Software & Systems

Методика приближенного аналитического решения плоских задач имеет следующий вид. Методом малого параметра решение задачи сводится к последовательному решению ряда линеаризованных граничных задач. Алгоритм представлен на примере сжимаемого материала, случая плоской деформации. Введем следующие обозначения: u – вектор перемещений; f – вектор массовых сил; Q – вектор поверхностных сил; N – нормаль; S – тензор напряжений.

Введем в рассмотрение комплексные переменные ,  и функции этих переменных  

Обозначим через  следующие комбинации компонент (в декартовой системе координат) некоторого тензора Т второго ранга:

.

Уравнения и граничные условия линеаризованной задачи могут быть записаны в комп­лексной форме следующим образом:

Решение линеаризованной краевой задачи отыскивается в виде:

где , ,  – некоторое частное решение линеаризованной задачи, , ,  – решение линеаризованной задачи для однородной системы уравнений. Частное решение может быть найдено по формулам:

,

.

Решение линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений может быть найдено с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили . Выражения для напряжений и комплексного вектора перемещений через комплексные потенциалы имеют вид:

,

.

Рассмотрим случай, когда конечная область, занимаемая телом, конформно отображается на бесконечную область, ограниченную единичной окружностью с центром в начале координат.

Граничные условия и вектор поверхностной силы на :

,

, ,

.

Функция  определяет конформное отображение. Комплексные потенциалы имеют следующий вид:

,

, .

Таким образом, в области, ограниченной единичной окружностью, граничные условия примут вид:

Коэффициенты  и  находятся решением системы линейных уравнений, полученной из граничных условий. Далее находится тензор напряжений S и вектор перемещений u. Таким образом, линеаризованная задача решена.

Изложенный алгоритм реализован в специализированном программном комплексе «Наложение», предназначенном для решения задач теории наложения больших деформаций.