Software & Systems

В наукоемких отраслях промышленности и в собственно научных учреждениях - в университетах и НИИ - все большее распространение получают системы моделирования процессов, в которых численно решаются системы дифференциальных уравнений, описывающие моделируемые процессы, и производится анализ полученного решения. Список фирм и научных коллективов, работающих в области создания таких систем, непрерывно растет. Часть фирм, специализирующихся в механике сплошных сред, объединена в рамках ассоциации пользователей и разработчиков прикладных систем моделирования в вычислительной гидродинамике - Word User Association in Applied Computational Fluid Dynamics (WUA-CFD) - представляющей более 20 стран и включающей в себя 85 промышленных компаний, имеющих дело с наукоемкой технологией [1]. В этой области находят себе место как известные компании (СНАМ Ltd., IBM Europe, Silicon Graphics, Fluent Europe), так и небольшие коллективы, разрабатывающие узкоспециализированные пакеты для информационно-вычислительных систем (ИВС).

Основой ИВС являются солверы (решатели), в которых для получения решения используются в основном методы конечного объема и конечных элементов. Специфика решаемых задач определяет наполнение вычислительного ядра: у геофизиков используются одни уравнения, временные и пространственные масштабы, у исследователей атмосферных явлений другие, при моделировании в энергомашиностроении - третьи.

Многие исследователи не покупают специальных пакетов, а разрабатывают собственное программное обеспечение. Однако они, как правило, нуждаются в пакетах научной графики, в библиотеках и базах данных по своей предметной области, в программах для генерации расчетных сеток и достаточно часто в пакетах, с помощью которых можно вести необходимые расчеты в своей предметной области. Все эти программы наряду с традиционными базами данных могут входить в современную информационную автоматизированную систему научных исследований.

Разработка ИВС с удобным пользовательским интерфейсом представляет актуальную задачу для нашей страны, где подобные пакеты программ разрабатываются пока не в столь широком масштабе, как на Западе.

В настоящей статье дается описание двух ИВС, в разработке различных частей которых принимают деятельное участие исследователи из Санкт-Петербургского технического университета, Энергетического института им. Г.М. Кржижановского (ЭНИН, Москва) и Тверского государственного технического университета [2,3].

Первая рассматриваемая система - ИВС SELIGER (System of Embedded Linked Information and Graphics for Equations basis Research) - предназначена для теоретических и прикладных исследований. Она может быть использована для решения широкого круга задач учеными-механиками и инженерами, работающими в области вычислительной гидродинамики, при решении задач тепло- и массообмена в сложных двух- и трехмерных областях, при моделировании в энергомашиностроении и конструировании авиационной и ракетно-космической техники, в химическом ап-паратостроении и при решении экологических задач.

Предполагается, что системой можно будет пользоваться как индивидуально, так и коллективно, используя однородное программное обеспечение ОС UNIX и Windows. Схема включения ИВС в локальную однородную сеть показана на рисунке 1.

Основные элементы ИВС: солвер, препроцессор - генератор сеток и графический постпроцессор. Ввод данных, характеризующих геометрию моделируемого объекта, можно выполнить, используя как специальный препроцессор, так и какую-либо другую систему, например AutoCAD. В случае работы в сети исследователю дается возможность пользования и ресурсами ИВС, и другими специализированными пакетами и базами данных, функционирующими в среде Windows. Пользователь ИВС получит возможность быстрой перенастройки ядра системы под свои нужды и инструмент анализа полученных результатов.

Вторая система - ESTTAC (Eulerian Simulation of the Two-phase Turbulent Aerodinamics and Combustion) - предназначена для моделирования термохимических и аэродинамических процессов в энерготехнологическом оборудовании [2]. Расчет можно вести как для двухмерных, так и для трехмерных течений реагирующих двухфазных потоков. Используя, в частности, оконную версию ESTTAC, пользователь может достаточно быстро провести исследование влияния технологических и геометрических параметров на процесс горения дисперсного топлива в камерах топок различной формы в рамках осесимметричного (с закруткой потока и без нее) и плоского описаний течения.

