Software & Systems

Одной из сфер применения математического моделирования традиционно являются экономические науки. Как фундаментальные исследования экономических систем, так и практическая работа в этой области сопряжены с решением многих математических задач, часть которых отличается большой трудоемкостью, и использование математических моделей существенно облегчает работу экономиста.

К настоящему времени разработан целый ряд математических моделей, более или менее адекватно отражающих структуру и функционирование реальных экономических систем. Наиболее важный класс составляют динамические модели экономики [2,4].

Одним из типов задач, хорошо решаемых при помощи динамических моделей, являются задачи о нахождении параметров экономической системы, которые описывали бы оптимальное в том или ином смысле ее функционирование. К ним можно отнести задачу поиска наилучшего распределения инвестиций по отраслям промышленности.

В данной статье описывается программный комплекс, предназначенный для отыскания оптимального режима развития многоотраслевой экономической системы, построенный на базе динамической оптимизационной модели.

Эта модель создана на основе известной динамической модели межотраслевого баланса [2], однако включает в себя ряд расширений:

- учет в модели специфики производственного процесса при помощи сочетания производственных функций отраслей с межотраслевым балансом;

- использование функции полезности для отражения структуры потребительского спроса на продукцию отраслей.

В основу построения модели приняты следующие концептуальные положения.

1. Валовой продукт (выпуск) X экономической системы распределяется на конечный продукт Y и производственное потребление в соответствии с межотраслевым балансом

X=AX+Y,

где А – матрица прямых затрат продукции отраслей.

2. Выпуск ограничен имеющимися в наличии основными производственными фондами К и трудовыми ресурсами L

0 £ Xi £ Fi (t, Ki ,Li ),

где Fi (t ,Ki , Li ) – производственная функция i-й отрасли, характеризующая максимально возможный выпуск валового продукта.

3. Трудовые ресурсы подчинены неравенству

где N – максимальное количество работающих.

4. Конечный продукт распределяется на капитальные вложения в промышленность V и непроизводственное потребление C

Y=DV+C; V³ 0,

где D – матрица фондообразующих затрат, элементы которой d i j показывают часть продукции i-й отрасли в инвестициях, идущих в j-ю отрасль. Элементы матрицы D неотрицательны, при этом если для некоторого i существует d i j>0, то i-я отрасль называется фондообразующей.

5. Конечное потребление удовлетворяет ограничению

C=C0+Q,

C0i>0, Qi ³ 0,

где компоненты вектора C0 характеризуют базовое (нормативное) потребление, а Q – переменную часть непроизводственного потребления.

6. Капиталовложения используются для наращивания и перевооружения основных производственных фондов, при этом динамика основных фондов задается дифференциальным уравнением, учитывающим влияние инвестиций V и износ

(t)=V- m K(t),

где m – коэффициент амортизации.

В начальный момент времени величины основных фондов полагаются известными

K(0)=K0 .

7. Распределение конечного продукта на инвестиции и потребление осуществляется согласно критерию следующего вида:

где T – временной горизонт в модели, для которого осуществляется прогнозирование;

g(t,C) – функция полезности от потребления C;

n={V(t), L(t), X(t), C(t)} – вектор параметров управления, варьируя которыми можно влиять на развитие системы;

U – множество значений параметров управления, удовлетворяющих ограничениям, принятым в модели по труду, величине основных фондов отраслей, потреблению и инвестициям.

Таким образом, данная модель представляет собой задачу теории оптимального управления. Решение такого рода задачи должно строиться на основе принципа оптимальности, в качестве которого принят принцип Кротова [1, 5], реализующий достаточные условия оптимальности.

Согласно этому принципу разработан вычислительный алгоритм отыскания оптимального решения задачи распределения конечного продукта на инвестиции по отраслям промышленности и непроизводственное потребление в зависимости от технологических параметров экономической системы, величин основных фондов и потребления.

На базе этого алгоритма разработан программный комплекс, предназначенный для отыскания траекторий оптимального развития экономической системы с заданными параметрами. На рисунке 1 представлена его обобщенная блок-схема.

