Software & Systems

Экономико-математические модели и методы нашли широкое применение в совершенствовании процедур планирования и управления развитием вооружения. Успех использования этих схем существенно зависит от полноты информационных данных о состоянии предприятий оборонной промышленности и об их производственных возможностях. Однако имеющаяся неопределенность вызывает необходимость создания специальных экономических механизмов.

Основным моментом при этом является представление оборонных предприятий как совокупности подсистем, обладающих собственными интересами и целями и стремящихся к их достижению в рамках свободы выбора плана выпуска и сбыта продукции (образцов вооружения и военной техники (ВВТ)).

С совершенствованием теории управления развитием вооружения начали формироваться критерии и, как следствие, разрабатываться декомпозиционные схемы планирования закупок ВВТ с формулировкой задачи: какие критерии нужно назначить предприятиям оборонного комплекса, чтобы их достижение привело к оптимуму.

Упрощенно можно сказать, что рассматриваются следующие варианты планирования:

1)  в начале планового периода заказчики ВВТ сообщают о своих потребностях в управляющий центр (далее – центр), который решает оптимизационную задачу и сообщает заказчикам планы по серийному заказу;

2)  центр рассчитывает план серийного заказа заранее по некоторой опорной информации о потребностях заказчиков, но сообщает предприятиям оборонного комплекса не плановые задания, а критерии, которые должны быть обеспечены (например, максимальная цена образца ВВТ) при производстве; предприятия, обладая более точной информацией об условиях производства, сообщают о возможности обеспечить достижение указанных критериев.

Второй вариант опирается на устойчивость оптимальных цен в окрестности точки оптимального плана.

Опишем базовую модель, на которую будем опираться. Предположим, что есть система предприятий (число предприятий – n), производящих образцы ВВТ, и центр. Рассмотрим статическую ситуацию, в которой решение принимается однократно на период планирования, получение и обработка информации на промежуточных этапах не предусматриваются.

Подсистема оборонных предприятий характеризуется множеством производственных возможностей Xi по выпуску (серийному производству) образцов ВВТ; хi – производственные возможности отдельного предприятия, то есть

хiÎXi, i=1,…,n.                                      (1)

Центр стремится к увеличению критерия (w0):

w0=g(х1,…,хn,y1,…,yn),                              (2)

который зависит от деятельности предприятий хi, i=1,…,n, и от воздействия центра на эти предприятия yi, i=1,...,n. При этом совокупное воздействие центра принадлежит некоторому множеству Y:

(y1,…,yn)ÎY.                                           (3)

Чтобы судить об эффективности управляющих воздействий центра, необходимо знать реакцию хi каждой подсистемы на воздействие yi. Если эта реакция задана, то подсистема описывается по принципу систем управления, то есть каждому воздействию yi автоматически отвечает реакция хi. Такое описание механизмов управления используется в большинстве имитационных моделей, воспроизводящих процедуры планирования и управления.

Возможен и иной подход. Рассмотрим подсистему, у которой есть стремление увеличить собственный критерий (wi):

wi=fi(xi,yi), i=1,…,n.                    (4)

Здесь сначала следует сформулировать дополнительные гипотезы, связанные с информированностью подсистем и центра, очередностью принятия решений, принципами выбора рациональных стратегий в условиях неопределенности и т.п.

Такой подход более реалистичен, поскольку позволяет систематизировать основные элементы обстановки, сопутствующей принятию решения и его реализации, и дать по возможности полный анализ рационального поведения.

Рассмотрим один из вариантов гипотез, характерных для иерархически организованных экономических систем. Центр первым принимает решение об управляющих воздействиях y1,…,yn и сообщает его компоненты соответствующим подсистемам.

После этого результат каждой подсистемы по критерию (4) зависит только от ее действий, и она выбирает хiÎXi, i=1,…,n, из условия максимизации (4), то есть подсистема становится рефлекторной. В том случае, если центру известны принципы поведения подсистем в условиях неопределенности (например, усреднение неопределенности или гарантированный результат), для него может оказаться выгодным неточно сообщать свое воздействие yi.