Генерация расчетной сетки и подготовка даных

При расчете течений в сложных областях около тел реальной формы (самолет, автомобиль, каналы сложной формы, лопатки турбин и т.п.) для повышения точности расчетов в пограничных областях вводят обобщенные криволинейные координаты. Область обобщенных координат строят таким образом, чтобы ее границы в физическом пространстве совпадали с координатными линиями в пространстве обобщенных координат. В общем случае генерация расчетной сетки требует использования специальных алгоритмов для решения краевой задачи, выполнения трудоемкой и кропотливой работы, объем которой резко возрастает при моделировании трехмерных сечений с границами сложной формы. Часто эта проблема становится не менее сложной, чем собственно расчет течения.

Подготовка данных, задание граничных условий и определение констант для начала расчета также является дополнительной причиной головной боли у исследователей, особенно если проводятся серии разнородных расчетов на этапе отладки и тестирования задачи.

Построение границ области моделирования, генерации сетки, задание типа граничных условий и подготовка файла данных для солвера - все это относится к функциям пакета CUTTER.

Система меню и диалоговых окон в CUTTER должна позволить создать геометрическую модель объекта и провести генерацию расчетной сетки с заданными свойствами.

Встроенный модельер имеет функции для:

1)       подготовки линий, ограничивающих боковые поверхности односвязного блока;

2)   создания односвязных расчетных блоков с вы деленными границами в двух- и трехмерном про странствах с использованием набора линий опре деленной и произвольной форм;

3)   сбора области из стандартных блоков (круг, сег мент, трапеция, сфера, полусфера, цилиндр, ко нус, параллелепипед, призма и некоторые другие плоские и пространственные фигуры);

4)  ввода данных о геометрии расчетной области, предварительно подготовленной в системе AutoCAD;

5)  создания односвязной области расчета из подго товленных блоков - заготовок;

6)  задания типа граничных условий на границах расчетной области с проверкой сопряжения блоков по граничным условиям;

7)  редактирования геометрии расчетной области с использованием функций поворота, зеркального отображения относительно координатных линий и плоскостей;

8)  архивирования данных в специальных файлах.

После построения геометрической модели производится генерация расчетной сетки.

На первом этапе построение сетки можно вести алгебраическими методами. Для этого обычно используют методы двух границ, многих поверхностей, трансфинитной интерполяции или просто назначают координатные линии вдоль заданных направлений, задавая соответствующие координаты в диалоговом окне. Специальные функции используются для контроля распределения внутренних точек с помощью однородных функций растяжения и обеспечения локальной ортогональности сетки около границ. Часто построение сетки алгебраическим путем дает вполне удовлетворительные результаты - и задачу генерации можно считать законченной.

Генерация поверхностей, ограничивающих рабочий объем, возможна и в других системах проектирования, в частности в AutoCAD. На основе этой системы разработана программа для создания модели и сетки для объектов, составленных из простых фигур. В ней можно подготовить файлы для солвера или для дальнейшей обработки в CUTTER.

Методы, основанные на решении дифференциальных уравнений, относятся к числу самых развитых для автоматизированного построения расчетных сеток. Приемлемой является любая система дифференциальных уравнений, решение которой дает пригодную сетку. В пакете CUTTER для автоматической генерации плоских сеток используется метод Томпсона, согласно которому физическая плоскость преобразуется в вычислительную в соответствии с решением уравнения Пуассона. В модифицированной утилите желаемое распределение узлов достигается по методике Миддлкоф-фа-Томаса путем оценки источниковых членов уравнений Пуассона по требуемому распределению точек На границе. Локальное улучшение сеток можно производить за счет сегментации.

