Software & Systems

Снежные лавины – широко распространенное явление, существенно осложняющее хозяйственное освоение горных районов и несущее угрозу жизни людей [1]. Поэтому их прогнозирование представляет значительный научно-практический интерес.

Локальный прогноз предусматривает определение устойчивости снежного покрова в зоне зарождения лавин конкретного лавиносбора и времени до предполагаемого самопроизвольного схода лавины, оценку вероятного объема и дальности выброса, а также выбор оптимальных условий для ликвидации лавинной опасности путем искусственного обрушения неустойчивых масс снега [1].

Совершенствование методики локальных прогнозов требует, в частности, разработки способов получения достоверной информации о состоянии и свойствах снежного покрова в зоне зарождения лавин и повышения надежности прогнозов локальных метеоусловий [2], однако получение подобной информации ограничено из-за труднодоступности данной зоны [1] и отсутствия надежных методов дистанционного зондирования. Особенно это касается скорости ветра (v), толщины снега (h) и ее изменения за прошедшие сутки (Δh). Таким образом, любая дополнительная информация об указанных параметрах является весьма ценной. В то же время отмечено, что в основу локальных прогнозов лавинной опасности следует закладывать, в частности, математическое моделирование, методы статистики и теории вероятностей [1].

В работе [3] описана методика прогноза схода снежных лавин, созданная на основе математического моделирования физико-механических процессов в снеге. Она позволяет разделить лавинную опасность на следующие уровни:

1-й   – нелавиноопасно;

2-й   – снег находится в неустойчивом состоянии, возможен сход лавин небольшого объема с очисткой до 10 % лавиносбора;

3-й   – снег находится в неустойчивом состоянии, возможен сход лавин значительного объема с очисткой очага от 10 до 50 % лавиносбора;

4-й   – лавиноопасно; ожидается массовый сход лавин значительного объема с очисткой очага от 10 до 50 % лавиносбора.

5-й   – исключительная лавинная опасность; ожидается массовый сход лавин с очисткой более 50 % лавиносбора.

Одним из способов получения информации о ситуации в очаге может быть решение обратных задач, то есть подбор таких v, h и Δh, при которых:

-    согласно прогнозу возникли бы лавины, сход которых был зарегистрирован;

-    величина степени принадлежности к заданному уровню лавинной опасности была бы максимально близкой к середине интервала значений, в пределах которого ситуация классифицируется как принадлежащая к заданному уровню лавинной опасности (в [3] используется теория нечетких множеств и вычисляются степени принадлежности к каждому уровню лавинной опасности).

Таким образом, решение обратной задачи сводится к нахождению экстремума функции трех переменных.

Зависимости, приведенные в [3], очень сложны, и целевая функция от h, Δh и v не может быть выражена в явном виде. Поэтому для повышения надежности получаемых результатов использовались два метода. Первый представляет собой простейший случайный поиск [4]. Второй заключается в следующем. Пусть задана функция F(х1, х2, …, хn). Сначала случайным образом выбираются значения координат x1=x11, x2=x21, … , xn=xn1. Затем величины х2, х3, …, хn фиксируются, а значения х1 изменяются случайным образом. После этого в указанном одномерном сечении методом структурной минимизации риска [5] в классе полиномов Чебышева восстанавливается зависимость целевой функции от х1. Далее определяется ее экстремум и фиксируется значение переменной х1. Указанная процедура выполняется в дальнейшем для всех переменных. Выбор метода структурной минимизации риска связан с тем, что он позволяет автоматически находить модель оптимальной сложности, то есть в данном случае аппроксимировать неизвестную функцию полиномом Чебышева оптимальной степени.

 В методе структурной минимизации риска задача восстановления регрессии сводится к минимизации функционала [5]:

J(k)= ∫ [y – F(x,k)]2 P(y|x) P(x) dx dy,       (1)

где k – степень аппроксимирующего полинома на множестве F(x,k)Ì (интегрируемых с квадратом по мере P(x) функций) в ситуации, когда плотность P(x) неизвестна, но зато задана случайная и независимая выборка пар х1, у1; х2, у2; …; хl, yl (где l – число экспериментальных данных). В этом методе минимизируется верхняя граница среднего риска.

Согласно [5]

J(k)£I э(k) W[ l/h, –(lnh)/s],                                (2)

где I э(k) – эмпирический риск; 1-h – вероятность справедливости оценки (2); W [l/s, –(lnh)/s] – некоторая функция.

