Software & Systems

Реализация концепции получения математических моделей (ММ) с заранее заданным набором желаемых свойств, разрабатываемая автором в ряде публикаций [1,2], требует создания методов оценки и управления свойствами ММ.

Методы и критерии оценки свойств составляют основу квалиметрии ММ, а ее эффективное использование в задачах синтеза и анализа ММ предполагает производить такую оценку на различных этапах информационной технологии моделирования [3]:

· обработка ЭД · формализация ММ · алгоритмизация ММ · вычислительный эксперимент · анализ ММ.

Управление свойствами ММ трактуется следующим образом. На этапе квалиметрирования ММ производится критериальная оценка их свойств, затем осуществляется сравнение с заданными (желаемыми) их значениями и в случае несоответствия выбирается один или несколько методов преобразования моделей. Различные виды преобразования позволяют улучшать соответствующие свойства моделей, управлять ими.

В качестве обобщенного показателя достижения целей моделирования введем понятие эффективность моделирования.

Определение 1. Эффективность моделирования есть мера, построенная на декартовом произведении мер желаемых и реальных свойств моделей:

x: { m (R жел. )} x { m (R(реал.)} ® R

или

x: { x жел. } x { x реал.} ® R,

где { x жел. } – множество желаемых мер свойств моделей, { x реал.} – множество реальных мер свойств моделей, R – эффективность моделирования.

Управление свойствами ММ направлено на достижение максимальной эффективности моделирования.

Методы управления свойствами ММ, будем рассматривать по двум взаимосвязанным направлениям: управление свойствами выборки и управление свойствами собственно математических моделей.

Реализация первого направления позволяет достигнуть таких свойств, как несмещенность конечной выборки экспериментальных данных, несмещенность оценок дисперсии случайных величин, возможность построения доверительных интервалов и проверка статистических гипотез по конечной выборке. Все это чрезвычайно важно для получения статистически достоверных оценок величин, являющихся входными и выходными переменными в математических моделях, а также используемых для оценки адекватности ММ.

Управление свойствами конечной выборки экспериментальных данных

Подобное управление направлено прежде всего на достижение конечной выборкой свойства несмещенности. Смещение же может возникать по трем причинам: выборочное смещение, возникающее из-за конечной длины случайной выборки, на базе которой производятся оценки случайных величин; влияние ошибок измерений; недостаток априорной информации о действительном виде распределения случайных величин, которое лежит в основе тех или иных расчетных формул для вычисления математического ожидания, дисперсии и других статистических характеристик выборки.

Эфроном предложен достаточно эффективный метод так называемый будстреп, позволяющий добиться несмещенности исходной конечной выборки и некоторых характеристик, получаемых на ее основе [4].

Будстреп-процедура может рассматриваться как способ управления выборкой в ходе обработки данных. При этом в [4] разрабатываются алгоритмы, направленные на обработку единственной выборки небольшого объема, то есть наиболее сложного случая. В упрощенном представлении будстреп-процедуру можно интерпретировать следующим образом. Эмпирическая выборка объемом N тиражируется большое число раз, затем из полученной суммарной выборки случайным образом отбирается достаточно значительное количество выборок объемом N. Для каждой из отобранных выборок производится обработка в соответствии с первоначальными целями, и таким образом будет получено множество оценок статистических характеристик. Полученные данные используются для уменьшения смещения, оценивания дисперсии, построения доверительных интервалов и для проверки гипотез.

Для одной выборки будстреп-процедура алгоритмически выглядит следующим образом:

1) строится выборочное распределение вероятностей , полагая в каждой из точек x1,x2,...,xn массу 1/n;

2) при фиксированном  извлекают случайную выборку объема n, например

X*i = x*i,X*i , i=,                            (1)

Рис. 1.

которая называется будстреп-выборкой X* = (X*1, X*2, ..., X*n), x*=(x*1,x*2,...,x*n).

3) апроксимируется выборочное распределение R(X,F) будстреп-распределением

R*=R(X*,), то есть распределение R* выводится с помощью случайного механизма (1) при, зафиксированном на его наблюдаемом значении.