Пакет CUTTER работает под Windows и имеет интерфейс, позволяющий автоматизировать рутинную работу создания области моделирования и построения сетки, с поддержкой различных видовых преобразований, и дающий широкие возможности просмотра и коррекции контрольных блоков и сеток, а также редактирования и архивации файла данных для решателя.

Главное меню и окна пакета CUTTER показаны на рисунке 2.

В системе ESTTAC подготовка данных для расчетов производится с использованием диалоговых окон, вызываемых из управляющей оболочки NOx; построение сетки производится интерактивно с использованием функций программы GRID. Вид главного меню этой программы и диалогового окна для ввода констант и задания условий на входе в топочную камеру приведены на рисунке 3.

Отметим, что генерация сетки в ESTTAC производится для заранее определенной геометрии, с использованием только декартовой и цилиндрической систем координат.

Вычислительное ядро

MBCSEUGER

Основу ИВС SELIGER составляет солвер SFINKS 1.0, разработанный Смирновым Е.М. на основе исследований, проведенных в [3]. Он предназначен для расчета в областях со сложной геометрией двух- и трехмерных, вязких и невязких, дозвуковых стационарных течений с конвективным теплообменом и без него. В настоящей версии солвер использует одноблочные криволинейные сетки, отслеживающие геометрию ограничивающих поверхностей. Расчеты ведутся на основе полных уравнений Эйлера или Навье-Стокса. В случае турбулентного течения осредненные по Рейнольд-су уравнения Навье-Стокса замыкаются с использованием дифференциальной "к-е" модели турбулентности.

Дискретизация по пространству осуществлена по методу контрольного объема. Стационарное решение находится по методу установления с применением идей метода искусственной сжимаемости. Эволюционная задача по фиктивному времени решается по выбору пользователя либо неявным методом с приближенной факторизацией операторов, либо явным методом по одной из схем Рунге-Кутта.

Для постановки условий на ограничивающих поверхностях использован сегментный подход. Реализовано около двух десятков видов граничных условий, что в совокупности с выбранной структурой размещения данных в памяти компьютера позволяет решать большое число прикладных задач без перекомпиляции солвера.

Решатель написан на алгоритмическом языке FORTRAN-77 (создается версия солвера на языке С++) для работы на ПК и рабочих станциях и может функционировать как в операционной системе DOS, так и при работе в системе UNIX.

В основу работы солвера положено решение уравнений осредненного турбулентного течения. Опуская в уравнениях члены, содержащие рей-нольдсовы, а затем и вязкие напряжения, можно получить соответственно математические модели ламинарного движения вязкой жидкости и движения невязкой жидкости.

Осредненные по времени уравнения неразрывности и движения имеют вид:

 дхк

дР

(5)

Значения постоянных, входящих в уравнения (4-5), выбираются соответственно [4J:

См = 0,09, СвХ = 1,44, Се2 = 1,92, ак = 1,0 , аЕ = 1,3

В согласии с принятой моделью турбулентности для высоких чисел Рейнольдса при постановке граничных условий используется метод пристеночных функций [5]. Привлечение метода пристеночных функций позволяет не только резко сократить число расчетных ячеек в пристеночной области потока, но и использовать результаты изучения физических процессов в канонических течениях при относительно простой геометрии (например пограничные слои на плоских поверхностях, течения в длинных трубах и т.д.). В рамках такого подхода предполагается, что граничные условия можно задать не на самой стенке, а в первой от стенки расчетной точке. Необходимым условием является расположение данного точки в области логарифмического слоя, т.е. в области 30 < у+ < 100. В этой области выражения для вектора скорости, турбулентной энергии и скорости диссипации имеют вид:

|u-u

(6)

(2)

JU, dUk

Плотность среды р определяется по уравнению состояния; в частном случае несжимаемой жидкости плотность полагается постоянной.