C ростом l величина W[l/h, –(lnh)/h] всегда стремится к единице [5], хотя в каждом конкретном случае ее вид различен, и, если выборка мала, сомножитель W[l/h, –(lnh)/h] может существенно отличаться от 1. Тогда функция, доставляющая малую величину эмпирическому риску, может не обеспечить небольшой средний риск.

Существуют различные классы базисных функций. Полиномы Чебышева удобны в вычислительном отношении и позволяют решать широкий круг задач восстановления зависимостей.

Тогда у(х) отыскивается в виде

,                                                       (3)

где ai – коэффициент разложения, Qi(x) – полином Чебышева степени i.

При таком представлении функционал эмпирического риска имеет вид [5]:

.                                (4)

При фиксированной степени полинома коэффициенты a, при которых функционал эмпирического риска принимает минимальное значение, определяются путем решения системы линейных алгебраических уравнений:

Ф т Ф [a]=Ф т [y] т,                                               (5)

где Ф – матрица значений полиномов Чебышева в экспериментальных точках [5].

Оценка качества приближения, справедливая для любой случайной выборки с вероятностью 1–h, определяется выражением [5]

         (6)

и зависит от степени полинома k. Та степень, при которой J(k) принимает наименьшее значение, является оптимальной степенью полиномиального приближения, а сама функция регрессии аппроксимируется полиномом этой степени, минимизирующим функционал эмпирического риска.

Созданная на основе описанной методики компьютерная программа была опробована на ряде контрольных примеров. Одним из них является решение ситемы уравнений

                         (7)

которое можно свести к нахождению минимума суммы квадратов невязок. Точное решение: х=y=z=π/2, полученное: x=1,56; y=1,59; z=1,55.

Другим примером является реконструирование условий в лавинном очаге. При исходных данных (см. табл.) были получены следующие значения: h=0,31 м; v=11,8 м/c; Δh=0,022 м.

Решение прямой задачи по этим значениям дает 2-й уровень лавинной опасности.

Программа для оценки ситуации в лавинном очаге написана на С++. Исходные данные заносятся в таблицу, соответствующую приведенной выше. Далее программа подбирает такое сочетание значений толщины снега (h), скорости ветра (v), изменения толщины снега за последние сутки, чтобы заданный уровень лавинной опасности соответствовал сошедшим лавинам и величина степени принадлежности к заданному уровню лавинной опасности была бы максимально близкой к середине интервала значений, в пределах которого ситуация классифицируется как принадлежащая к этому уровню лавинной опасности.

Приведенная таблица иллюстрирует численный эксперимент по проверке разработанной программы. Для заданных параметров склона, метеоданных и наблюдаемого уровня лавинной опасности (то есть по данным об уже сошедших лавинах) программа оценила остальные параметры, необходимые для прогнозирования лавинной опасности. В дальнейшем их можно использовать для предсказания других лавин из данного очага (в этом случае по параметрам склона, толщине снега (h), скорости ветра (v), изменению толщины снега за последние сутки и другим метеоданным, приведенным в таблице, можно оценить новый уровень лавинной опасности, например, возникающий при понижении температуры воздуха в течение последующих суток, и смоделировать различные варианты развития ситуации).

Уровень лавинной опасности может зависеть при прочих равных условиях от суммы осадков и их интенсивности. Однако это наблюдается не всегда. Поэтому прогнозирование лавинной опасности в соответствии с [3] строится на основе анализа многих лавинообразующих факторов и их взаимовлияния.

Следует отметить, что в условиях, когда сложно получить информацию об обстановке в лавинном очаге, компьютерное моделирование играет особенно важную роль, так как позволяет извлечь максимум полезных сведений из тех данных, которые могут быть реально получены. 

Высокое быстродействие программы делает ее пригодной для оперативного использования.

Литература

1. Войтковский К.Ф. Лавиноведение. М.: Изд-во МГУ, 1989. 158 с.

2. Войтковский К.Ф. Основы гляциологии. М.: Наука, 1999. 255 с.

3. Зимин М.И. Прогнозирование лавинной опасности. СПб: Гидрометеоиздат, 2000. 16 с.

4. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 312 с.

5. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. / В.Н. Вапник [и др.]. М.: Наука, 1984. 816 с.