Software & Systems

Для визуального восприятия картин электромагнитных полей используется графическое построение пространственного распределения поля как функции двух переменных U(x, y). Обычно это пространственное распределение скалярного U(x, y) или векторного A(x, y) потенциала полей [1–3]. Известно, что с помощью программ MathCAD и MATLAB в среде pdetool можно построить картину поля лишь для линий равного потенциала, причем  программы, позволяющие построить картину поля для линий равного тока, отрисовывают контурные линии при наличии ложных скачков [4] (рис. 1, 2). Это объясняется тем, что линии тока линейного заряда или линии потока линейного тока распределяются лишь в смысле главного значения, то есть в пределах от 0 до 2p (рис. 1а, 2а, 3а).

В данной работе предлагается метод построения картин электромагнитного поля, позволяющий избежать наличия ложных скачков (рис. 3б).

Постановка задачи

Рассмотрим алгоритм построения фазового портрета динамической системы в схемотехнической среде MATLAB-Simulink (рис. 4).

Новизна алгоритма заключается в сведении дифференциальных уравнений в частных производных Лапласа и Пуассона к динамической системе, то есть к решению системы дифференциальных уравнений 1-го порядка в среде MATLAB-Simulink.

Методы исследования

Исследование статических электрического и магнитного полей будет осуществляться с помощью динамической системы и ее последующим моделированием аналоговой техникой в схемотехнической программе MATLAB-Simulink.

Под динамической системой понимается электромеханическая система, которая описывается дифференциальными уравнениями [5–7].

Каждая динамическая система имеет свой фазовый портрет, которому соответствуют свои особые точки (точки положения равновесия). Они помогают без решения дифференциальных уравнений предсказать поведение динамической системы.

Из методов исследования можно выделить методы дифференциальной геометрии и теории автоматического регулирования и математической физики – уравнения Лапласа, Пуассона.

Чтобы построить электростатическое поле для линейных зарядов, необходимо записать уравнение Пуассона:

,                        (1)

где U(x, y)=j(x, y)+jV(x, y) – комплексный электрический потенциал; j(x, y) – функция потенциала; V(x, y) – функция потока; r – объемная плотность зарядов; e0=8,85×10-12 Ф/м – электрическая постоянная; e – диэлектрическая проницаемость.

Комплексный потенциал описывает совокупность силовых и эквипотенциальных линий поля, ортогональных по отношению друг к другу, то есть картину поля.

Решение уравнения Пуассона (1) для электростатического поля:

,          (2)

где t=2×10-7 Кл – величина заряда; x=10-6 – регуляризирующий коэффициент.

Рассмотрим построение картины электростатического поля трех линейных зарядов с помощью сведения уравнений в частных производных к динамической системе.

Для плоского электростатического поля имеем систему уравнений:

                    (3)

                               (4)

где t – плотность зарядов (при решении приняли t=1 Кл/м2).

Уравнение (3) означает потенциальность поля:

     (5)

Постоянство потенциала поля f(x, y)=const при изменении координат x, y описывается уравнением

               (6)

Из (6) следует уравнение для эквипотенциальных линий:

.                                          (7)

Или в параметрической форме получаем систему уравнений:

                                                  (8)

Теперь получим уравнения для линий напряженностей электрического поля [8]. Для этого рассмотрим уравнение (4):

 (9)

Постоянство линий потока V(x, y)=const при изменении координат x, y описывается уравнением

            (10)

Из (10) следует уравнение для контурных линий потока вектора напряженности:

.                                             (11)

Или в параметрической форме получаем систему уравнений:

                                                     (12)

Таким образом, имеем две динамические системы (8) и (12) в параметрической форме, описываемые системой дифференциальных уравнений для обрисовки картин электростатического поля (линий равного потенциала и равного тока соответственно):

,

.                        (13)

Результаты исследования

Пусть заданы декартовые координаты трех линейных зарядов: x=(0 1 –1)T; y=(4 –1 3)T.

Проекции вектора напряженности электростатического поля на оси X и Y соответственно равны

Используя уравнение (13), получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для трех линейных зарядов, полученные с помощью динамической системы (рис. 5а):

(14)

(15)

На рисунке 6 представлено всплывающее окно блока входных данных, позволяющее пользователю-непрограммисту получить на выходе интересующую картину статического электромагнитного поля в фазовой плоскости и на основе частных структурных схем (рис. 6а, б) сопоставить ей электротехническую схему замещения.