В рамках стандартной "k-s" модели турбулентности предполагается, что для расчета компонент тензора рейнольдсовых напряжений < и}и'к > может быть использована гипотеза Буссинеска с изотропным представлением турбулентной вязкости ут

<и-и'к

В выражении (3) турбулентная вязкость определяется на основе формулы Колмогорова-Прандтля:

 = C/ik2/s

где

- эмпирическая постоянная. Для определения турбулентной энергии к и скорости ее диссипации е используются уравнения."

дрк

дт               . . ..                          .. - . .

(4)

где tw - полное турбулентное трение на стенке.

Значения эмпирических постоянных выбираются в соответствии с экспериментальными данными по турбулентному пограничному слою на гладкой поверхности: к = 0,41, А = 5,5. Введение в выражение (6) скорости Ц^ позволяет учитывать движение точек поверхностей, ограничивающих область расчета.

ИВС SELIGER является вычислительным комплексом достаточно общего назначения, в частности предполагается его использование для решения задач в границах произвольной формы, что обусловливает введение обобщенных криволинейных систем координат.

Связь между декартовой и обобщенной системами координат описывается преобразованием

с якобианом:

#2,1 #2,2 #2,3 #3,1 #3,2 #3,3

При использовании вычислительной ячейки £к(х1,Х2,х3) с гранями единичной длины в вычис лительном                                 пространстве,             т.е.             при

СВ.

 = A£2 = Л£з = , вектор S' с компонентами

имеет вид S, ' = gk t, / J и в декартовой системе координат является нормальным к изоповерхности %К = const, а его компоненты по величине равны площади грани вычислительной ячейки в физическом пространстве.

Уравнения сохранения массы, импульса в выбранной криволинейной системе координат принимают вид:

1 ф dGk

----- —+---- =- = 0

J дх дх

 , ^ d(GkU,

J дх где Gk = pSJ

обобщенный тензор рейнольдсовых напряжений, = М + Ит тензор рейнольдсовых напряжений,

коэффициент эффективной вязкости.

Уравнения баланса турбулентной энергии и скорости ее диссипации могут быть записаны в обобщенной форме для скалярной величины

 дрФ d(Gk

 ~ Диффузионный

поток скалярной величины , а S - соответствующие источниковые члены, описывающие порождение и диссипацию турбулентных характеристик в уравнениях (4-5).

В качестве основного подхода к численному решению системы уравнений движения выбран метод искусственной сжимаемости. Выбор данного -метода обусловлен следующим [3]:

1)               для несжимаемых (существенно дозвуковых) течений уравнение неразрывности явно не со держит временной производной (р = const), что делает общую систему уравнений несимметрич ной;

2)       целесообразна разработка программного ком плекса, который позволяет рассчитывать как нес жимаемые, так и сжимаемые течения;

3)       несмотря на то, что метод искусственной сжи маемости разрабатывался для расчета несжи маемых потоков, использование этого метода при численном анализе сжимаемых потоков показало его достаточно высокую эффективность;

4)       в рамках метода искусственной сжимаемости достаточно легко переходить от явных схем по временному шагу интегрирования к неявным схе мам и наоборот.

Обобщенная форма транспортного уравнения в рамках метода искусственной сжимаемости для вектора переменных имеет следующий вид:

(Ю)

где У{ = (Р,ик,к,е,&,.,,,) - вектор переменных; T/...у - дифференциальный оператор, определяемый уравнениями (7-9); тап - фиктивное время.

Решение уравнения (10) реализуется по нескольким вариантам, в которых применяются:

1)       явные схемы Рунге-Кутта высокого порядка точности, адаптированные для решения много мерных задач механики жидкости;

2)       неявная разностная схема первого порядка по фиктивному времени, использующая линеариза цию оператора Т и многошаговую процедуру при ближенной факторизации на каждом временном интервале.

