Software & Systems

Процесс теплопроводности в обрабатываемом материале оказывает значительное влияние на теплообмен в теплотехнологических установках производства стройматериалов, в частности, обжига цементного клинкера. Поэтому моделирование их тепловой работы требует использования отсутствующих зависимостей коэффициента теплопроводности силикатных материалов от их состава и температуры. Стационарные методы исследования теплопроводности разработаны наиболее полно, но они характеризуются низкими рабочими температурами, сложностью экспериментальных установок и значительным временем проведения эксперимента [1]. Нестационарные методы и методы неравновесной термодинамики основаны на исследовании меняющихся во времени температурных полей [2]. Основная трудность их реализации состоит в приближении используемой математической модели к реальным экспериментальным условиям.

В работе предложен метод определения зависимости коэффициента теплопроводности гранулированного материала от температуры, основанный на решении нестационарной обратной задачи теплопроводности. Принцип метода заключается в экспериментальном определении температур в двух точках гранулы с диаметром 5–25 мм при ее нагреве или охлаждении и моделировании температурного поля гранулы численным решением дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности в сферических координатах [3] с приближением модели к экспериментальным данным. По изменению поля температуры производится расчет теплового потока, который равен изменению теплосодержания гранулы за определенный промежуток времени, и расчет коэффициента теплопроводности исследуемого материала.

Необходимо отметить отличие предлагаемого метода от классической обратной задачи. Приведение в соответствие результатов численного моделирования и экспериментальных данных  путем изменения коэффициента теплопроводности для рассматриваемой задачи невозможно, так как найденные коэффициенты будут содержать значительную погрешность, связанную с неточностью определения параметров модели (радиуса и условий теплоотдачи на поверхности) из-за неправильной формы гранулы. В предлагаемой методике моделирование служит для точного расчета количества теплоты, теряемой гранулой, по которому и определяется коэффициент теплопроводности.

Исследование теплопроводности по предлагаемой методике состоит из следующих этапов.

1. Исследование материала гранулы, определение истинной и кажущейся плотности, эквивалентного диаметра.

2. Экспериментальное определение температур в двух точках гранулы t и t, измеряемых с помощью двух термопар (рис. 1), при ее нагреве в муфельной печи до 1 000 °С и при охлаждении в естественных условиях от 1 000 до 200…300 °С.

Рис. 1. Закладка термопар при экспериментальном измерении температуры гранулы

3. Приближение температур, определенных в эксперименте t и t и рассчитанных по модели теплопроводности t и t (рис. 2), выполняемое путем изменения граничных условий модели и других параметров, измерение которых связано с погрешностью.

  а                                               б

Рис. 2. Расчетное температурное поле гранулы: а – нагрев; б – охлаждение

4. Расчет коэффициента теплопроводности для каждого момента замера температуры, выполняемый по тепловому потоку Q, проходящему через сферу радиусом rk, ограничивающую внутреннюю часть гранулы, площади поверхности сферы и по разнице температуры в малом объеме у ее поверхности (рис. 2).

5. Определение по полученной табличной зависимости коэффициента теплопроводности l от температуры t в виде регрессионного уравнения l=f(t) и итерационное уточнение зависимости.

Согласно изложенной методике разработано программное обеспечение для численного моделирования температурного поля гранулы, обработки результатов эксперимента и определения коэффициентов зависимости коэффициента теплопроводности от температуры (рис. 3).

Алгоритм работы программы следующий.

1. Считывание из файла экспериментальных данных: радиуса гранулы R, плотности гранулы r, времени от начала нагрева (охлаждения) до начала замеров Dt0, температур t и t, m=1…N'э, где N'э – число всех экспериментальных точек (как правило, 50–80).

2. Удаление экспериментальных точек, не входящих в заданный диапазон температур, сглаживание экспериментальных данных полиномом заданной степени. Результат – температуры t и t, m=1…Nэ, где Nэ – число экспериментальных точек.

3. Численное моделирование температурного поля гранулы t, i=0...N, j=0...Nм, где N – максимальный номер точки расчетной сетки по радиусу гранулы; Nм – число итераций по времени, определяемое из условия заданного шага по времени Dtм (как правило, Dtм=0,1 сек.).

4. Минимизация квадратичного отклонения S экспериментальных и расчетных температур путем изменения заданных параметров методом покоординатного спуска с дроблением шага (итерационный повтор п. 3).

5. Расчет коэффициента теплопроводности lm(tm), m=1…Nэ, и коэффициентов регрессионного уравнения l=f(t), где f(t) – квадратичное a0+ +a1t+a2t2 или кубическое a0+a1t+a2t2+a3t3 уравнение с оцениваемыми коэффициентами a0,a1,a2, a3.

6. Итерационный расчет пп. 3–5 до стабилизации коэффициентов регрессионного уравнения l=f(t).

В программе реализованы следующие возможности:

– выбор количества точек сетки N и шага по времени в модели Dtм;

– выбор вида регрессионного уравнения l=f(t), используемого в модели теплопроводности, которым может быть полином 2-й или 3-й степени;

– выбор наличия или отсутствия сглаживания исходных экспериментальных данных и степени сглаживающего полинома (от 2-й до 4-й);

– задание диапазона температур экспериментальных данных для исключения вносящих заметную погрешность начального участка, на который оказывает влияние процесс извлечения гранулы из муфельной печи или помещения гранулы в нее, и конечного участка, когда температуры мало изменяются по времени и по радиусу;

– выбор схемы дискретизации: Кранка–Николсона, неявной и совмещенной, предложенной в работе [3];

– выбор способа приближения расчетных и экспериментальных данных путем изменения следующих параметров: коэффициента ka для корректировки коэффициента теплоотдачи на поверхности; времени до начала замеров Dt0; начальной температуры гранулы при охлаждении или температуры в муфельной печи при нагреве; диаметра R. Для перечисленных способов возможно установление их активности или неактивности и очередности применения, которая задается перемещением способа в списке на экране;

– выбор между использованием для вычисления коэффициента теплопроводности сглаженных экспериментальных значений температур или температурного поля модели;

– расчет температурного напора Dt по двум соседним узлам сетки с номерами k и k–1 или по двум точкам, с номером k и лежащей рядом с ней на заданном малом расстоянии Dr<

– задание начальных значений для коэффициентов, используемых при приближении;

– наглядное представление хода расчета в виде демонстрации в реальном времени в графическом виде экспериментальных точек, температур, полученных в результате моделирования, полученной зависимости для коэффициента теплопроводности.

Рис. 3. Пример расчета коэффициента теплопроводности при охлаждении гранулы

Графический интерфейс программы позволяет визуально оценивать точность аппроксимации экспериментальных данных полиномом, степень приближения температур модели и эксперимента, вид получаемой зависимости для коэффициента теплопроводности, дает возможность изменением исходных данных подбирать наиболее удачный вариант расчета. Использование графического диалогового интерфейса и наглядного представления хода и результатов расчета оказало также большую помощь при разработке и отладке алгоритма программы.

Для тестирования программы в качестве исходных данных задавалось распределение температур, полученное аналитическим решением уравнения нестационарной теплопроводности при постоянных теплофизических параметрах. Результаты расчета коэффициента теплопроводности при различных вариантах параметров процесса (плотности, теплоемкости, коэффициента теплоотдачи) не отличались от задаваемого при аналитическом решении более чем на 0,5 %.

Предложенный метод использован для определения теплопроводности заводских гранул АО «Белгородский цемент», АО «Осколцемент» и гранул, полученных в лабораторных условиях обжигом в высокотемпературной печи. Статистическая проверка показала однородность полученных данных с результатами измерения теплопроводности в установках стационарного плоского и цилиндрического слоя, в которых свойства определялись при температурах 200–400 °С [4].

Можно заключить, что разработанный метод позволяет с достаточной степенью точности определять коэффициент теплопроводности гранул при температурах до 1 000 °С и их зависимость от температуры, не требуя дорогостоящего специализированного оборудования.

Литература

1. Осипова В.А. Экспериментальное исследование процессов теплообмена. – М.: Энергия, 1979. – 320 с.

2. Бек Дж., Блакуэл Б., Сент-Клэр Ч. Некорректные обратные задачи теплопроводности. / Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 312 с.

3. Трубаев П.А., Беседин П.В. Численное моделирование процесса охлаждения клинкерных гранул в колосниковом холодильнике. // Изв. вузов. Строительство. – 2004. – № 6. – С. 120–125.

4. Беседин П.В., Трубаев П.А. Исследование и оптимизация процессов в технологии цементного клинкера. – Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, БИЭИ, 2004. – 420 с.