Казалось бы, после фиксации двух указанных гипотез (очередность принятия решений и характер отклика подсистем) модель принятия решений в описанной иерархической системе должна замкнуться в том смысле, что можно искать наилучшее по критерию (2) управление центра (здесь под критерием (2) может быть выбрано, например, требуемое значение серийного производства образца ВВТ). Однако это не так. Прежде всего подсистема может давать неоднозначный отклик на заданное воздействие (максимум критерия fi (4) достигается не в одной точке). Следовательно, встает вопрос о снятии этой неоднозначности. При этом, если принять гипотезу, что подсистема из множества безразличных для нее исходов выберет наилучший для центра, то требуется усложнение потоков информации в системе. При отказе от этой гипотезы единственно разумным может стать принцип наибольшего гарантированного результата, то есть ориентация на наихудшие для центра отклики.

Таким образом, только зафиксировав гипотезы об элементах обстановки, в которой вырабатывается механизм воздействия, мы придем к той или иной математической оптимизационной задаче.

Как иллюстрацию дадим классификацию типовых ситуаций и соответствующих им видов механизмов в простейшем варианте базовой модели, включающем только одну подсистему:

w0=g(x,y), w=f(x,y), хÎX, yÎY.              (5)

Считаем, что центр формулирует механизм управления развитием ВВТ, следуя принципу получения наибольшего гарантированного результата по своему критерию g(x,y), а подсистема в условиях, когда исход зависит только от ее выбора, максимизирует свой критерий f(x,y). Классификация идет по типу стратегии центра, определяемому его информированностью.

Ситуация 1. Центр не рассчитывает на информацию о конкретном выборе х (или не имеет возможности ее обработать). Тогда его механизм воздействия состоит в назначении конкретного у, например, сообщение некоторых параметров, цен и прочего, выделение ресурсов подсистеме до начала серийного производства ВВТ.

В соответствии с этим рефлекторное описание подсистемы каждому yÎY ставит в соответствие подмножество откликов:

.

Наибольший гарантированный результат центра:

.                        (6)

Ситуация 2. Центр рассчитывает на информацию о векторе х и формулирует механизм (стратегию) как функцию .
В таком виде задаются правила поощрения, а также штрафные санкции. Тогда каждой функции  ставится в соответствие подмножество откликов:

.

Наибольший гарантированный результат центра в этом случае:

.                           (7)

Ситуация 3. Центр рассчитывает на информацию о функции  (например, х(у) – производственная функция подсистемы, связывающая выпуск образцов ВВТ х с выделенным ресурсом у; выбором этой функции распоряжается подсистема). Механизм управления центра – функционал  (правило выделения ресурса у в зависимости от способа его использования х(у)) (размера серии).
Каждому  ставится в соответствие множество откликов:

.

Наибольший гарантированный результат центра:

.                  (8)

Формально можно неограниченно наращивать глубину рекурсии в определении механизма и получать другие ситуации.

Однако с точки зрения результата центра все многообразие исчерпывается перечисленными типами ситуаций,
а именно  для всех k=2,3…, и, кроме того, имеет место соотношение

.                                    (9)

Формулы (6)–(8) говорят об исключительной сложности расчета результата центра, особенно для ситуаций 2 и 3. Расчеты (7) и (8) сводятся к некоторой специальной задаче нелинейного программирования, что переводит проблему формирования оптимальных механизмов управления в ранг обычных оптимизационных задач. Другой набор гипотез привел бы к иным задачам.

Изложенная методика анализа очень типична, поэтому можно сделать два вывода: 1) количество механизмов ограниченно: многие механизмы сводятся один к другому, и поэтому их содержательное изучение может проводиться единообразными методами; 2) развиваемый подход переносит рассуждения на изучение фактической ситуации и определение интересов функционирующих подсистем, в частности, и тех правовых аспектов, без которых экономический организм не может функционировать.

Имея подобную модель, можно определить правила формирования фонда поощрения, структуру санкций и т.д.

Механизм управления серийным производством ВВТ с помощью цен на образцы Рассмотрим на примере ситуации 1 управление с помощью цен в базовой модели (1)–(4). Выпуск подсистем охарактеризуем производственной функцией xi=Fi(zi,ui),           (10)

где zi – вектор ресурса, полученного подсистемой от центра; ui – фактор производства, выбираемый подсистемой (например, вариант технологии производства, трудозатраты), причем (1) здесь заменяется на

uiÎUi.                (11)

Пусть центр формирует следующий хозрасчетный механизм: вектор выделяемых подсистеме (серийному предприятию) благ уi линейно зависит от векторов выпуска продукта хi и использованных ресурсов zi (объема финансирования), то есть

yi=cxi-pzi                         ,                       (12)

где с – матрица цен на образец ВВТ; р – матрица цен на сырье и пр.