При дискретизации пространственных операторов используется интегральная форма транспортных уравнений в контрольном объеме вычислительной ячейки с привлечением теоремы Гаусса для сведения объемных интегралов к поверхностным. Для расчета конвективных слагаемых в уравнениях сохранения импульса и скалярных величин используется противопоточная дифференциальная схема высокого порядка, обобщающая схемы QUICK и линейную противо-поточную схему второго порядка. Для дискретизации дифференциальных операторов, отражающих действие вязкости, применяете центральная разностная схема второго порядка точности. С целью подавления нефизических осцилляции давления используется специальная корректирующая интерполяционная процедура для вычисления массовых потоков в уравнении неразрывности.

При использовании неявных схем по фиктивному времени полученные системы алгебраических уравнений решаются с использованием известного алгоритма матричной или скалярной прогонки.

HBCESTTAC

В системе ESTTAC [2] моделируется процесс горения распыленного угля в двухфазном потоке. Его вычислительное ядро для удобства разделено на программы FLAME и OXID, управляемые из оболочки проекта NOx. FLAME - солвер, в котором производится расчет полей скорости осредненного турбулентного течения реагирующих и взаимодействующих между собой газовой и дисперсной (пылевидный уголь) фаз потока, температурного и радиационного полей, концентрационных полей СО,СО2,О2,Н2О,С„Нт. Вторая программа -OXID - используется для расчета концентрационных полей оксидов азота NOX в топливной и газовой фазах.

При выборе математического описания предполагалось, что решается стационарная задача, а топочная среда в аэродинамическом отношении представляет собой гетерогенный газодисперсный поток, состоящий из газовой фазы (воздух и продукты сгорания) и твердых частиц (топливо и зола), причем зола считается отделенной от углерода в объеме частицы. Предварительные оценки показывают, что частицы в топочной камере являются достаточно мелкими в газодинамическом отношении, т.к. отношение времени динамической релаксации частиц ти к временному масштабу пульсаций Ти значительно меньше единицы (ти/Ти<.1,). По этой причине описание аэродинамики можно выполнить в рамках теории взаимопроникающих континуумов на основе инерционно-диффузионной модели [6], позволяющей учесть динамические эффекты, обусловленные инерционностью частиц, действием массовых сил, и миграцию частиц в поле турбулентных пульсаций газа, в рамках единого диффузионного подхода к процессам переноса. Это существенно упрощает вычислительную процедуру и сокращает время счета. Так как массовая концентрация частиц в пространстве топочной камеры невелика, то можно принять, что среднемассовая скорость газодисперсного потока совпадает со скоростью газа:

Уравнения для объемных концентраци! угольных и золовых частиц при изотропном пред ставлении тензора диффузии Djk = DtSik и с уч» том горения углерода записываются в виде

(8к-

1+ррфр/р д

дх, " дхк \+РрФр/рдхк рр

где индекс р-с\,С2<съ>-сп[ Д™ угольных частиц (Иу- число фракций углерода), р = а для золы.

Величина <ор представляет собой увеличение

массы /-ой фракции углерода в единице объема за счет горения.

Для определения пульсационных характеристик потока используется "к-е" модель турбулентности, модифицированная с учетом влияния частиц на турбулентность через механизм межфазного пульсационного скольжения:

dpUkk__ д_ jAf_ дк_

дхк дхк ак дхк

Математическую основу FLAME составляют уравнения, полученные с использованием специальной формы кинетического уравнения Фоккера-Планка для функции плотности вероятности (PDF) [2.6].

На его основе после введения ряда гипотез для замыкания корреляционных моментов можно вывести систему уравнений вида (1-5), описывающую сохранение массы, перенос импульса, тепла и массы в двухфазной среде:

(11)

дхк

и,с                           ' и,а

д              Hf де

;к дхк <те дхк

Е ,                Щ

'""к>' дхк~

]к у

(14)

 (15)

 раФа)Ц,Цк JP

дх,

-(р + раФа +РаФа

(12)

где рс, ра - плотности угольных и золовых частиц, Фс, Фа - суммарные по всем фракциям концентрации угольных и золовых частиц, а , - осредненные по фракциям коэффициенты вовлечения угольных и золовых частиц в турбулентное движение газа, #, - сила тяжести.