Для вычисления будстреп-распределения используют три основных подхода:

а) прямое теоретическое вычисление;

б) аппроксимация будстреп-распределения методом Монте-Карло. При этом повторные реализации Х* генерируются с помощью случайных выборок объема n из  вида x*1,x*2,...,x*N, а гистограмма соответствующих значений

R(x*1, ), R(x*2, ),..., R(x*N, )               (2)

рассматривается как аппроксимация фактического будстреп-распределения;

в) применение методов, основанных на разложении в ряд Тейлора с целью получения приближенных оценок среднего и дисперсии будстреп-распределения R*. Таким образом, используя приведенную выше будстреп-процедуру, можно избежать неприятностей, связанных со смещением конечной случайной выборки, то есть управлять ее свойствами.

Управление свойствами математических моделей

Различным аспектам преобразования моделей посвящено значительное число публикаций, например [5]. В статье рассматриваются лишь некоторые методы преобразования моделей, в той или иной степени способствующие достижению желаемых свойств моделей.

К таким методам можно отнести следующие:

· редуцирование · функциональное, структурное и параметрическое (коррекция) преобразования · агрегация · декомпозиция.

Использование приведенных методов преобразования дает возможность исследователю влиять на некоторые из желаемых свойств моделей, прежде всего на адекватность, сложность, удобство использования и их согласованность. Правда, следует отметить, что этот набор желаемых свойств для многих задач вполне достаточен. На рисунке 1 представлена взаимосвязь методов преобразования и желаемых свойств моделей.

Редуцирование моделей

Под редуцированием в моделировании понимается процесс снижения размерности модели и трудоемкости вычислений по ней.

На рисунке 2 представлены методические основы редукции. Предлагается рассматривать два направления ее осуществления: на базе аналитических методов и на базе статистических методов. Кроме того, целесообразно на первом этапе использовать методы теории чувствительности, позволяющие оценить степень влияния входных параметров MМ на выходную переменную и на этой основе их отранжировать и исключить незначимое. Таким образом, на базе теории чувствительности можно провести начальную редукцию теоретической модели.

Рис. 2.

Рис. 3.

Технология статистического редуцирования опирается на эффектное проведение ВЭ с теоретическими моделями и на развитые возможности синтеза тех или иных классов экспериментально-статистических моделей по данным ВЭ. Редуцирование позволяет влиять на такие свойства, как сложность, согласованность (адаптируемость) и наглядность ММ.

Структурное и функциональное преобразование моделей

Функциональное преобразование применяется в задачах анализа нелинейных уравнений (систем) и дифференциальных уравнений (систем). В этом случае строится некоторая аппроксимирующая модель, что может изменить класс функций, например с обратной на явную функцию.

При структурном преобразовании меняется или подбирается по специальным алгоритмам структура исходной модели. Одним из таких алгоритмов является метод группового учета аргументов, который по некоторому набору внешних критериев, позволяет путем генерации частных описаний формировать структуру модели, отвечающую ее желамым свойствам. Методы функционального и структурного преобразования рассмотрены в [1].

Адекватность ММ

Основным свойством ММ является ее адекватность, которую будем трактовать, как неразличимость с некоторой погрешностью e реакции объектов и их ММ при одинаковых входных воздействиях.

На рисунке 3 представлена технология оценки e-адекватности при случайном внешнем воздействии на объект и модель. Рассматриваются два основных вида ММ – теоретическая (полученная в результате теоретических исследований и сконструированная аналитическими методами, например обыкновенное дифференциальное уравнение) и статистическая, синтезируемая непосредственно по ЭД, например регрессионная модель. Над теоретической моделью проводится вычислительный эксперимент, в результате которого будут получены или случайные величины Хмi(x0,x1,...,xp) для статических моделей, или случайные последовательности Хмi (ti) для динамических моделей. Случайные величины Yi(y1,...,ym) и случайные последовательности Yj (tj), как эталоны, исследователь получает после статистической обработки исходных ЭД.

В случае неадекватности ММ исследуемому процессу возникает задача коррекции ее структуры и параметров. Рассмотрим один из возможных подходов к ее реализации.

