Software & Systems

Максимальная прибыль производственной фирмы может быть достигнута как за счет выбора цен (или объема выпуска товара) при наличии монополистической власти, так и за счет оптимальной организации технологического процесса. Задача оптимального выбора технологического процесса сводится к определению минимальных издержек при заданном объеме производства. Решение ее – кривая развития фирмы – дает возможность ставить задачу оптимального ценообразования, позволяющего добиться максимума прибыли или предельного значения любого другого экономического критерия.

Подробно изучен случай, когда технологическая линия представляет собой тепломеханическую систему (например тепловую машину). Исследования в этой области получили название «термоэкономика» [1]. Кривая производственных возможностей в этом случае – это кривая зависимости максимального КПД тепловой машины от ее мощности. На этой кривой выбираются точки, соответствующие максимуму прибыли при постоянных издержках (см. рис.).

Такой подход не учитывает взаимосвязи между стоимостью ресурсов, требуемых для технологического процесса, и параметрами этого процесса: затраты на потоки теплоты связаны не с экзогенными параметрами этих потоков (температурой источника, площадью поверхности контакта рабочего тела с источником), а с интенсивностью потока, определяемого температурой рабочего тела.

Рассмотрим задачу определения кривой развития фирмы, то есть зависимость минимальных издержек фирмы от производимой мощности, и проанализируем ее свойства для случая, когда

·     фирма может влиять на цены как целевого потока (мощности), так и потоков теплоты, поступающих и отводимых от рабочего тела;

·     цены на ресурсы зависят не только от интенсивности потоков, но и от значений параметров уравнений теплопередачи; это означает, что цена ресурса определяется и количеством ресурса, и его качеством.

Опишем тепловую машину. Рабочее тело с распределенными параметрами контактирует с двумя источниками, имеющими постоянные температуры  T0h и T0l. Температуры рабочего тела в контакте с источниками – T0h и T0l соответственно. Будем предполагать законы теплопередачи линейными:

qh ah (T0h −Th); ql=al (T0l−Tl).                             (1)

Тепловая машина за счет теплообмена с источниками вырабатывает мощность n=qh+ql. Предприятие, технологической линией которого является тепловая машина, покупает теплоту и продает мощность. На всех рынках оно обладает монополистической властью: цены на теплоту ph, pl и мощность pn зависят от интенсивности потоков. Цены ph, pl зависят и от параметров источников тепла, так что ph=ph(qh, T0h), pl=pl(ql, T0l). Цель предприятия – получение максимальной прибыли p от продажи мощности. Рассмотрим стационарный режим, когда интенсивность потоков не изменяется во времени.

Алгоритм решения задачи

Задача определения оптимальных технологических параметров решается в три этапа.

На первом этапе для каждого значения n определяются такие величины температуры рабочего тела T0h, T0l и потоков теплоты qh, ql, которые обеспечивают наибольший КПД тепловой машины. Для этого следует решить задачу определения минимальной диссипации:

                (2)

при условии, вытекающем из энергетического баланса рабочего тела

qh(T0h, Th)+ql(T0l, Tl)=n,                                 (3)

и условии энтропийного баланса рабочего тела

.                             (4)

На втором этапе требуется найти минимальные издержки предприятия. При заданном значении мощности n и известной зависимости цены готовой продукции p(n) доход предприятия np(n) также задан. Поэтому задача о минимуме издержек идентична задаче о максимальной экономической эффективности – рентабельности предприятия:

                        (5)

где Th, Tl – решение задачи (2)–(4). На этом этапе не требуется учитывать условие (3), так как значения Th*, Tl* определены с учетом этого условия и выражения для оптимальных значений этих температур зависят от n.

В задаче (5) учитываются только текущие издержки на приобретение теплоты. Когда требуется учесть издержки на другие факторы производства (например, на труд, капитал в виде амортизации оборудования и пр.), выражения для этих факторов производства должны быть включены в критерий (5). Впрочем, если эти факторы производства не зависят от температур T0h, T0l, задача (5) будет сепарабельной. Например, если амортизация оборудования (определяемая капитальными вложениями) ck зависит от площадей контакта рабочего тела с источниками ck=f(ah, al), то требуется наряду с задачей (5) решить задачу

                                                  (6)

при условии либо сохранения общей площади теплообмена,

ah+al=A,                                                                (7)

либо сохранения эквивалентного значения коэффициента теплопередачи

.                                                             (7')

(Примем, что коэффициенты теплопередачи пропорциональны площади контакта с источниками. Тогда ограничение на общую площадь теплообмена можно заменить на требование постоянства суммы коэффициентов теплопередачи.) Решение этих задач рассмотрено в [2].

