Software & Systems

Существует немало программных продуктов, позволяющих прогнозировать процесс эпидемии, строить динамику распространения инфекции в однородном сообществе, зная начальные данные и интенсивность управления. Данный программный продукт в отличие от предыдущих учитывает три различных вида управления, направленных на погашение инфекции сразу в n различных группах.

Рассмотрим динамику управляемого процесса распространения эпидемии в неоднородном сообществе, состоящем из n возрастных групп, в виде следующей системы дифференциальных уравнений:

(1)

, ,

, , ,                               (2)

где  и  – число подверженных заболеванию и инфицированных в i-й группе (i=1, …, n) в момент t;  – функция, характеризующая скорость заражения подверженных заболеванию из i-й группы от инфицированных из j-й группы с вероятностью  ();  – количество людей, восстановивших за единицу времени свое здоровье в i-й группе без воздействия внешних средств: карантина, вакцинации и др. (– среднее время естественного выздоровления);  – коэффициент естественной смертности людей в i-й группе;  – коэффициент смертности от данной инфекции в i-й группе;  – средний показатель рождаемости в i-й группе;  – доля вакцинированных среди подверженных заболеванию в i-й группе;  – доля больных, отправленных на карантин;  – доля людей, подверженных заболеванию, на которых успешно воздействовали с помощью программы «Здоровье».

Целью управления является минимизация затрат на погашение эпидемии, выраженных функционалом:

,                                          (3)

где A – средняя стоимость одного больного для общества в неделю (известная величина, для России составляет примерно 50 долларов [1]); для одного человека из i-й группы: Di – стоимость вакцинации, Ci – стоимость изоляции, Zi – стоимость программы «Здоровье». Если принять A равным одной условной денежной единице, то (3) перепишется в виде:

,                                               (4)

где di – относительная стоимость вакцинации;  – относительная стоимость программы «Здоровье»; ci – относительная стоимость карантина в i-й группе.

Ограничения на функцию управления заданы в следующем виде:

,     (5)

где Аi, Вi, Ci – максимальные нормы управлений в i-й группе, ограниченные техническими и материальными возможностями.

Разобьем отрезок интегрирования [0; T] на q равных частей точками  так, что  . Задача (1)–(5) аппроксимируется следующей дискретной задачей оптимального управления:

,       (6)

 (7)

где  .

                                                       (8)

, ,

.                           (9)

Составим функцию Лагранжа для дискретной задачи, откуда найдем производные лагранжиана по управлениям , ,  и по фазовым переменным, чтобы выразить сопряженные функции:

 (10)

Условия трансверсальности:

.                                      (11)

Алгоритм численного решения

1. Зададим начальное управление

2. Зададим начальные значения  . По формуле (7) вычислим допустимые траектории, по формуле (6) – начальное значение интеграла.

3. Для  вычислим по формуле (10) с учетом (11) ,,.

4. Вычислим следующее приближение для управления:

.

Проверим условие (9): если оно не выполняется, делаем проекцию градиента:

если , то , если , то  ;

если , то , если , то  ;

если , то , если , то  .

5. По формуле (7) вычислим допустимые траектории , по формуле (6) – следующее значение интеграла .

6. Сравним значения  и . Если , переходим к пункту 3, присвоив  найденные в пункте 4 значения управлений. Процесс продолжается до тех пор, пока .

7. Если , возвращаемся к пункту 4 и уменьшаем шаг , например в два раза, проверяем условие (9).

Для проведения эксперимента на реальной модели были взяты статистические данные по развитию эпидемии гриппа в г. Архангельске, предоставленные Территориальным управлением по эпиднадзору. Рассмотрим четыре возрастные группы: 1-я группа – 0–2 года, 2-я группа – 3–6 лет, 3-я группа – 7–15 лет, 4-я группа – старше 15 лет. Коэффициенты смертности, средний показатель рождаемости для каждой группы вычислены по статистическим данным для г. Архангельска. Коэффициенты β найдены путем решения обратной задачи.

Программа по нахождению оптимального управления написана в среде Delphi7 на языке Object Pascal. Все параметры модели пользователь может вводить с клавиатуры, что позволяет исследовать решение задачи в зависимости от введенных параметров.

После окончания работы программы искомое значение функции выводится в окно Результат (рис. 1), а графическое решение (фазовые переменные, программное управление, функции переключения управления) по каждой группе можно получить в окне Графики нажатием соответствующей кнопки.

Кроме того, решение дискретной задачи оптимального управления выводится в Excel, что позволяет сравнивать решения задачи при различных параметрах. Наиболее сильное влияние на решение оказывают стоимость управлений, величина временного интервала [0; T] и коэффициенты β. Зафиксировав стоимость изоляции и программы «Здоровье», выявим влияние стоимости вакцинации на решение задачи. Так как изменения во всех группах аналогичные, то для примера выясним, как меняются динамика подверженных заболеванию и управление вакцинацией в 3-й группе (рис. 2), которые сильнее всего зависят от стоимости вакцинации (d1>d2>d3).

Из рисунка видно, что с уменьшением стоимости вакцинации уменьшается остаточное на

момент Т количество подверженных заболеванию, а продолжительность управления растет.

Аналогично можно рассмотреть влияние стоимости изоляции (карантина) на динамику инфицированных и управление изоляцией в 3-й группе (рис. 3), которые сильнее всего зависят от стоимости изоляции (с1>с2>с3).

Программа позволяет исключить отсутствующий вид управления, чтобы проследить эффективность оставшихся видов управления и суммарные затраты на погашение эпидемии. Таким образом, было выяснено, что самым эффективным и дешевым способом управления является комплексное управления вакцинацией, карантином и программой «Здоровье».

Литература

1.   Вакцинация. Новости вакцинопрофилактики // Информационный бюллетень. М. 2003. № 3 (27).

2.   Андреева Е.А. Оптимальное управление динамическими системами. Тверь: Изд-во ТвГУ, 1999. С. 72–120.