Journal influence
Bookmark
Next issue
Perturbation functions in geometric modeling
The article was published in issue no. № 4, 2009Abstract:Transformations of a geometric objects are described for set-theoretic operations, projections, offsetting, and metamorphosis. A binary relation such as collision detection is also described. This approach supports combinations of representational styles, including constructive geometry, sweeping, twisting, deformable and other animated objects. Interactive modification of the function model with fast visualization lets us provide both the interactivity and any required level of detail leading to photo-realistic appearance of the resulting shapes.
Аннотация:Описаны преобразования геометрических объектов для теоретико-множественных операций, проекций, офсеттинга и морфинга. Изложено бинарное отношение – определение столкновения. Данный подход поддерживает комбинацию репрезентативных стилей, включая конструктивную геометрию, заметание движущимся твердым телом, кручение, деформируемые и прочие анимируемые объекты. Интерактивная модификация функциональной модели и быстрая визуализация позволяют обеспечить как интерактивность, так и требуемые уровни детальности для фотореалистичного отображения результирующих форм.
Authors: Dolgovesov, B.S. (bsd@iae.nsk.su ) - Institute of Automation and Electrometry, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, Synthesizing Visualization Systems Laboratory (Head of the Laboratory), Novosibirsk, Russia, Ph.D, Vyatkin, S.I. (sivser@mail.ru) - Institute of Automation and Electrometry, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, Synthesizing Visualization Systems Laboratory (Senior Researcher), Novosibirsk, Russia, Ph.D | |
Keywords: relations, geometric operations, geometric objects, interactive geometric modeling |
|
Page views: 8734 |
Print version Full issue in PDF (4.85Mb) |
Геометрическая концепция моделирования виртуальной среды на базе функционально заданных объектов [1] может быть описана как алгебраическая система: (M, Ф, W), (1) где M – множество геометрических объектов; Ф – множество геометрических операций; W – множество отношений на множество объектов. Известны следующие функциональные способы задания примитивов. Поверхности свертки [2] – это интегральное представление неявно заданных поверхностей, известных в компьютерной графике как капельные модели [3], метасферы и мягкие объекты [4]. Функционально заданные геометрические объекты с применением функций возмущения изложены в [5].
Геометрические объекты Кратко определим функции возмущения [5]. Предложено описание геометрических объектов с помощью задания функций возмущения от базовых поверхностей (рис. 1). Свободная форма – это композиция базовой поверхности и возмущения: F¢(x, y, z)= F(x, y, z)+ R(x, y, z), (2) где R(x, y, z) – функция возмущения. Задача конструирования объекта сводится к деформации базовой поверхности нужным образом, а не к аппроксимации ее примитивами. Предложенный способ описания объектов трехмерных сцен базовыми поверхностями и функциями возмущения имеет компактное описание, что позволяет уменьшить объем передаваемых данных от 10 до 1000 раз в зависимости от конкретных трехмерных сцен и моделей. Геометрические операции Множество геометрических операций Ф математически выражается следующим образом: Фj: M1+M2+…+Mn®M. (3) Пусть объект G1 определен как f1(X)³0. Унарная операция (n=1) (3) объекта G1 означает операцию G2=Фj(G1) с определением f2=y(f1(X))³0, (4) где y – непрерывная вещественная функция одной переменной. Рассмотрим следующие унарные операции. Пусть исходный объект G1ÌEn описывается функцией f1(x1, x2, …, xi,…, xn)³0, а его проекция G2ÌEn-1 – функцией f1(x1, x2, …, xi,…, xn)³0. Объект G2 может быть определен как объединение сечений объекта G1 гиперплоскостью xi=Cj, где Cj+1=Cj+Dxi, j=1,N и C1=ximin. Пусть f1j=f1(x1, x2, …, xi-1, Cj, xi+1, …, xn) – функция для сечения. В итоге функция для проекции при Dxi®0 есть объединение всех функций f1j: f2=f11Úf12Ú…Úf1jÚ…Úf1N. (5) В реализации данной операции для всей сцены фиксировалась одна координата в зависимости от того, какую проекцию требовалось получить (рис. 2). С помощью операции офсеттинга можно создавать увеличенную или уменьшенную копию исходного объекта, то есть делать положительный (расширение) или отрицательный (сжатие) офсеттинг соответственно (рис. 3).
Пусть объекты G1 и G2 определены как f1(X)³0 и f2(X)³0. Бинарная операция (n=2) (3) объектов G1 и G2 означает операцию G3=Фj(G1, G2) с определением: f3=y(f1(X), f1(X))³0 , (6) где y – непрерывная вещественная функция двух переменных. Геометрическая модель должна позволять конструировать объекты и их композиции неограниченной сложности (рис. 4 и 5). Достигается это в первую очередь применением булевых операций объединения и пересечения. При метаморфозисе (морфинге) осуществляется плавный переход начального образа в конечный (рис. 6). Пусть имеются F1, F2 – значения функций возмущения первого и второго объектов, соответственно, тогда результирующая функция возмущения F вычисляется следующим образом: F=bF1+(1-b)F2, (7) где b – положительная непрерывная функция.
