Software & Systems

В различных областях применения компьютерных технологий результаты математического моделирования или обработки реальных (полевых) данных представляются эксперту (интерпретатору) в виде плоских цветокодированных изображений. Известные системы, такие как Adobe Photoshop, ориентированы на обработку фотоизображений, для которых непривычны или не имеют смысла многие операции над данными. Например, это вычисление спектра, кепстра и преобразования Гильберта, фильтрация в пространстве волновых чисел, различные виды деконволюции, регулировка усиления в скользящем окне, свободный выбор весовой функции и палитры и т.д. Заметим, что как только используются операции над спектром, это требует (и в других операциях) корректного отношения к ограничению Найквиста, выполнения интерполяции через преобразование Фурье. Естественно, множество операций должно быть применимо ко всем порождаемым им изображениям. Когда возникает необходимость совместной обработки двух или более изображений, множество математических операций расширяется. Пользователь, конечно, захочет увидеть изображение (в оттенках серого) ковариации, сембланса и т.п. В настоящей работе рассмотрим подробнее предложенный и реализованный нами алгоритм коррекции (определения) пространственных искажений (деформации одного изображения относительно другого).

Пусть A(x) и B(x), xÎR2 – данные изображения. Будем исходить из модели:

A(x)=C9x)+N1(x), B(x)=C(x+u0(x))+N2(x),      (1)

где N1 и N2 – шумы (реальные или погрешности численного счета), C и u0 подлежат определению. Если мы хотим синфазно сложить A и B, чтобы поднять отношение сигнал/шум, или применить к ним какой-то алгоритм распознавания, надо иметь B(x-u), где u – аппроксимация поля смещений u0. Модель случайных смещений во многих случаях более адекватна данным, чем модель только аддитивного шума. С другой стороны, неизвестные деформации могут иметь детерминированный характер, например: изображения в акустической томографии могут быть искажены за счет рефракции в неоднородной среде, приближенную модель которой и надо построить. Однако во многих случаях деформации априори достаточно плавные. Точнее, будем считать, что в модели (1) спектр u0 лежит ниже спектров сигнала и шума, а частные производные u0 по модулю меньше 1. Это означает, что деформации не приводят к катастрофическому изменению формы сигнала. Обычный способ фазовой коррекции предполагает отыскание в скользящем окне максимума функции взаимной корреляции и неявно предполагает стационарность и узкополосность процесса. В некоторых программных продуктах, наоборот, пользователь должен вручную отметить соответствующие друг другу элементы изображений.

Коррекция деформации:

1 – деформированное изображение, 2 – первая итерация коррекции, 3 – десятая, 4 – недеформированное изображение, 5 – сумма кадров 1 и 4, 6 – сумма 3 и 4.

ÑuôH[A](x)-H[B](x-u)ôp=(l+m)Ñ(Ñ×u)+mDu       (2)

с нулевыми граничными условиями Дирихле или Неймана. Здесь p>0; H есть некоторый сглаживающий оператор (фильтр низких частот); l и m – параметры регуляризации, соответствующие упругим коэффициентам Ламе. Действительно, задача (2) соответствует минимизации функционала

òòd2xôH[A](x)-H[B](x-u)ôp+E®min,

где штраф E есть квазиупругая энергия, определяемая полем смещений u. Штраф позволяет сближать изображения A и B без излишнего искажения формы сигнала. Помимо качественных рассуждений, можно строго получить удовлетворительные оценки невязки решения (2) при оптимальном выборе параметров и не слишком обременительных ограничениях (на отношение сигнал/шум, некоррелированность шумов, низкочастотность спектра смещений). Для решения нелинейной краевой задачи (2) удается построить экономичный итерационный процесс, шаг которого осуществляется через быстрое преобразование Фурье и одномерную минимизацию (по параметру шага). Конечно, доказательство сходимости итераций, как и оценки невязки точного решения, проведены «в малом», и отсюда еще далеко до работающей программы. Проблема также состояла в том, чтобы сделать алгоритм зависимым лишь от небольшого числа в какой-то степени понятных пользователю числовых параметров (хэндлов). Разумеется, речь не идет о том, чтобы задавать упругие свойства фотографии. Нам кажется, что, может быть, в первом приближении, задача решена, и программа автоматически (интеракт только в управлении параметрами: пользователь не должен намечать ключевые дуги изображений) корректирует достаточно произвольные (но плавные) деформации (см. рис.). На рисунке индекс 1 отмечает искаженное изображение, 2 и 3 – первая и соответственно десятая итерации коррекции кадра 1 к оригиналу – индекс 4. Далее, 5 – сумма с весом 0.5 кадров 1 и 4, а 6 – сумма 3 и 4. Смещения и их размах здесь превышали 15 пикселей при растре 256´256, изображения в 256 оттенках серого.