Будем считать, что в критерии подсистемы соизмеряются блага yi и усилия, связанные с выбором того или иного ui:

.                     (13)

В критерии центра также соизмерены эффект от выпущенных купленных образцов и затраты на хозрасчетные взаимоотношения с подсистемами и на поставки подсистемам ресурса

.               (14)

Возможно и другое описание, когда затраты не входят в критерий, а заданы ограничения на выделенные блага и ресурс:

.               (15)

Следующая модель: центр назначает цены с на продукт и продажные цены р на ресурс. Каждая подсистема выбирает объем получаемого ресурса zi (объем заказа) и величины ui из условия максимума (13) при ограничении (11). Задача центра – отыскать такие цены с, u, p, которые доставили бы максимум критерию (14), не нарушая ограничений (15) (то есть мы пришли к постановке типа ситуации 1).

В качестве примера приведем задачу о рациональных ценах на энергоносители и образцы ВВТ. Пусть в холдинге, имеющем общую систему энергоснабжения, расположено n предприятий, каждое из которых может производить образцы ВВТ, причем производство описывается функцией (10) типа Кобба–Дугласа:          ,                          (16)

где хik – объем производства на предприятии i образца k; аik, aik<1, bik<1 – фиксированные параметры;
 – затраты труда и энергоносителей на 1 образец.

Целевую функцию предприятия примем в форме прибыли            ,             (17)

где сk – закупочная цена на k-й образец ВВТ; р – плата за единицу энергоносителя; hik – норма оплаты человеко-часа по k-му образцу ВВТ. Ограничения (11) в данном случае – это ограничения на рабочую силу                .                  (18)

Будем считать, что в соответствии с принципами программного планирования центр заинтересован в выпуске образцов ВВТ, структура которых определяется потребностью в данном плановом периоде. А именно, центр стремится к получению образца ВВТ с заданными пропорциями
 распределения, которые являются контрольными цифрами плана-программы. Таким образом, центр заинтересован в увеличении значения

.             (19)

Кроме того, он принимает во внимание затраты (в денежном выражении)

,                        (20)

где  – суммарный расход энергоносителей. Первое слагаемое в (20) выражает затраты центра на закупку образцов ВВТ; r(v) – затраты, связанные с подачей энергоносителей (нелинейная функция ее суммарного расхода); pv – доход от продажи энергоносителя предприятиям.

Можно принять, что центр стремится максимизировать либо критерий (19) при заданной величине (20), либо взятый с обратным знаком критерий (20) при заданной величине (19); целевой функцией центра может служить также некоторая свертка критериев (19) и (20).

Пусть центру известны параметры  . Он назначает цены с1, …, сm, p. Задача центра состоит в отыскании цен, максимизирующих его гарантированный результат по одному из выбранных критериев. В силу вогнутости производственных функций (16) критерии (17) вогнуты; отклики предприятий (uik, vik) единичны, и в (6) отпадает необходимость во внутренней операции минимизации. Предположим также, что трудозатраты не являются лимитирующим фактором, то есть выполнены как строгие неравенства (18), тогда отклики предприятий могут быть найдены (при
) из необходимых условий безусловного максимума (17). В этом случае задача о ценах сводится к системе трансцендентных уравнений.

Анализ с позиций теории исследования операций вопроса о ценах в моделях хозрасчетного типа приводит к следующему выводу. Цены на дефицитные ресурсы и на продукцию взаимообусловлены и являются средством управления в централизованной иерархической системе при фиксированном частном виде механизма обратной связи (12). Они должны определяться из условий максимизации критерия центра при тех или иных гипотезах об интересах и поведении подсистем.

Конечно, рассмотренные модели только поясняют методику анализа. Реальные процессы протекают в условиях большой неопределенности, и необходимо использовать более сложные гипотезы о поведении и взаимной информированности элементов системы.

Остановимся на моделях, описываемых ситуацией 2. Как уже говорилось, механизм управления ценами (12) зафиксировал частный вид стратегии – функции yi(xi,zi), после чего задача свелась к определению констант с и р, то есть к ситуации 1. В то же время изложенную задачу можно было бы, не фиксируя (12), трактовать и как ситуацию 2. Для объяснения возникающих в связи с этим особенностей рассмотрим простой пример со следующими критериями центра и подсистемы, выбирающими соответственно вознаграждение у и объем выпуска образцов ВВТ х:
,                (21)

где а и b – константы.

