Software & Systems

Прогноз называется системным, если одновременно прогнозируется не менее m характеристических переменных транспортной системы. Переменные прогнозируются одновременно, шаг за шагом. При этом устраняется один из основных недостатков однократного прогноза – аргументы уравнений прогнозирования не стареют (носят последние по времени отсчета индексы).

Многократный прогноз можно вести на основе как алгебраических, так и дифференциальных или интегральных уравнений.

При получении долгосрочных дифференциальных прогнозов важным является установление устойчивости поведения системы. Наиболее распространенным способом установления области устойчивости являются методы Ляпунова, критерии Гурвица–Рауса.

При реализации прогнозов важно установить критерий качества полученных прогнозных результатов. Так, для краткосрочного прогноза в качестве критерия селекции предлагается использовать критерий регулярности – величину среднеквадратической ошибки, определяемой на точках проверочной последовательности, не участвующей в получении оценок коэффициентов. Для среднесрочных прогнозов предлагается использовать критерий несмещенности как более эффективный. При наличии информации об изменении взаимосвязанных переменных появляется возможность использовать критерий, который является одним из наиболее эффективных при долгосрочном прогнозировании, именно критерий баланса переменных, то есть минимизации суммы квадратов рассогласований самих значений промежуточных переменных и их модельных представлений. Данный критерий определяет жесткость, неизменность структуры исследуемого объекта.

Основное правило непротиворечивости результатов при верификации прогнозов может быть сформулировано следующим образом: результаты прогнозов являются согласованными (не противоречат друг другу), если их значения принадлежат общей области.

С помощью математических символов теории множеств это можно записать как , то есть пересечение множеств (областей)  и  имеет общую часть, которая не принадлежит пустому множеству (является реальной).

Можно количественно оценить повышение достоверности прогнозных результатов вследствие верификации прогноза. При этом мерой обоснованности прогноза может служить отношение числа случаев, когда результаты интервальных прогнозов являются согласованными, к общему числу проведенных верификационных прогнозов. Эта величина является приближенной выборочной оценкой вероятности получения достоверного прогнозного результата при использовании данного метода прогнозирования и вычисляется по формуле , , где  и  – число, соответственно, согласованных и противоречивых результатов прогнозов, полученных при верификации i-м методом; i=1, 2, …, n – число используемых верификационных методов.

Для количественной оценки границ области согласованных прогнозов при верификации можно воспользоваться формализованным методом проверки нулевой гипотезы.

Прогнозы считаются согласованными при заданном уровне вероятности P=1-a, если их средние значения принадлежат одной области, то есть . Границы областей могут быть определены для всех верификационных прогнозов путем вычисления величины tp (при известных  и ), причем в итоге выбираются минимальная нижняя и максимальная верхняя границы из всей совокупности полученных результатов. В частности, для двух прогнозов со средними точечными значениями y1, y2 и среднеквадратическими отклонениями s1, s2 величина tp может быть рассчитана по формуле

.                                                      (1)

Затем по таблице t-критерия Стьюдента при суммарном числе степеней свободы

                         (2)

(где n1, n2 – число значений yi на ретроспективных участках при расчете s1, s2; m1, m2 – число параметров в прогнозирующих функциях) можно определить вероятность P=1-a непротиворечивости данных результатов прогнозов. Это определяется по выполнению условия , где  – табличное значение t-критерия Стьюдента.

Если условие непротиворечивости прогнозных результатов выполнено, можно реализовать процедуру синтеза, сущность которой в том, что определяется средневзвешенный результат прогнозов, полученный различными методами с учетом их достоверности. Чем менее достоверен результат, тем меньше его вес, вклад в окончательно комбинированный прогноз, который должен быть более достоверным, чем его составляющие.

Процедура синтеза прогнозных оценок выглядит следующим образом. По результатам прогнозирования, полученным с помощью различных методов, определены значения прогноза  с ошибками, характеризующимися дисперсиями . Необходимо построить некую средневзвешенную оценку  с такими весами Ri, чтобы она была наиболее эффективной в смысле достоверности прогноза. В [1] предлага­ется линейная комбинация частных прогнозов для двухмерного случая путем минимизации ошибок на основе решения задачи Лагранжа. Очевидно, что распространение на общий случай более двух прогнозов вызывает вычислительные затруднения.

Поэтому представляется целесообразным ввести в рассмотрение некую комплексную оценку результатов прогнозирования, которая строилась бы на основе разных способов прогноза с учетом их вклада.

