Software & Systems

Движение (равновесие) механической системы можно найти в результате решения системы дифференциальных уравнений, которая может быть нелинейной и иметь высокий порядок. Нахождение ее решений, как правило, сопряжено с большими трудностями.

На практике для исследования устойчивости решения нелинейных систем часто применяют метод исследования устойчивости соответствующих линейных систем.

Возможность суждения об устойчивости или неустойчивости первоначальной нелинейной системы на основании рассмотрения уравнений первого приближения, то есть линеаризованной системы уравнений возмущенного движения, впервые была рассмотрена А.М. Ляпуновым [1]. При этом найденные и доказанные им положения об устойчивости линеаризованной системы получаются из его общей теории об устойчивости и неустойчивости.

К методу Ляпунова по первому приближению относятся такие способы решения, которые приводят к непосредственному исследованию возмущенного движения и в основании которых лежит анализ общих или частных свойств решений дифференциальных уравнений.

Суть метода заключается в исследовании корней характеристического уравнения. Причем характеристическое уравнение задается в виде det(B‑lE)=0, где B – матрица коэффициентов системы, E – единичная матрица. Решение данного уравнения позволяет найти корни l. На основании общего решения задачи о возмущенном движении линейной системы можно сделать следующие выводы об устойчивости.

1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, li<0, i=1, 2, …, n, то линейная система асимптотически устойчива.

2. Если среди корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, li>0, i=k, линейная система неустойчива.

3. Если в характеристическом уравнении нет корней с положительной вещественной частью, однако имеются корни с вещественными частями, равными нулю, li=0, i=1, 2, …, p£n, то линейная система просто устойчива, а l – точка покоя, центр [2].

Развитие компьютерной техники привело к необходимости автоматизации ее средствами анализа устойчивости. Это связано с тем, что процесс приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения проходит на компьютере, на основе компьютерных технологий строятся системы автоматического управления и автоматического регулирования. Отсюда возникает необходимость анализа устойчивости непосредственно в процессе компьютерного решения. В настоящей статье представлены программная реализация исследования устойчивости решения линейных систем в Maple 12 с помощью метода Ляпунова по первому приближению, а также построение фазовых портретов. Блок-схема программы приведена на рисунке 1.

Алгоритм программы:

with(LinearAlgebra);

with(DEtools);

printlevel := 0;

a := 0;

b := 1;

c := -Pi^2;

d := 0;

«Система уравнений имеет вид»;

px := a*x(t)+b*y(t);

py := c*x(t)+d*y(t);

'dx/dt' = px;

'dy/dt' = py;

sys := diff(x(t), t) = px, diff(y(t), t) = py;

if autonomous({sys}, [x(t), y(t)], t) = true then

print(«Данная система является автономной»)

else print(«Данная система является неавтономной»)

end if;

«Фазовый портрет этой системы»;

phaseportrait([sys], [x(t), y(t)], t = -10 .. 10, [[0, 1, -2], [0, -3, -3], [0, -2, 4], [0, 5, 5], [0, 5, -3], [0, -5, 2], [0, 5, 2], [0, -1, 2]], x = -30 .. 30, y = -20 .. 20, stepsize = .1, colour = blue, linecolor = black);

«Матрица коэффициентов имеет вид»;

A := Matrix([[a, b], [c, d]]); 'A' = A;

«Характеристическое уравнение вида: det(A-λ*E) =0,»;

B := Determinant(A-lambda*Matrix(2, 2, shape = identity));

B = 0;

«Решение данного уравнения позволяет найти собственные числа λ»;

k := solve(Determinant(A-lambda*Matrix(2, 2, shape = identity)) = 0, lambda);

«Вещественные и мнимые части собственных чисел  λ имеют вид»;

havePositive := false;

haveZero := false;

ind := 0;

for i in k do

ind := ind+1;

re := evalc(Re(i));

im := evalc(Im(i));

print(('Re')(ind) = re, ('Im')(ind) = im);

if evalhf(re) > 0 then havePositive := true

elif evalhf(re) = 0 then haveZero := true

end if end do;

if havePositive then

print(«Таким образом, невозмущенное движение исходной нелинейной системы неустойчиво.»)

elif haveZero then

print(«Таким образом, λ точка покоя — центр.»)

else

print(«Таким образом, невозмущенное движение исходной нелинейной системы устойчиво в обычном смысле.»)

end if;

Для наглядности рассмотрено линейное уравнение свободных гармонических колебаний:

, где .

С учетом того, что l=4 м, данное уравнение сведено к системе

В результате решения поставленной задачи выявлено следующее: данная система является автономной; фазовый портрет имеет вид, представленный на рисунке 2; имеет место орбитальная устойчивость решения в любой момент времени, решение основной системы тоже устойчиво.

Сделанный вывод полностью согласуется с расчетами, выполненными в работе [3].

Программа написана для исследования устойчивости системы методом Ляпунова по первому приближению с последующим выявлением свойств решения: устойчиво, неустойчиво, будет ли орбитально устойчиво для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение динамических механических систем.

Данный метод является эффективным средством исследования устойчивости и стабилизации разностных систем, а также систем с последействием. Бесспорное преимущество этого метода в том, что систему дифференциальных уравнений можно исследовать на устойчивость не интегрированием, а построением специальной функции с определенными свойствами, зависящей от правых частей рассматриваемой системы.

В заключение отметим, что разработанные алгоритм и методика автоматизации позволяют исследовать линеаризованную систему на устойчивость, осуществлять проверку системы на автономность, а также строить фазовый портрет. А это, в свою очередь, облегчает процедуру получения расчетов для определения динамической устойчивости деформируемых систем.

Литература

1.     Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 879 с.

2.     Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. М.: Машиностроение, 1987. 464 с.

3.     Кудинов А.Н., Катулев А.Н., Кузнецов А.Ю. Исследование устойчивости автономных нелинейных динамических систем // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: матер. XVI Междунар. симпоз. М., 2010. С. 110–112.