Блок входных данных состоит из следующих пунктов.

1.     Тип поля: электростатическое поле, магнитостатическое поле.

2.     Количество зарядов/токов: 1–6.

3.     Координаты по оси X: –3–5.

4.     Координаты по оси Y: –4–6.

5.     Величина зарядов/токов: –3–3.

6.     Количество изолиний равного потенциала: 5, 10, 13, 20, 23, 30.

7.     Количество изолиний равного тока: 5, 10, 13, 20, 23, 30.

Пользователю предлагается выбор параметров блока входных данных, необходимых для реализации комплекса программ, для упрощения и понимания пользования данной программой.

Рисунок 6а демонстрирует частные структурные схемы для формирования дифференциальных уравнений (14) и (15).

Рисунок 6б демонстрирует частные структурные схемы для формирования одной точки, например  и т.д.

Рисунок 6в демонстрирует универсальную структурную схему для формирования фазового портрета динамической системы линий равного потенциала (8).

Рисунок 6г демонстрирует универсальную структурную схему для формирования фазового портрета динамической системы линий равного тока (12).

Картина поля становится наиболее наглядной и информативной при построении линий равного тока, которые позволяют судить о траектории движения заряженных частиц в электростатическом поле. Линии равного потенциала и равного тока взаимоперпендикулярны в пространстве. Образованная этими линиями площадь криволинейных прямоугольников, показывающих распределение адиабатического инварианта, в частности энергии электростатического поля и заряда, имеет величину емкости С. Густота и разреженность линий позволяют судить об интенсивности распределения энергий в пространстве.

Аналогично был получен фазовый портрет на рисунке 5б с противоположными знаками второго и третьего зарядов, декартовые координаты остались прежними (рис. 1). То же самое относится и к магнитному полю [9].

Решение уравнения Пуассона для магнитостатического поля:

,         (16)

где A(x, y) – комплексный магнитный потенциал; I=1A – ток; m0=4×p×10-7 Гн/м – магнитная постоянная; m=1 – магнитная проницаемость.

Теперь рассмотрим построение картины магнитостатического поля четырех токов (рис. 7) с помощью сведения уравнений в частных производных к динамической системе:

,    (17)

                  (18)

где d – плотность токов, при решении принято d=1 А/м2.

Магнитный векторный потенциал A(x, y) связан с компонентами напряженности магнитного поля (18) соотношением

              (19)

Здесь A(x, y) является вспомогательным потенциалом, позволяющим свести векторное уравнение к скалярному.

Постоянство потенциала поля A(x, y)=const при изменении координат x, y описывается уравнением

.                                     (20)

В результате получаем динамическую систему

                                                     (21)

Выражение (18) позволяет ввести функцию потока, которая определяется выражением

     (22)

Постоянство линий равного потока y(x, y)= =const при изменении координат x, y описывается уравнением

.                                  (23)

Динамическая система имеет вид

                                                  (24)

          (25)

Таким образом, есть две динамические системы (22) и (25) в параметрической форме, описываемые системой дифференциальных уравнений для обрисовки картин магнитостатического поля (линий равного потенциала и равного потока соответственно).

Пусть заданы координаты четырех линейных токов:

x=(0 1 –1 –1)T; y=(1 –1 –1 1)T

.

Проекции вектора напряженности магнитостатического поля на оси X и Y соответственно следующие:

    (26)

Используя уравнение (26), с помощью динамической системы (рис. 6в, г) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для четырех линейных токов:

  (27)

(28)

Универсальная структурная схема для формирования фазового портрета динамической системы линий равного потенциала и линий равного потока соответствует схемам, представленным на рисунке 6 (а–г), со своими начальными условиями.

Картина поля наиболее наглядна и информативна при построении линий равного потока. Линии равного потенциала и линии равного потока расположены взаимоперпендикулярно в пространстве. Образованная этими линиями площадь криволинейных прямоугольников, показывающих распределение адиабатического инварианта, в частности энергии магнитостатического поля и потокосцепления, имеет величину индуктивности. Густота и разреженность линий  позволяют судить об интенсивности распределения энергий в пространстве.

Таким образом, в данной статье описан метод сведения решения дифференциальных уравнений в частных производных Лапласа и Пуассона к решению системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью динамической системы.