Пусть центр фиксирует вид воздействия на подсистему                   y=cx           (22)

и искомой является цена с за единицу образца ВВТ (ситуация 1). Нетрудно определить, что объем выпущенных образцов ВВТ, вознаграждение и величина критерия центра соответственно:

.                  (23)

Рассмотрим управление по ситуации 2:

,                  (24)

где e>0 – некоторое малое число (чувствительность подсистемы в предпочтении результата, отличного от гарантированного нулевого). Легко убедиться, что после сообщения стратегии (24) подсистеме аналогичные (23) величины будут равны:

.         (25)

Сравнение (25) и (23) показывает, что при малом e механизм второго типа практически в 2 раза эффективнее с точки зрения результата центра . Тот же результат получился бы для центра (25), если бы использовался механизм вида (22), но с ценой, зависящей от объема выпуска, а именно:

                        (26)

Таким образом, расширение класса стратегий центра, как правило, увеличивает его результат. Однако вычисление (7) для ситуации 2 и отыскание соответствующей оптимальной стратегии центра является в общем случае более трудоемкой задачей, чем для модели управления ценами.

Приведем конструкцию оптимальной стратегии для одного класса базовых моделей (1)–(4), называемых моделями стимулирования интенсификации производства (22).

Разобьем операцию планирования на две фазы: 1) составление плана исходя из нормативных данных; 2) побуждение подсистем к более интенсивным затратам труда с целью получения сверхплановой продукции. Если нормативные данные достаточно обоснованные, то типичным является выполнение плановых заданий центра, сформулированных в первой фазе. Здесь фактор интереса проявляется косвенно. Когда же речь идет об операции стимулирования, взаимоотношения центра и подсистемы можно интерпретировать как замену подсистемой дополнительного труда на блага, выделяемые центром. Подсистема, конечно, заинтересована в получении дополнительных благ, но ей небезразлично, какие дополнительные усилия от нее потребуются. Таким образом, чтобы центр мог обоснованно разрабатывать правила поощрения, ему нужна модель интереса подсистемы, в которой тем или иным способом соизмерены сверхнормативные усилия и вознаграждение.

Приведем одну из возможных схем формализованного описания операции стимулирования. Пусть xi – вектор стимулируемых показателей (объем сверхплановой продукции, показатели качества ВВТ, снижение себестоимости и т.п.), достоверная информация о которых может быть в распоряжении центра только в конце планового периода; yi – вектор благ, выделяемых центром. Сделаем следующие предположения относительно базовой модели (1)–(4). Функции fi(xi,yi) монотонно возрастают по любой компоненте вектора yi, монотонно убывают по любой компоненте вектора xi и вогнуты по совокупности переменных; множества Хi выпуклы. Примем за начало отсчета вектор нормативных показателей и нулевое вознаграждение, тогда

fi(0,0)=0.                       (27)

Критерий центра монотонно возрастает по x1,…,xn и монотонно убывает по у1,…,уn. Типичной является также постановка, когда критерий центра зависит только от сверхпланового выпуска образцов ВВТ:                    w0=g(x1,…,xn),                       (28)

а вознаграждение ограничено некоторым увеличением нормы прибыли:           .          (29)

Тогда оптимальная стратегия премирования выглядит следующим образом:

, i=1,…,n,             (30)

где () – решение задачи максимизации (28) при условии (29) и ограничениях

, i=1,…,n.                                  (31)

Здесь ei – чувствительность i-й подсистемы в предпочтении результатa, отличного от гарантированного ей по критерию (4), то есть нулевого (при хi=0, уi=0). Прокомментируем полученный результат. Стратегия (30) – разрывная функция. Она обещает подсистеме фиксированную
премию  (в виде увеличения нормы прибыли) только при выпуске ею определенного объема заказа . В противном случае центр полагает уi=0. Эта часть стратегии носит название «стратегия наказания» .

Таким образом, в данном материале рассмотрены экономические механизмы управления серийными предприятиями оборонной промышленности в различных постановках информированности центра (заказывающих структур) и предприятий (подсистем) о параметрах заказа и условий серийного производства образцов ВВТ.

Исходя из исследования этих процессов, можно выбирать оптимальный объем заказа с учетом ресурсных ограничений и условий серийного производства.

Литература

1.   Кукушкин Н.С. Оптимальное поведение игрока, обладающего правом первого хода, при неточном знании интересов партнера. // Вычислительная математика и математическая физика, 1973, Т. 13. – № 2.

2.   Кононенко А.Ф. Роль информации о функции цели противника в играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов. // Там же.