Рис. 1. Обобщенная блок-схема программного комплекса

Рис. 2. Траектория процесса развития двухотраслевой экономики

Рис. 3. Траектории развития экономики, построенные в интерактивном режиме

Данный комплекс разработан по модульному принципу. Все основные операции, связанные с реализацией алгоритма нахождения оптимального плана, выполняются ядром комплекса, взаимодействующим с рядом математических и интерфейсных блоков.

Математические блоки осуществляют вычисление производственных функций отраслей промышленности и функций полезности от конечного потребления. В данной версии программы используются производственные функции Кобба-Дугласа и линейная функция полезности.

Интерфейсные блоки программы обеспечивают прием исходных данных, отображение результатов работы в виде информационных моделей, а также формирование отчетов.

Наиболее объемная часть исходных данных – коэффициенты матрицы прямых затрат и матрицы фондообразующих затрат, сведения об отраслях промышленности (коэффициенты производственных функций, коэффициент амортизации), а также основные сведения о модели (размерность задачи, число фондообразующих отраслей) – принимается программой в виде текстовых файлов.

Остальные данные (начальные условия задачи, временной горизонт, коэффициенты нормативного потребления) вводятся пользователем с клавиатуры.

Результаты работы комплекса отображаются в процессе работы на дисплее ПЭВМ в форме следующих информационных моделей.

1. Траектории основных показателей системы: валового продукта, величин основных фондов отраслей, непроизводственного потребления в зависимости от времени tÎ[0,T].

2. Траектории управляющих воздействий: распределения инвестиций и трудовых ресурсов по отраслям промышленности в зависимости от времени tÎ[0,T].

В процессе вычислений происходит также формирование текстового файла отчета, содержащего значения показателей экономической системы и управляющих воздействий, для последующей обработки пользователем при помощи различных вспомогательных средств, например математического пакета или электронной таблицы.
Калибровка комплекса проводилась путем сведения рассматриваемой задачи к более простым типам моделей: односекторной динамической модели Шелла и модели на основе производственных функций отраслей.Проведенные в данных случаях расчеты показывают согласованность результатов его работы с теоретически обоснованным поведением систем, рассматриваемых в данных моделях.

На рисунке 2 изображены результаты расчетов, проведенных с помощью данного комплекса для двухотраслевой экономической системы: валовой выпуск отраслей (Xi), конечное потребление (Ci) и величины основных фондов (Ki) в зависимости от времени на интервале [0,T].

В данном случае видно, что на начальном этапе развития tÎ[0,t0] экономическая система функционирует на накопление, при этом величины непроизводственного потребления для обеих отраслей равны базовому потреблению C0. В момент времени t0 происходит изменение стратегии функционирования системы, и на этапе tÎ[t0,T] она работает на конечное потребление. В этот период инвестиции в промышленность не планируются, поэтому не производится обновления основных фондов, и их величина уменьшается в связи с износом. Вследствие этого валовой выпуск отраслей также снижается с течением времени. Однако при работе с комплексом могут быть получены в интерактивном режиме траектории развития, отвечающие некоторым дополнительным требованиям, накладываемым реальными условиями функционирования экономики. Так, в рассматриваемом варианте расчетов путем вариации конечного потребления можно найти режим развития системы, на котором не допускается уменьшения величины основных фондов фондообразующей отрасли на отрезке [t0,T] и обеспечивается неубывание выпуска продукции этой отрасли (рис. 3).

Возможной сферой применения данного программного средства является использование в практической деятельности органов планирования и управления экономикой региона в составе системы поддержки принятия управляющих решений.

Кроме того, комплекс может использоваться в качестве базового прототипа для построения экономико-математических моделей более сложной структуры.

Для работы программы требуется наличие IBM-совместимого компьютера с процессором не ниже 386 и графическим адаптером EGA или совместимым с ним.

Список литературы

1. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. – М.: Наука, 1973.

2. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. – М.: Наука, 1984.

3. Математическая экономика на персональном компьютере. /Под ред. М. Кубонива. – М.: Финансы и статистика, 1991.

4. Моделирование народнохозяйственных процессов. /Под ред. И.В. Котова. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

5. Основы теории оптимального управления. /Под ред. В.Ф. Кротова. – М.: Высшая школа, 1990.