Параметрическое преобразование (коррекция) моделей

Пусть нелинейная по параметрам модель объекта имеет вид

y=f(x; a), x Î Dx, y Î Dy, a Î Da,                   (3)

где x – вектор входных координат; y – выходная координата объекта; a – вектор параметров, найденных в результате аналитического конструирования модели.

Будем рассматривать его как начальное приближение, которое следует уточнить (скорректировать), используя данные натурных экспериментов. Предполагается, что существует некоторое а*– оптимальное значение вектора а, при котором модель будем считать точной. При этом одна из проблем заключается в построении и реализации оптимального плана эксперимента, другая – в оценке погрешностей модели на бесконечных множествах Dx и Dy.

Предлагается следующий двухэтапный подход к решению задачи. На первом этапе строится линейная по параметрам регрессионная модель вида

Y = iZi(X) = iZi ,                                    (4)

где a – искомые коэффициенты; Zi=Zi(x) – некоторые, обычно степенные, функции координат вектора x.

В результате проведения натурного эксперимента создаются наборы экспериментальных данных, конечные множества wZi = {zij}, wy = {yi}, j = 1,N, на которых формируются системы уравнений вида

yi =i Zij + j,      j = 1,N                                 (5)

или в матричной форме

Y= Fa +  ,                                                            (6)

где F – матрица плана эксперимента, или просто матрица плана.

Оценка вектора a находится в результате решения следующей экстремальной задачи

= arg (Y-Fa) T(Y-Fa) = arg min zzT.   (7)

Точность оценивания параметров зависит от матрицы или от выбора точек zj = {zij}. В теории планирования эксперимента решаются задачи оптимального (по различным критериям) выбора этих точек. Не останавливаясь подробно на различных аспектах проблемы, отметим лишь одно важное положение теории планирования эксперимента.

Для линейной регрессионной модели заданной структуры можно построить оптимальный план до проведения эксперимента. В случае нелинейных моделей обычно применяются последовательные стратегии, требующие проведения дополнительных (уточняющих) экспериментов в точках, не принадлежащих оптимальному плану. Таким образом, можно надеяться, что предложенный подход позволяет, в принципе, снизить на первом этапе объем экспериментальных исследований.

Предположим, что построенная по экспериментальным данным модель является адекватной в статистическом смысле исследуемому объекту на конечных множествах. Для рассматриваемого класса полиноминальных моделей имеется возможность достаточно полно исследовать их свойства и на бесконечных множествах. В случае положительного вывода о точностных характеристиках моделей "вход-выход" будем рассматривать их в качестве эталонных.

Второй этап решения задачи заключается в оптимальном приближении модели (4) к эталонной. Введем с этой целью функционал невязки

J [Y(X;) - Y(X)] = J[f(X; ) - (X)]     (8)

и сформулируем минимаксную задачу коррекции параметров

 = arg min max J [Y(x, ) - Y(x)].              (9)

Для ее решения можно воспользоваться одним из известных методов, в частности методом случайного поиска. В процессе поиска одновременно с вектором ищется точка

x = arg Jm = arg min J (, x),                                (10)

в ней погрешность приближения функции (4) к эталонной будет минимальной в смысле принятой меры близости. Если выполняется условие

Jm <= Jдоп,                                                             (11)

то задачу векторной коррекции считаем решенной.

В настоящее время в I ЦНИИ МО РФ производится разработка опытного образца автоматизированной системы научных исследований свойств сложных объектов военного кораблестроения, в которой реализуются представленные в статье методы оценки и управления свойствами ММ.

Список литературы

1. Суворов А.И., Валькман Ю.Р., Соломаха О.И. Информационная технология единого комплекса исследований в военном кораблестроении //Программные продукты и системы.-1993.-N4.-с.10-19.

2. Suvorov A; Suvorova A. A new Information Simulation Technology for Analysis and Synthesis of Compound Sea Teehnologicas Complexes //тез. докл. межд. конф.: MARIND-96-Варна,1996.

3. Суворов А.И. Проблемные вопросы автоматизации научных исследований в кораблестроении //Программные продукты и системы.-1996.-N4-с.2-8.

4. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа: сб. статей: Пер. с англ.-М.: Финансы и статистика, 1988.-263с.

5. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем управления.-М.: Наука, 1978.-400с.