-cs2p—2[<

 TUfl

Для описания процесса тепло- и массообме-на при горении уравнения турбулентного течения двухфазной смеси дополняются транспортными уравнениями, включающими дополнительные ис-точниковые члены межфазного взаимодействия, соотношениями, определяющими выход и горение летучих, изменение плотности частиц угля при горении.

Для описания процессов турбулентного горения введены следующие предположения:

1)       принимается, что выход и сгорание летучих происходит мгновенно при вводе частиц топлива в топочную камеру; это обосновано тем, что время выхода и горения летучих существенно меньше времени горения коксового остатка;

2)       горение углерода на поверхности частиц

происходит согласно реакции С+—О2 = С0,

Рис.4. Меню и окна графического постпроцессора LEONARDO 2.01

продукт реакции СО диффундирует в объем, где мгновенно догорает до СО2;

3)       влиянием реакции газификации углерода в СО,

4)       Н2О можно результате взаимодействия пренебречь.

Радиационные характеристики газодисперсного потока рассчитываются на основе обобщения моментного метода для случая рассеивающей среды, а также при предположении о радиационном

равновесии газовой фазы divqfad= 0 и справедливости приближения серого тела для частиц.

В основу численного метода решения системы дифференциальных уравнений движения, тепло- и массопереноса положен полунеявный метод для связывающих давление уравнений, известный под названием SIMPLE [4]. Численная схема была подвергнута значительной модернизации для описания течения около наклонных твердых стенок, которые формально представлялись в виде ступенчатых линий, но их наклонное положение учитывалось через поправочные коэффициенты в формулах для расчета сдвиговых напряжений и турбулентных тепловых потоков газовой и дисперсной фаз для пристеночных контрольных объемов.

Оконный вариант системы ESTTAC снабжен пользовательским интерфейсом с достаточным числом функций, позволяющих быструю настройку

на конкретную конфигурацию топочной камеры и изменение граничных условий и входных данных.

Визуализация и обработка результатов моделирования

Обработка данных, полученных в современном вычислительном эксперименте, практически невозможна без мощного графического пост-процессора. Для визуализации результатов в системах SELIGER и ESTTAC используется программа LEONARDO 2.01. Первая версия этой графической системы описана в [8,9]. К настоящему времени ее возможности увеличены.

Главное меню системы показано на рисунке 4. Используя функции меню, пользователь может быстро построить различные виды модели и подготовить разнообразные рисунки.

В функции LEONARDO входит:

-      поиск файла данных с результатами расчетов, проверка его и поиск возможных ошибок в записи;

-      выбор массива анализируемой величины, ее ранжирование;

-      выбор вида проекции объекта, запись удачной конфигурации для дальнейшего использования;

-      масштабирование области визуализации в це лом по объему и осям, построение осей с оциф ровкой, выделение границ анализируемой области;

-      выделение сечений, просмотр значений функ ций, построение расчетной сетки;

-      построение линий уровня в различных сти лях, с оцифровкой и без, создание карт с закрас кой полей, вывод легенды;

-      построение поверхностей и изоповерхностей, построение эпюр и графиков функции одного пере менного, мэппирование распределения перемен ных в сравнении друг с другом;

-      визуализация векторных полей;

-      расчет и воспроизведение траекторий отмечен ных частиц, выполнение этой операции в различ ных стилях с целью усиления выразительных воз можностей дополнительной анимации изображе ния;

-      тоновая раскраска изображений, дополнение расчетной информации экспериментальными дан ными, графическое редактирование;

-      дизайн и макетирование полученных рисунков в объединенном файле;

-      печать готовых рисунков на принтерах, допуска емых используемой версией MS Windows.

Система LEONARDO работает с файлами данных, выдаваемых солверами в кодах ASCII или в двоичном формате. Они могут быть также подготовлены пользователем в его прикладных программах.

