properties of fuzzy systems. WSEAS Transactions on Systems, 2009, vol. 8, pp. 210–228.
14. Ignatyev V., Soloviev V., Beloglazov D., Kureychik V., Ignatyeva A., Vorotova A. System for automatic adjustment of intelligent controller parameters. Proc. CIT&DS, 2019, vol. 1084, pp. 226–242. DOI: 10.1007/978-3-030-29750-3_18.
15. Ojha V., Abraham A., Snasel V. Heuristic design of fuzzy inference systems: A review of three decades of research. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2019, vol. 85, pp. 845–864. DOI: 10.1016/j.engappai.2019.08.010.