Кручение – деформация тела, являющаяся частным случаем биективного отображения (рис. 7), которое служит для определения деформаций исходных объектов. Для кручения исходного тела найдены и преобразованы координаты x, y, z. Заметание движущимся твердым телом является одной из давних и трудных проблем в твердотельном моделировании. Рассмотрим заметание как проекцию движущегося тела из 4D(x,y,z,t)-пространства в 3D(x,y,z)-пространство. Вновь образованная фигура представляет собой объединение изображений заметающего тела при различных положениях (рис. 8).
Одним из примеров отношений может служить определение столкновений между объектами. Бинарное отношение есть множество множества: M2=M´M. Оно может быть определено как Sj: M´M®I. (8) Пусть объекты G1 и G2 определены как f1(X)³0 и f2(X)³0. Бинарная операция пересечения объектов G1 и G2 определяется следующим образом:
Функция f3(X)=f1(X)&f2(X) может использоваться для вычисления Sc. Можно утверждать, что Sc=0, если f3(X)<0 для любой точки пространства En. После вычисления пересечения (9), то есть применения булевой операции пересечения, поиск точки соприкосновения сталкивающихся объектов осуществляется с помощью алгоритма [5]. Применив особый тест на пересечение и бинарный поиск, можно за постоянное число шагов (определяется заданной точностью) отыскать точку столкновения объектов, если таковое происходит. В целях расчета времени обнаружения столкновений тестировались объекты, различавшиеся как по степени сложности (форме), так и по виду столкновения (в данном случае – по столкновению различными сторонами и частями объектов) (рис. 9).
В последнее время компьютерная графика, связанная с интерактивным моделированием и редактированием трехмерных объектов, развивается быстрыми темпами. Для интерактивного редактирования полигональных моделей применяются известные коммерческие системы SoftImage, MAYA, 3DStudioMax и др. Существуют интерактивные системы на базе полиномов, неявных поверхностей, треугольных сеток, изображений, объемов, функционально заданных моделей. Конструирование объекта в нашем случае напоминает лепку модели из пластилина с применением геометрических операций, представленных выше, и деформации (рис. 10, 11). Основное положительное отличие от известных интерактивных систем на базе функционально заданных моделей в том, что нет необходимости в полигонизации функциональной модели перед деформацией. Программная модель алгоритма растрирования и структуры данных объектов реализована на языке высокого уровня С++. Этот язык хорошо подходит для реализации объектной модели описываемой системы, так как является объектно-ориентированным.
Основные области применения результатов работы – это интерактивные графические системы визуализации функционально заданных объектов, CAD-системы 3D-моделирования, 3D-веб-визуализация и т.д. В известных пакетах 3D-моделирования стали применяться функциональные примитивы, например, метасферы (Meta Balls) в Strata Studio Pro. Важной прикладной задачей может стать применение предлагаемого функционального задания объектов для 3D-веб-визуализации, например, функционально базируемое расширение 3D (X3D), а также VRML (Virtual Reality Modeling Language). Функционально заданные объекты могут использоваться совместно со стандартными моделями X3D и VRML. Для этого необходимо разработать функциональные узлы на базе разработанных примитивов и методов их визуализации с целью уменьшения количества передаваемых данных. Литература 1. Pasko A.A., Adzhiev V.D., Sourin, A.I. et al. Function representation in geometric modeling: concepts, implementation and applications // The Visual Computer. 1995. № 11 (6), pp. 429–446. 2. Bloomenthal J., Shoemake K. Convolution surfaces, SIGGRAPH’91, Computer Graphics, 1991. Vol. 25. № 4, pp. 251–256. 3. Muraki S. Volumetric shape description of range data using «blobby model». Computer Graphics. July 1991. № 25 (4), pp. 227–235. 4. Wyvill G., McPheeters C. and Wyvill B. Data structure for soft objects. The Visual Computer. 1986. № 2 (4), pp. 227–234. 5. Алгоритм визуализации трехмерных данных, заданных поверхностями свободных форм / С.И. Вяткин [и др.] // Программные продукты и системы. 1999. № 3. С. 16–21. |
Permanent link: http://swsys.ru/index.php?id=2389&lang=en&page=article |
Print version Full issue in PDF (4.85Mb) |
The article was published in issue no. № 4, 2009 |
Perhaps, you might be interested in the following articles of similar topics: