Software & Systems

Принцип «гибкого приоритета» в общем случае сводится к дополнительному нормированию показателей качества, что позволяет в разумных приделах учесть степень предпочтения одного показателя перед другим. При этом предполагается, что влияние каждого i-го единичного показателя на величину функции предпочтения зависит не только от нормированного значения этого показателя, но и от некоторого весового коэффициента , характеризующего степень важности показателя. Тогда функция предпочтения может быть представлена в виде функции от нормированных значений единичных показателей  и весовых коэффициентов .

В настоящее время известен ряд самых различных функций предпочтения, учитывающих принцип гибкого приоритета, среди которых более широкое распространение получили линейные аддитивные функции предпочтения. В работе предлагаются нелинейные неаддитивные функции предпочтения, обладающие большой потенциальной адекватностью, что позволяет учесть нелинейность зависимости функций предпочтения от нормированных значений показателей и разброс этих значений.

Рассмотрим определение аддитивных, но нелинейных функций предпочтения. Учитывая коэффициенты важности отдельных показателей, выражение для полиномиальной функции предпочтения примет вид:

,                                               (1)

где Y – значение полиномиальной функции предпочтения;  – условные функции предпочтения.

При этом предполагается, что весовые коэффициенты также пронормированы, то есть .

Под условными функциями предпочтения понимается функция предпочтения по i-му показателю, полученному при условии, что значения остальных показателей соответствуют середине диапазона их изменения.

Будем считать, что все нормированные показатели качества являются однородными, то есть имеют одну общую интервальную шкалу, пределы которой меняются от 0 до +1. Тогда в работе для определения условных нелинейных функций предпочтения предлагается использовать преобразованную психофизическую шкалу Фехнера, которую можно представить в виде:

,    (2)

где  – коэффициент, характеризующий крутизну i-й условной функции предпочтения; – величина, определяющая асимметричность i-й функции предпочтения.

С увеличением  крутизна зависимости условной функции предпочтения увеличивается. При =1 и =0,5  превращается в линейную функцию, а при =0 – в скачкообразную. Таким образом, крутизна зависимости легко регулируется изменением величины .

Наиболее сложной задачей, возникающей при многокритериальной оптимизации, является определение неаддитивной функции предпочтения, учитывающей разброс нормированных значений показателей.

Так как показатели качества являются однородными, то их значениям соответствуют множество точек этой шкалы. С учетом значений высоких коэффициентов  определим средневзвешенное внутримножественное расстояние в виде:

.   (3)

Средневзвешенное расстояние позволяет учесть важность каждого показателя при оценке нежелательности их разброса. Пронормируем величину средневзвешенного расстояния d. С этой целью введем максимальное внутримножественное расстояние для n показателей. При этом максимальному значению соответствует случай, когда все показатели принимают граничные значения, а весовые коэффициенты  равны между собой.

С учетом вышесказанного неаддитивную функцию предпочтения можно представить в виде:

,                      (4)

где  – максимальное внутримножественное расстояние; l – коэффициент, характеризующий нежелательность разброса нормированных значений показателей.

На основе выражений неаддитивной и условной функции предпочтения (2) и (4) и внутримножественного расстояния (3) может быть осуществлен выбор оптимальных решений в многокритериальных задачах оптимизации.