В основу методологии построения математических моделей комплексного оценивания может быть положена совокупность расчетных случаев (результатов прогнозирования), статистических и эвристических методов. Информационная ситуация выбора и ранжирования системы расчетных случаев в общем виде укладывается в следующую схему. Имеется m сравниваемых между собой альтернативных вариантов задания расчетных случаев, включающих в себя систему исходных данных, отвечающих этому типовому тесту (пространство факторов). Степень детализации типового теста и системы расчетных случаев должна допускать формирование системы исходных данных и соответствующих моделей расчета показателей достоверности, эффективности, живучести, надежности, устойчивости, полезности и т.п. [2].

На ранних стадиях исследований предпочтительность того или иного расчетного случая с позиций учета одного фактора может быть определена одним рангом. В целом при таком системном анализе не может быть надежных способов контроля полноты учета всех факторов, определяющих вес или предпочтительность расчетных случаев. Достаточно надежными статистическими методами можно отделить закономерную составляющую, определяющую предпочтительность того или иного расчетного случая, от случайной, обусловленной неполнотой учета всех возможных факторов и ошибками эвристических методов формирования ранговых последовательностей.

Пусть таких ранговых последовательностей, соответствующих числу рассматриваемых факторов, будет n. Тогда «морфологический ящик» может быть представлен в виде матрицы:

Вес j-й характеристики в общем случае неизвестен. В условиях объективно существующей неопределенности необходимо произвести ранжирование введенных в рассмотрение расчетных случаев и, если представляется возможным и целесообразным, приписать этим расчетным случаям (прогнозным моделям) соответствующий вес. Определение весовых коэффициентов ранговых последовательностей является сложным моментом и требует рассмотрения соответствующих рабочих гипотез, на основе которых методами теории принятия решений в условиях неопределенности могут быть построены модели расчета весовых коэффициентов.

В качестве обобщенного показателя, позволяющего произвести ранжирование расчетных случаев, вводится критерий Байеса [2]:

.                                                       (3)

Используя показатель (3), можно установить порядок предпочтения в ранжированном виде всех расчетных случаев. Символически это может быть записано следующим образом: , если .

Для корректного сравнения расчетных случаев, основанных на использовании критерия Байеса, можно предложить введение в рассмотрение рабочих гипотез и моделей расчета весовых коэффициентов, которые в этом случае позволяют приписать вес тому или иному расчетному случаю. Это обстоятельство позволит в итоге перейти к комплексной оценке верификации по совокупности расчетных случаев.

Введем в рассмотрение некоторые формальные модели расчета весовых коэффициентов ранговых последовательностей и процедуры выбора этих моделей из допустимых вариантов.

Пусть имеется n ранговых последовательностей , для которых может быть введена в рассмотрение одна из мер детализации учета соответствующих факторов по системе расчетных случаев ,

.                                            (4)

Очевидно, что , .

Введение меры (4) не является однозначным. Степень детализации учета того или иного фактора могут характеризовать сумма рангов  и другие меры. В данной схеме расчета весовых коэффициентов выбор меры не имеет принципиального значения.

Если для рассматриваемых мер справедливо , то этим неравенствам можно поставить в соответствие простое отношение порядка предпочтения

.                                         (5)

Символическая запись (5) означает, что первый фактор при ранжировании расчетных случаев имеет больший ранг важности, чем второй, и т.д.

Количественную оценку степени предпочтения (5) дают так называемые оценки Фишборна:

, .                                   (6)

Очевидно, что эти оценки можно использовать в качестве весовых коэффициентов. Справедливость соотношения (6) вытекает из следующего утверждения.

Рассматриваемая информационная ситуация характеризуется неопределенностью. Для решения таких задач может использоваться энтропийный подход. С этой целью вводится в рассмотрение мера неопределенности второго рода [2]:

.

Необходимость использования энтропии второго рода обусловлена тем обстоятельством, что она является чувствительной, в отличие от энтропии Шеннона, при решении экстремальных задач при ограничениях, заданных неравенствами.

Функция неопределенности второго рода обладает тем свойством, что ее максимум для простого отношения порядка

                           (7)

достигается на оценках Фишборна (6).

Действительно, решая задачу на условный экстремум ,  при условии (7) с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа, можно найти экстремальные оценки (6).

Таким образом, ранжировав ранговые последовательности с помощью мер Dj, можно определить весовые коэффициенты , перейти к расчету критерия и упорядочению системы расчетных случаев. Следствием этого является возможность комплексной верификации результатов прогноза различными методами.

Литература

1. Мартыщенко Л.А., Филюстин А.Е., Голик Е.С., Клавдиев А.А. Военно-научные исследования и разработка вооружения и военной техники. СПб: МО РФ, 1993. Ч. I. 302 с.

2. Арефьев И.Б., Мартыщенко Л.А. Теория управления (современные проблемы управления и принятия решений). СПб: Изд-во СЗТУ, 2000. 176 с.