Программа полностью автономна, и после перекодирования оригинального файла данных может быть использована любым солвером с включением вызова в оболочку, управляющую проектом.

Сочетание возможностей LEONARDO и специализированных пакетов для подготовки анимационных роликов типа 3D Studio и Animator Pro позволяет достаточно быстро подготовить анимационный сюжет, отражающий динамику движения в сплошных средах, и отразить в движении происходящие процессы.

Перспективы использования

Тестирование комплекса программ, входящих в ядро систем SELIGER и ESTTAC, показало достаточную их универсальность для решения задач моделирования энерготехнологического оборудования - каналов, аппаратов циклонного типа, топок котлов. Они могут быть успешно использованы как для расчета холодной аэродинамики этих устройств, так и при моделировании горения распыленного топлива. Результаты решения отдельных задач не могут быть представлены в этой статье из-за недостатка места, они обсуждаются в научных публикациях авторов систем.

В настоящее время работа в области сю дания информационной вычислительной систем! продолжается во всех упомянутых направлениях Авторы работы приветствуют сотрудничество i этой области со всеми, кто заинтересован в дан ном вопросе.

Работа по созданию ИВС SELIGER и ESTTAC финансировалась за счет грантов Российского фонда фундаментальных исследований (Ns 94-01-01227) и конкурсного центра гранта по фундаментальным исследованиям в облает энергетики и электротехники (No Гр.92-94), которым автор выражает свою благодарность.

Список литературы

1.        Basel Word CFD User Days 1994, Proceedings ol Second'Word Conference in Applied Computational Fluid Dynamics, 1-5 May, 1994, (WUA-CFD), p. 780.                                                                            ,

2.        Goryachev V.D., Kozelev M.V., Pershukov VA, Saenko V.N., Vinberg A.A., Zaychik L.I. ESTTAC - Eulerian Simulation of the Two-phase Turbulent Aerodynamics and Combustion // Proc. of the 4th Int. Conf. and Trade Show "CAD/CAM & MULTIMEDIA (CAMP"94)". 13-15, September, 1994, Budapest, pp. 30-36.

3.        Smirnov E.M. Numerical Simulation of Turbulent Flow and Energy Loss in Passages with Strong Curvature and Rotation using a Three-Dimensional Navier-Stokes Solver, Report "Research in Brussels" Action, 1991-1992, Department of Fluid mechanics, Vrije Iniversitet Brussel, March 1993, p. 97.

4.        Роди В. Модели окружающей среды // В кн.: Ме тоды расчета турбулентных течений. - М.: Мир, 1983. - С. 227-322.

5.        Launder B.E., Spalding D.B. The numerical computation of turbulent flows // Comput. Methods Appl. Me* Eng. Vol. 3, № 1,1974, pp. 269-289.

6.        Zaichik L.I., Vinberg, A.A. Modeling of Particle Dynamics and Heat Transfer in Turbulent Flows Using Equations for First and Second Moments of Velocity and Temperature Fluctuations // Proceedings of the 8th Symposium on Turbulent Shear Flows, Munich, Germany, 1991, pp. 10.2.1- 10.2.6.

7.        Зайчик Л.И., Першуков В.А., Козелев М.В., Вин- берг А.А., Горячев В.Д. Моделирование горения твердого топлива в турбулентных потоках // Труды /1 Рос. нац. конф по теплообмену. -1994.- Т.З. - С. 124-129.

8.        Горячев В.Д., Саенко В.Н. Использование гра фических постпроцессоров WG и LEONARDO в вы числительной гидродинамике // Программные продукты и системы. - 1993. - № 2. - С. 30-35.

Goryachev V.D., Saenko V.N., Sigov V.Yu. WG & LEONARDO as Interactive Visualization Systems for Computer Fluid Mechanics, Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, N8 46 & 47, 1993, pp. 853-856