Заменены реальные процессы аналоговой техникой через операционные усилители с помощью программы схемотехники MATLAB-Simulink. Получен фазовый портрет электромагнитных полей на основе моделирования динамической системы аналоговой техникой. 

Составлена структурная схема динамической системы, отображающая динамику процесса. Элементами схемы являются операционные усилители, на основе которых может быть сопоставлена электротехническая схема замещения.

Подавая на вход разработанной программы координаты зарядов, величину заряда и количество изолиний, с помощью динамической системы можно получить фазовый портрет для статических полей.

Литература

1.     Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии: учебник для ун-тов. М.: Наука, 1987. 432 с.

2.     Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления: учеб. пособие. М.: Наука, 1986. 272 с.

3.     Зевеке П.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.

4.     Васильева О.В., Исаев Ю.Н. Моделирование коаксиальных электротехнических устройств. Математическое моделирование электротехнических устройств на основе электротехнических схем замещения // Saarbrucken: LAP Lambert Academic Publ. GmbH & Co. KG, 2012. 165 с.

5.     Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учебник для вузов. М.: Физматлит, 2003. 400 с.

6.     Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985. 336 с.

7.     Демидович Б.П., Марон И.А., Шевалова Е.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учеб. пособие. СПб: Лань, 2008. 400 с.

8.     Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Добросвет, 2000. 412 с.

9.     Васильева О.В., Исаев Ю.Н. Аналоговое моделирование с использованием методов дифференциальной геометрии // Научное творчество молодежи: сб. тр. XII Всерос. науч.-практич. конф. (Анжеро-Судженск, 18–19 апреля 2008). Томск: Изд-во Том. ун-та, 2008. Ч. 1. С. 11–14.

References

1.   Novikov S.P., Fomenko A.T. Elementy differentsialnoy geometrii i topologii [Elements of differential geometry and topology]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 432 p. (in Russ.).

2.   Kartashev A.P., Rozhdestvenskiy B.L. Obyknovennye differentsialnye uravneniya i osnovy variatsionnogo ischisleniya [Ordinary differential equations and the basics of variation calculus]. Manual. Moscow, Nauka Publ., 1986, 272 p. (in Russ.).

3.   Zeveke P.V., Ionkin P.A., Netushil A.V., Strakhov S.V. Osnovy teorii tsepey [The basics of the circuit theory]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1989, 528 p. (in Russ.).

4.   Vasilyeva O.V., Isaev Yu.N. Modelirovanie koaksialnykh elektrotekhnicheskikh ustroystv. Matematicheskoe modelirovanie elektrotekhnicheskikh ustroystv na osnove elektrotekhnicheskikh skhem zameshcheniya [Modeling of coaxial electrotechnical devices. Mathematical simulation of electrotechnical devices on the basis of electrical circuits]. Saarbrucken, LAP Lambert Academic Publ., GmbH & Co. KG, 2012, 165 p.

5.   Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Uravneniya matemati­cheskoy fiziki [The equations of mathematical physics]. Univ. textbook, Moscow, Fizmatlit Publ., 2003, 400 p. (in Russ.).

6.   Ilyin V.P. Chislennye metody resheniya zadach electrofizi­ki [Numerical methods of electrophysics problems solving]. Moscow, Nauka Publ., 1985, 336 p. (in Russ.).

7.   Demidovich B.P., Maron I.A., Shevalova E.Z. Chislennye metody analiza. Priblizhenie funktsiy, differentsialnye i integralnye uravneniya [Numerical methods of analysis. Approximation of functions, differential and integral equations]. St. Petersburg, Lan Publ., 2008, 400 p. (in Russ.).

8.   Gelfand I.M., Shilov G.E. Obobshchyonnye funktsii i deystviya nad nimi [Generalized functions and operations on them]. Moscow, Dobrosvet Publ., 2000, 412 p. (in Russ.).

9.   Vasilyeva O.V., Isaev Yu.N. Analog modeling using differential geometry methods. Sbornik Trudov XII Vseross. nauch.-praktich. konf. “Nauchnoe tvorchestvo molodyozhi” [Proc. of the 12th All-Russian scientific-practical conf. “The scientific work of youth”]. Tomsk, Tomsk Univ. Publ., 2008, pp. 11–14. (in Russ.).