Решая задачу минимума издержек при заданной мощности, получим решение задачи об эффективности производства – как технологической (КПД машины), так и экономической (рентабельность). В результате решения задач (2)–(4), (5) и (6)–(7') получаем зависимость c(n), которая может использоваться на третьем этапе для решения задачи

.                                     (8)

Решение задачи (8), стандартной для курса микроэкономики, приводит к требованию равенства максимальных издержек предельному дохо- ду [3].

Можно решать и другие задачи, например, о максимальной мощности. При любом абсолютном критерии на этом этапе решение соответствует максимальным значениям КПД и рентабельности, а значит, режим работы предприятия относится к классу процессов минимальной диссипации и в термодинамическом, и в экономическом смыслах.

Рассмотрим задачи каждого этапа подробнее.

Задача о минимуме диссипации при заданном целевом потоке (мощности) (2)–(4) решена в [4]. Получена зависимость КПД тепловой машины от мощности и параметров линейных законов теплопередачи:

,(9)

где a=ahal /(ah+al) – эквивалентный коэффициент теплопередачи.

На данном этапе решения задачи нас интересуют оптимальные зависимости потоков теплоты от источников к рабочему телу.

Получим эти зависимости. Функция Лагранжа для задачи (2)–(4) имеет вид

L=Lh+Ll+ln,                                                         (10)

где .             (11)

Здесь l, m – неопределенные множители Лагранжа, соответствующие ограничениям (3)–(4). Необходимые условия оптимальности ¶L/¶Ti=0 (iÎ{h, l}) приводят к равенствам

                   (12)

Обозначив  и подставив найденные значения Ti в условия (3), (4), получим систему уравнений

                     (13)

Выражая из первого уравнения (13) xl(xh) и подставляя полученное выражение во второе уравнение (13), получаем квадратное уравнение .

Используя выражение для эквивалентного коэффициента теплопередачи a=ahal/(ah+al), находим значения xh и xl, подставляем их в (12), получаем выражения для Th* и Tl*. Найденные значения подставляем в уравнения кинетики (1) и находим искомые выражения для теплоты:

                            (14)

где .                         (15)

Задача о минимуме издержек. Зная зависимость потоков теплоты (14), (15) от значений T0h, T0l, можно выписать условия оптимальности для задачи (5):

      (16)

Рассмотрим значения производных ¶qi/¶T0j=0 (i, jÎ{h, l}). Для этого представим выражения для потоков теплоты в виде

,                              (17)

где . Только k зависит от значений T0h, T0l. Поэтому ,      (18)

а значит, уравнения (16) могут быть сведены к равенству .                                     (19)

Надо учесть, что qh>0, ql<0, ¶qh /¶T0h<0, ¶ql /¶T0l<0. Последние два неравенства требуют пояснений, так как согласно (1) обе производные должны быть положительными. Однако мы рассчитываем эти производные с учетом решения задачи (2)–(4). В этом случае qh=qh(T0h, T0l), qh=qh(T0h, T0l), которые определяются формулами (14), (15). При увеличении температуры T0h требуется меньший поток теплоты, чтобы обеспечить заданную мощность n; при увеличении температуры T0l требуется большее значение интенсивности отвода теплоты от рабочего тела, а значит, меньшее значение q0l.

Из равенства (14) примем, что

.

Это также становится понятным, если учесть, что при ql<0 требуется, чтобы pl было также отрицательным. Производные ¶qh/¶T0h, ¶ql/¶T0l связаны с интенсивностью потоков qh и ql следующим образом:

      (20)

С учетом (20) равенство (19) примет вид

,                                              (21)

откуда с учетом отрицательности величины ql:

                                 (22)

Уравнение (22) является условием оптимальности для выбора таких значений T0h, T0l, чтобы экономическая эффективность предприятия была бы наибольшей, а значит, диссипация капитала – наименьшей [2].

Интересно, что для выбора функций спроса и предложения (кинетики ресурсообмена в экономической системе), определяющих зависимость цен от интенсивностей потоков и величин температур источников T0j (jÎ{h, l}), удобно воспользоваться следующей зависимостью:

.                       (23)

Это связывает цену с потоком энтропии, отбираемым от j-го источника.

К сожалению, расчет значений T0h, T0l для зависимостей (23), удовлетворяющих условиям (22), а значит, и решение задач третьего этапа, аналитически невозможны – требуется численный расчет для конкретных значений параметров кинетики ресурсообмена a, bh, bl, vh, vl, а также заданной функции спроса p(n).

Литература

1.  Sieniutycz S., Salamon P. (eds.). Finite-Time Thermodynamics and Thermoeconomics. Taylor & Francis, 1990.

2.  Миронова В.А., Амелькин С.А., Цирлин А.М. Математические методы термодинамики при конечном времени. М.: Химия, 2000.

3.  Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М.: Экономика. Дело, 1992.

4.   Цирлин А.М. Оптимальные циклы и циклические режимы. М.: Энергоатомиздат, 1985.